Chuyên đề 13:

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C

x
α

1
1
x
C
α
α
+
+
+

()ax b
α
+

a
1

ln
x
a
C
a
+x
e

x
eC+

ax b
e
+

1
ax b
eC
a
+
+

sinx -cosx + C sin(ax+b)

1
cos( )ax b C
a

x-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
+1
cot ( )gax b C
a
−+
+

'
()
()
ux
ux

ln ( )ux C+

22
1
x a
−
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên
hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
3
1
() cos
1
fx x
x x
=+
+−
2.
2
2x 5
f(x)
x4x3
−
=
− +83
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sinx xdx
∫

2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :
() 0
b
a
fxdx=
∫

•
Tính chất 2:
() ()
ba
ab
f xdx f xdx=−
∫∫

•
Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;ab
thì:
()
b
a
cdx c b a= −
∫

• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;ab

b
a
mb a f xdx Mb a− ≤≤
∫
−

•
Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;ab
thì

[]
() () () ()
bb
aa
b
a
f x gx dx f xdx gxdx±= ±
∫∫∫

•
Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;ab
và k là một hằng số thì

.() . ()
bb
aa

1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x1 xdx−
∫
4)
1
2
0
4x 11
dx
x5x6
+
++
∫


0
4sin x
dx
1cosx
π
+
∫

9)
4
2
0
1sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1sin2xcos2x
dx

π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x

17)
∫
−+

4
2
1
x3x2dx
−
−+
∫
3)
5
3
(x 2 x 2)dx
−
+−−
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x2
x
+−
∫
dx

5)
3
x

f(1) 2=
2
0
f(x)dx 4=
∫

2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
23
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ −+ =
∫

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1)
DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
Công thức đổi biến số dạng 1:
[]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu

=
)(
)(
)()('.)(
bu
aua
dttfdxxuxuTính các tích phân sau:
1)
2
32
0
cos xsin xdx
π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
4
2
0
sin 4x
dx

1
1lnx
dx
x
+
∫
8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫

9)
e
2
1
1lnx
dx
x
+
∫
10) 11)
1
536
0
x(1 x)dx−
∫

14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin

4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx

21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx


25)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x =
b
a
f(x)dx
∫
(t)ϕCông thức đổi biến số dạng 2:
[]
∫
=
∫
=

∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1xdx
−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1x
+
∫
3)

1
1cos sin
dx
x x
π
++
∫
7)
2
2
2
2
0
x
dx
1x−
∫
8)
2
22
1
x4xdx−
∫86
9)
2
3
2

2
2
3
1
1
dx
xx−
∫

13)
2
0
cos
7cos2
x
dx
x
π
+
∫
14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x

dx
18)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xxII. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
xx
+
∫
2)
7
3
32

dx
x
+
+
∫
6)
2
23
0
1
x xd
+
∫
x
7)
∫
+
32
5
2
4xx
dxIII. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần: []
∫∫

xuu
=
=
⇒
=
=

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[
và
]
b
a
vu.
∫
b
a
vdu


2
1
xln xdx
∫
3
2
0
xsinx
dx
cos x
π
+
∫87