Trường THPT Lai Vung 2
S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
Hội đồng bộ môn Toán
Chuyên đề:
Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT
Năm học 2010 – 2011
1
Trường THPT Lai Vung 2
Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG
(Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT)
A) Tóm tắt kiến thức cơ bản :
Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau :
1) Bảng các nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của
những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
hợp đơn giản
Nguyên hàm của những
hàm số hợp

Cxdx +=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=

Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
tan ln cosxdx x c= − +
∫
cot ln sinxdx x c= +
∫
kdx kx C= +
∫
( )
( )

dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+

∫
α
α
α
α
C
u
duu
( )
0ln ≠+=
∫
uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu +=

( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
2
Trường THPT Lai Vung 2
•
. ( )
b
a
k f x dx =
∫
( )
b
a
k f x dx
∫
( k là hằng số)
•
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
•
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +

1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= + + −
*
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
*
[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − + − −
4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
*
1
n
n
a a
=
và
m
n m
n
a a
=

a
a
α
α β
β
−
=
*
( )
. .a b a b
α
α α
=
;
a a
b b
α
α
α
 
=
 ÷
 
*
( )
.
a a
β
α α β
=

3
0
(3 1)x dx−
∫
b) I
2
=
2
2
0
x
e dx
− +
∫
c) I
3
=
0
1
3
2 1
dx
x
−
− +
∫
Giải:
a) I
1
=

0
x
e dx
− +
∫
=
2
2
0
1
1
x
e
− +
−
= – ( e
–
2+2
– e
2
) = e
2
–1
Vậy: I
2
= e
2
–1
c) I
3

2
Ví dụ 2: Tính các tích phân
a) J
1
=
( )
2
2
2
0
1x dx+
∫

b) J
2
=
1
0
2 3
2
x
dx
x
+
−
∫
c) J
3
=
8

2
2
2
0
1x dx+
∫
=
2
4 2
0
( 2 1)x x dx+ +
∫
=
2
5 3
0
2
5 3
x x
x
 
+ +
 ÷
 
=
206
15
Vậy: J
1
=

0
0
1
( 2 7. ) 2 7ln 2
2
dx x x
x
− + = − − −
−
∫
= (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2
Vậy: J
2
= 7ln2 – 2
c)
1/2 1/6
6
1/2 1/6 1/3
1/6
6
2 2
2 2
x x x x
x x
x
x
−
+ +
= = + = +
suy ra J

Vậy: J
3
=
101
4
Ví dụ 3: Tính các tích phân
a) K
1
=
4
0
sin3 .cosx xdx
π
∫
b) K
2
=
8
2
0
cos 2xdx
π
∫
c) K
3
=
1
2 1
0
1

 
− −
 
 
=
1
2
Vậy: K
1
=
1
2
b) K
2
=
8
2
0
cos 2xdx
π
∫
Ta có: cos
2
2x =
1 cos4
2
x+
suy ra K
2
=

 ÷
 
 
 
=
1 1
2 8 4
π
 
+
 ÷
 
Vậy: K
2
=
1
1
8 2
π
 
+
 ÷
 
c) K
3
=
1
2 1
0
1

2 1 2 1
1
0
2
( 1) ( 1)
x x
e dx e dx
− −
− + −
∫ ∫
=
1
1
2
2 1 2 1
1
0
2
1 1
2 2
x x
e x e x
− −
   
− + −
 ÷  ÷
   
=
0 1
1 1 1

 
−
 ÷
 
Vậy K
3
=
1
1 1
1
2 2
e e
−
+ −
• Các bài tập tự luyện:
Tính các tích phân:
1) L =
∫
+−
1
0
24
)23( dxxx
KQ: L =
5
6
2) I =
∫
−
4

dx
x
xx
∫
−
2
1
2
23
52
KQ: K = – 2
5) M =
∫
12
0
5sin.7sin
π
xdxx
KQ: M =
8
1
6) N =
4
1
2x dx−
∫
KQ: N =
5
2
7) P =

∫
KQ:
2 3
3
10) S =
1
2
0
2 5 2
dx
x x+ +
∫
KQ:
1
ln 2
3
(HD: Phân tích 2x
2
+ 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)
Từ đó
2
1 1 1 2 1
( )
2 5 2 ( 2)(2 1) 3 2 1 2x x x x x x
= = −
+ + + + + +
6
Trường THPT Lai Vung 2
II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I =
( )

