PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1) Nguyên hàm thừa nhận.
2) Tính chất của tích phân.
3) Phương pháp tính tích phân.
4) Ứng dụng của tích phân
PHẦN 2: PHÂN DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
b

A/ TÍCH PHÂN. Để tính I = ∫ f ( x ) dx
a

Dạng 1: Nếu f ( x ) là đa thức ⇒ sử dụng công thức thừa nhận đưa ra kết quả.
1



Ví dụ 1: Tính I = ∫  x 3 − 2 x 2 + − e 2 x dx
−1

3
x





Hướng dẫn: Nhận thấy các hàm số trong dấu tích phân có thể sử dụng các
tích phân thừa nhận để tính.
1

 x 4 2x 3


=  − + 3.0 −  −  + + 3.0 −  = − − + 2
2  4 3
2 
3 2 2e
4 3
2

4


Bài tập tương tự: I = ∫  x 3 + 2 x 2 + + cos 2 x dx
x

1
g ( x)
Dạng 2: Nếu f ( x ) = h( x) (tích phân phân thức)
TH1: Nếu h( x ) = ax + b ⇒ chia đa thức g (x) cho h( x ) đưa về tích phân thừa nhận.
1
1
Chú ý: dx = −d ( − x ) = d ( x ± b ) = −d ( b − x ) = d ( ax ± b ) = − d ( b − ax )
a
a
1
4
2
2 x − 3x + 5 x − 7
dx
Ví dụ 2: Tính I = ∫
x +1

)

= ∫ 2 x − 2 x − x + 6 dx − 13∫
3

2

0

0

d ( x + 1)
x +1

1

 x 4 2x 2 x 2

1
=  −
−
+ 6 x  − 13 ln x + 1 0
3
2
 2
0
16
1 2 1

=  − − + 6 − 0 − 13[ ln 2 − 0] =

=
−

 với
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x 2 ) a( x1 − x 2 )  x − x1 x − x 2 
2

∫

du
để tính
u

1
dx
x + x−6
2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là hằng số và
mẫu là tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta sử dụng ứng dụng của định lý
viets phân tích tam thức thành nhân tử chung sau đó tách thành hai phân thức có
mẫu là nhị thức để tính.
1

Ta có, I = ∫
0

1

1

1
[ 0 − ln 2] − 1 [ ln 4 − ln 3] = 1 ln 3
5
5
5 2
1
1
dx
Bài tập tương tự: I = ∫
2
− 3x + 7 x + 10
0
=

(2) Nếu ∆ = 0
k
k
du
1
Ta có ax 2 + bx + c = a( x − x ) 2 ⇒ đưa về ∫ 2 = −
u
u
0
0

Ví dụ 4: Tính I =

∫x

2

Ta có,

0

1
dx
− 3x + 12 x − 12
−1

Bài tập tương tự: I = ∫

2

(3) Nếu ∆ < 0
k
k
= 2
trong đó, u = u ( x ) , d = hằng số
ax + bx + c u + d 2
⇒ sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt u = d tan t .

Ta có,

2

1

Ví dụ 5: Tính I = ∫
0


3dt
3
tan t ⇒ dx =
=
tan 2 t + 1 dt
Đặt, x + =
2
2
2
2
2 cos t
π
π
Đổi cơ số: x = 0 ⇒ t = và x = 1 ⇒ t =
6
3
π
π
3
π
tan 2 t + 1 dt
3
3
2
2 3
2 π π 
π
=
dt
=

)

TH3: Nếu h( x ) = ax 2 + bx + c có và g ( x ) = mx + n

(

)

A. ax 2 + bx + c '+ B
mx + n
=
⇒ Đồng nhất tìm A, B. Đưa tích phân đã cho
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
u' dx
du
=∫
về sử dụng ∫
và TH2.
u
u
1
x −1
dx
Ví dụ 6: Tính I = ∫ 2
x + x +1
0

Phân tích:



)

