Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C
x
α
1
1
x
C
α
α
+
+
+
( )ax b
α
+
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+

+
+
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )ax b C
a
− + +
cosx Sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos ( )ax b+
1
( )tg ax b C
a
+ +
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b+

ln sin x C+
Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm
cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
83
1.
3
1
( ) cos
1
f x x
x x
= +
+ −
2.
2
2x 5
f(x)
x 4x 3
−
=
− +
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sinx xdx
∫

( ) 0
b
a
f x dx =
∫
• Tính chất 2 :
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
• Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;a b
thì:
( )
b
a
cdx c b a= −
∫
• Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) 0f x ≥
thì
( ) 0
b
a
f x dx ≥


[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
• Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và k là một hằng số thì

. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
• Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và c là một hằng số thì

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
84
• Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên
[ ]

1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)

4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cosx
π
π
+ +
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44

sin25
cos
π
dx
x
x
17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx

18)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

Bài 2:
1)

x
+ −
∫

5)
3
x
0
2 4dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1 sin xdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2

=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
85
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được


4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
π
+
∫
4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
6)
4
4
0
1
dx
cos x

0
x (1 x ) dx−
∫
11)
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫
12)
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
13)
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
π

2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x

17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
18)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)
∫

π
dx
x
xx
22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
23)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x

24)
∫
+
e
dx
x

α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dttdxtx )()(
'
ϕϕ
=⇒=
86
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=

dx
4 x−
∫
4)
1
2
0
1
dx
x x 1− +
∫
5)
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +
∫
6)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫
7)

dx
x
+
∫
11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
12)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
13)
2
0
cos

∫
16)
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
17)
∫
++
1
0
311 x
dx
18)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:

1
dx
e 2+
∫

5)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
6)
2
2 3
0
1x x dx+
∫
7)
∫
+
32
5
2