1
=
2
2
0
4 x dx−
∫
+ Đặt x = 2sint , t
;
2 2
π π
 
∈ −
 
 
(u(t) = 2sint)
⇒
dx = 2costdt
+ Cận mới:
x= 0
⇒
2sint = 0
⇒
sint = 0
⇒
t = 0
x = 2
⇒
2sint = 2
⇒

2
2
0
cos .costt dt
π
∫
=4
2
2
0
cos tdt
π
∫
I
1
= 2
2
0
(1 cos 2 )t dt
π
+
∫
= 2
2
0
1
sin2
2
t t
π

(u(t) = asint)
⇒
dx = acostdt rồi thực
hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ).
b) I
2
=
3
2
0
1
9
dx
x+
∫
+ Đặt x = 3tant, t
;
2 2
π π
 
∈ −
 ÷
 
⇒
dx = 3(1 +tan
2
t)dt
+ Cận mới:
x = 0
⇒

2
0
3(1 tan )
9 9tan
t
dt
t
π
+
+
∫
=
2
4
2
0
3(1 tan )
9(1 tan )
t
dt
t
π
+
+
∫
=
1
3
4
0

∫
, đặt x = atant , t
;
2 2
π π
 
∈ −
 ÷
 
⇒
dx = a(1 + tan
2
t)dt thực hiện các bước tiếp
tương tự.
2) Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là
α
và
β
thì
α
=u(a)
β
= u(b) .
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.
Ví dụ 5: Tính các tích phân
a) J
1
=

0
4 .x xdx−
∫
e) J
5
=
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x
π
+
∫
Giải:
a) J
1
=
2
2
1
x
xe dx
∫
+ Đặt u = x
2


4
1
1
2
u
e du
∫
=
1
2
4
1
u
e
=
1
2
( e
4
– e
1
) =
1
2
( e
4
– e)
+ Vậy J
1
=

⇒
u =
1 ln1+
= 1; x = e
⇒
u =
1 ln e+
=
2

+ J
2
=
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
=
2
1
u.2udu
∫
=
2
3
2

=
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−
∫
+ Đặt u = x
4
– 1
⇒
du = 4x
3
dx
⇒
x
3
dx =
1
4
du
+ Đổi cận: x = 0
⇒
u = 0 – 1 = –1; x = 1
⇒
u = 1
4
– 1 = 0
+ J
3
=

1
24
−

d) J
4
=
2
2
0
4 .x xdx−
∫
+ Đặt u =
2
4 x−
⇒
u
2
= 4 – x
2

⇒
2udu = – 2xdx
⇒
xdx = –udu
+ Đổi cận: x = 0
⇒
u =
2
4 0−

0
u
=
8
3
+ Vậy J
4
=
8
3
Chú ý: Học sinh cần phân biệt tích phân I
1
=
2
2
0
4 x dx−
∫
và tích phân vừa tính để tránh nhầm lẫn
về cách đổi biến.
e) J
5
=
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx

π
+
∫
=
2
4
1
du
u
∫
=
2
4
1
u du
−
∫
=
1
3−
2
3
1
u
−
=
7
24
+ Vậy J
5

x
∫
−
1
0

2
KQ: K =
e
e
2
1−
d) L =
∫
+
e
x
dxx
1
)ln3(
KQ: L =
8
13
e) M =
∫
+
21
0
2
7 x

1
2
0
1 .x xdx−
∫
( Đặt x = sint) KQ:
4
π
2) Tính các tích phân:
a) I
1
=
2
0
(2sin 3)cosx xdx
π
+
∫
KQ: 4
b) J
1
=
2
2
1
3x x dx+
∫
KQ:
7 7 8
3

=
2
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x
+
∫
KQ:
7
9
10
Trường THPT Lai Vung 2
g) N
1
=
2
1
1
x
x
e
dx
e −
∫
KQ: ln(e+1)
h) J

Dạng
hàm
P(x): Đa thức
Q(x): sinkx hay
coskx
P(x): Đa thức
Q(x):e
kx
P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)
P(x): Đa thức
Q(x):
2
1
sin x
hay
2
1
cos x
Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích phân
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích
phân