1 ( 2 x + 1) dx 3
dx
1 d x2 + x +1 3 π
−
=
−
Khi đó, I = ∫ 2
2 0 x + x + 1 2 ∫0 x 2 + x + 1 2 ∫0 x 2 + x + 1
23 3
1

1

1

(sử dụng kết quả quả ví dụ 5)

1
1
π
1
π
⇒ I = ln x 2 + x + 1 −
= ln 3 −
0
2
2 3 2

Ví dụ 7: Tính I = ∫

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân thức có tử là đa thức có
bậc lớn hơn bậc của mẫu và mẫu là tam thức bậc hai, ta thực hiện phép chia đa
thức đa thức tử cho đa thức mẫu và đưa về TH 2 và TH3 để tính.
− 3x 3 + 2 x 2 + 3x + 4
x −1
= −3 x + 5 + 2
Ta có,
2
x + x +1
x + x +1


( x − 1) dx

1

 3x 2

1
π
=  −
+ 5 x  + ln 3 −
Khi đó, I = ∫ ( − 3x + 5) dx + ∫ 2
2 3
 2
0 2
0
0 x + x +1

2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có dạng phân tích về tích và luỹ thừa
của các nhị thức nên động nhất ta được.
B = 1
1
A B
C
(
A + C ) x 2 + ( A + B) x + B

= + 2 +
=
⇒  A = −1
Ta có, 2
2
x +1
x ( x + 1) x x
x ( x + 1)
C = 1

1 
dx
dx
d ( x + 1)
 1 1
dx = − ∫ + ∫ 2 + ∫
Khi đó, I = ∫  − + 2 +
x x
x + 1


Bài tập tương tự: Tính I =

x2 + 1
∫−1 ( x − 1) 3 ( x + 3) dx

Dạng 4. Tích phân chứa căn thức.
b

Tìm tích phân I = ∫ f ( x ) dx trong đó f ( x ) không chứa a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , x 2 − a 2
a

có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn ⇒ Sử dụng tích phân đổi cơ số và đặt u = căn
thức.
ĐẶC BIỆT
• Nếu f ( x ) chứa a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , x 2 − a 2 có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn

a cos t

⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt x = a tan t
 a

 cos t
• Nếu f ( x ) chứa căn trong biểu thức dưới mẫu nên nhân liên hợp trước khi nhận

dạng để sử dụng phép đặt.
1

1



udu 1
u − 1 u.
=
4
4
2

2

∫(
1

2

 1  4 2 2 2   1 1 
1  u5 u3 
2 2
 −  −  =
u − 1 u du =  −  =  
−
+

4 5
3 1
3   5 3  30 15
 4  5
2

)


2 3

xdx
x

2

16 − x 2

Hướng dẫn, Ta thấy tích phân này chứa căn đặc biệt a 2 − x 2 và có dx đi
cùng x có luỹ thừa bậc lẻ nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt u = 16 − x 2 .
 xdx = −udu

2
2
2
Đặt u = 16 − x ⇒ u = 16 − x ⇔ 

2
2
 x = 16 − u
Đổi cơ số, x = 2 3 ⇒ u = 2, x = 4 ⇒ u = 0
0

Khi đó, I = ∫
2

2


8 0 4 + u
4−u  8
8
2

=

4

Ví dụ 11: Tính tích phân I =

∫

2 3

dx
16 − x 2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân này cũng chứa căn đặc biệt a 2 − x 2 như ví dụ
2 nhưng lại có dx đi cùng x có luỹ thừa bậc chẵn nên ta sử dụng phương pháp đổi
cơ số để làm và đặt x = a cos t .
dx = −4 sin t.dt