2 ln( 1)x x dx
−
∫

Giải:
a) I
1
=
/4
0
2 cos2x xdx
π
∫
• Đặt: u = 2x
⇒
du = 2dx;
dv = cos2xdx
⇒
v =
1
2
sin2x
• I
1
=
/4
0
2 cos2x xdx
π
∫

π
−
Vậy: I
1
=
1
4 2
π
−
11
Trường THPT Lai Vung 2
b) I
2
=
1
2
0
( 1)
x
x e dx+
∫
• Đặt: u = x +1
⇒
du = dx;
dv = e
2x
dx
⇒
v =
1

∫
=
1
2 0 2
0
1 1
[(1 1) (0 1) ]
2 4
x
e e e+ − + −
=
2 2
1 1
(2 1) ( 1)
2 4
e e− − −
=
2
3 1
4
e −
Vậy: I
2
=
2
3 1
4
e −
c) I
3

3
2
2
1
x
dx
x −
∫
= 9ln2 – 0 –
3
2
1
( 1 )
1
x dx
x
+ +
−
∫
= 9ln2 –
3
2
2
( ln 1)
2
x
x x+ + −
= 8ln2 –
7
2

2
cos
π
x
xdx
b) J
2
=
2
2
1
ln xdx
x
∫
Giải:
a) J
1
=
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
• Đặt: u = x
⇒
du = dx;
12

π
∫
=
/4
0
tan 0 ln cos
4 4
x
π
π π
− +
=
2
ln
4 2
π
+
=
ln 2
4
π
−
Vậy: J
1
=
ln 2
4
π
−
Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm

⇒
v =
1
x
−
(HD:
2
2
1
x
x
−
=
nên có 1 nguyên hàm là
1
1
1
x
x
−
= −
−
)
• J
2
=
2
2
1
ln xdx

1
(1 ln 2)
2
−
Vậy: J
2
=
1
(1 ln 2)
2
−
Lưu ý: Nếu tính
2
1
ln xdx
x
∫
thì ta lại dùng phương pháp đổi biến
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I
1
=
1
1
( 3)
x
x e dx
−
+

x
xdx
KQ: M =
4
π
– ln
2
d) I
4
=
2
1
2ln
e
x
dx
x
∫
KQ: N = 2(1 –
e
2
)
2) Tính các tích phân:
a) K
1
=
2
0
.cos .sinx x xdx
π

d) K
4
=
2
1
ln
e
x xdx
∫
KQ:
3
2 1
9
e +
e) K
5
=
2
0
sin
x
e xdx
π
∫
KQ:
2
1
2
e
π

∫
thì S =
2
2
0
1x dx−
∫
• Phương trình: x
2
-1= 0
⇔
x =
±
1 , nghiệm x = 1
∈
[0;2]
• Vậy S =
1
2
0
( 1)x dx−
∫
+
2
2
1
( 1)x dx−
∫
=
1

( ) ( )
b
a
f x g x dx−
∫
thì S =
1
2
2
2x x dx
−
+ −
∫
• Vậy S =
1
2
2
2x x dx
−
+ −
∫
=
1
2
2
( 2)x x dx
−
+ −
∫
=

a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x
2
và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay
được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox.,
Giải:
• Phương trình 2x – x
2
= 0
⇔
x = 0 và x = 2
• Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V =
2
( )
b
a
f x dx
π
∫

Ta có V =
2 0
2 2 2 3 4
0 0
(2 ) (4 4 )x x dx x x x dx
π π
− = − +
∫ ∫
=
5
2

là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = – x
2
, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:
Có V
1
=
0
2 2
1
( )x dx
π
−
−
∫
=
1
5
π
• Gọi V
2
là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = x
3
, x = 0, x = -1 và trục Ox…:
Có V
2
=
0
3 2

105
π
đvtt.
• Các bài tập tự luyện:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x
2
+ 4x và trục hoành.
KQ: S =
3
32
đvdt
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x
2
và y = – x – 2 .
KQ: S =
2
9
đvdt
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x
4
– 3x
2
– 8, trục Ox trên [1; 3]
KQs: S = 200 đvdt
4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay
quanh trục Ox:
a) (P): y
2
= 8x và x = 2 KQ: 16
π

1x3x3x
2
23
++
−++
, biết F(1) =
3
1

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=
2x
12x10x2
2
+
−−
và trục hoành Ox.
(TNTHPT năm 2002 – 2003 )
Bài 3: Cho hàm số y =
3
1
x
3
– x
2
(C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và
các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox.
(TNTHPT năm 2003 – 2004 )
Bài 4: Tính tích phân: I =
∫
+

1
2
ln
. (TNTHPT năm 2006– 2007)
Bài 7: Tính tích phân I
1
2 3 4
1
(1 )x x dx
−
= −
∫
(TNTHPT năm 2007– 2008)
Bài 8: Tính tích phân I =
0
(1 cos )x x dx
π
+
∫
(TNTHPT năm 2008– 2009)
Bài 9: Tính tích phân I
1
2 2
0
( 1)x x dx= −
∫
(TNTHPT năm 2009– 2010)
VI) Một số bài tập nậng cao :
Chúng tơi đề nghị các bài tập ở phần sau dành cho các em học sinh khá, giỏi. Các em học
sinh chỉ muốn ơn tập để thi TNTHPT khơng nhất thiết phải làm các bài tập dưới đây.

2
=
1
8
3) I
3
=
/2
3
0
4sin
1 cos
xdx
x
π
+
∫
KQ: I
3
= 2
4) I
4
=
/2
3 3
0
sin .cosx xdx
π
∫
KQ:

π
+
∫
KQ:
2 2
Bài 2: Tính các tích phân
1) J
1
=
1
0
1
x
dx
e+
∫
KQ: J
1
=
1
1 ln
2
e+
−
2) J
2
=
1
3
2

π
4) J
4
=
1
2
0
1
dx
x x+ +
∫
KQ: J
4
=
3
9
π
5) J
5
=
/2
0
2 sin
dx
x
π
+
∫
KQ: J
5

π
+
∫
( a, b>0) KQ: J
7
=
1
a b+
8) J
8
=
1 5
2
2
4 2
2
1 5
1
1
x
dx
x x
+
+
+
− +
∫
KQ: J
8
=

∫
thay cho J
9
thì máy báo lỗi do tanx không xác định tại
2
π
. Hãy
thử dùng cung phụ để chuyển từ cot sang tan.
17
Trường THPT Lai Vung 2
10) J
10
=
7
2
1
1
1
dx
x +
∫
KQ:
2ln( 2 1)+
Bài 3:
a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Chứng minh
( ) ( )
b b
a a
f x dx f a b x dx= + −
∫ ∫

+
∫
KQ: I =
4
π
Bài 5: Tính các tích phân
1) K
1
=
/2
2
0
sinx xdx
π
∫
KQ: K
1
=
2
4
16
π
+
2) K
2
=
2
2
1 1
( )

=
/2
0
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
KQ: K
4
=
2
2ln
2 2
π
+
5) K
5
=
7
2
2
1
1 x
dx
x
+
∫

−
∫
(Khối A năm 2008– 2009)
HD: Viết I =
/2
5
0
cos xdx
π
∫
–
/2
2
0
cos xdx
π
∫
= I
1
– I
2
I
1
=
/2
2
0
(1 sin )cosx xdx
π
−

+
Bài 3: Tính tích phân: I =
3
1
1
1
x
dx
e
=
−
∫
(Khối D năm 2008– 2009)
HD: Đặt u = e
x
suy ra x = lnu suy ra dx =
1
du
u
KQ: ln(e
2
+ e + 1) – 2
Bài 4: Tính tích phaân: I
1
2
0
( )
x x
e x e dx
−

x e x e
dx
e
+ +
=
+
∫
(Khối A năm 2009– 2010)
HD: Viết I
1
0
1 2
x
x
e
dx
e
=
+
∫
+
1
2
0
x dx
∫
= I
1
+ I
2

e
x
x xdx−
∫
(Khối D năm 2009– 2010)
HD: Tách làm hai tích phân một dùng từng phần, một dùng đổi biến
KQ:
2
1
2
e
−
Bài 8: Tính tích phân I
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
=
+
∫
(CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009)
KQ: 2 – 3ln2
19