Đặt x = 4 cos t ⇒ 

2
2
 16 − x = 16 − 16 cos t = 4 sin t
3

Hướng dẫn, ta thấy tích phân này cũng chứa căn đặc biệt x 2 − 3 có dx đi
cùng x có luỹ thừa bậc chẵn nên ta sử dụng phương pháp đổi cơ số để làm và đặt
x=

a
.
cos t



3 sin tdt
dx =
cos 2 t

3

3
⇒
Đặt x =
−3
2
cos t
1
 x − 3 = cos 2 t
=
sin t. cos t
 x2
3
3


2
0

cos t

3

0

2

cos t

2

cos t

0

0

 cos t





dt
cos t
d sin t

1 − sin t
2
2
0




π
6

π
6

π
6

π
6

π
6

π
6

π

Tính I 2 = ∫ cos tdt = sin t 6 = 1
0


∫

2

1
x2 −1

dx

Chú ý:
(1) Đối với tích phân chứa căn ở biểu thức dưới mẫu nên sử dụng nhân liên hợp để
đưa về tích phân có dạng trên để tính.
(2) Đối với tích phân chứa căn bậc hai mà trong căn là một tam thức bậc hai đưa
biến đổi đưa về dạng a 2 − u 2 , a 2 + u 2 , u 2 − a 2 trong đó, u là một biểu thức của
x và a là một số không đổi. Sau đó nhận dạng để tính.
1

Ví dụ 13: Tính tích phân I = ∫

−1

dx
1+ x + 1+ x2

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có chứa căn ở biểu thức dưới mẫu. Do
đó, ta sử dụng nhân liên hợp để đưa về tích phân có các dạng như ở các trường
hợp trên.
1


x
−1

∫

1

1
−1

=0

Tính I 2 = ∫ dx = x −1 = 2
1

−1

Hướng dẫn, sau khi liên hợp song, ta thấy tích phân đã cho đưa về các tích
phân có thể tính được và xuất hiện cả dạng chứa căn x 2 + a 2 nhưng có dx đi với
luỹ thừa bậc lẻ. Do đó, để tính ta lại đặt cả căn làm ẩn phụ.


1

Tính I 3 =

1

1+ x2
1 + x 2 xdx

2

Vậy, I = I 2 = .2 = 1 .
1

dx

Ví dụ 14: Tính tích phân I = ∫

x + 2x + 5
2

−1

Hướng dẫn, ta thấy tích phân đã cho có chứa căn và trong căn là tam thức
bậc hai. Do đó, ta thực hiện biến đổi dồn biến x vào thành bình phương của một
biểu thức.
1

Ta có, I =

dx

∫

x 2 + 2x + 5

−1

1

Vì t ∈ 0; 4  ⇒ cos t > 0 nên cos t = cos t


π
4

Khi đó, I = ∫
0

π
2dt
π
4
2
cos t = dt = 1 [ ln 1 + sin t − ln 1 − sin t ] 4 = ln 1 + 2
∫0 cos t 2
0
2
cos t

(

)

(Sử dụng kết quả của ví dụ 12)
2

Ví dụ 15: Tính tích phân I =

∫

 9 − ( x − 2 ) = 9 − 9 cos t = 3 sin t
π
Đổi cơ số: x = −1 ⇒ t = π , x = 2 ⇒ t =
2
π 
Vì t ∈  ; π  ⇒ sin t > 0 nên 3 sin t = 3 sin t
2 


π
2

π

π

π

2

2

9
9 1
9π

Khi đó, I = ∫ 3 sin t.( − 3 sin tdt ) = 9 ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t ) dt = t − sin 2t  π =
2π
2 2
4


a

b

Khi đó, I = ∫ udv = uv − ∫ vdu .
a

π
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ ( 2 x − 3) sin 2 xdx
0

Hướng dẫn: Ta thấy, tích phân đã cho có dạng tích của một hàm đại số và
hàm lượng giác nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
du = 2dx
u = 2 x − 3

⇒
Đặt 
1
dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x

2
π
2

π
2

2

0

0

Khi đó, I = 1 ( x 2 + 2 x )e 2 x − ∫ ( x + 1) e 2 x dx =  3 e 2 − 0 − I '


2

2



Sau khi sử dụng công thức tích phân từng phân cho tích phân đã cho ta đưa
đến một tích phân mới vẫn có dạng tích của hàm đại số với hàm số mũ nên ta tiếp
tục sử dụng tích phân từng phần để tính để phân mới xuất hiện. Khi sử dụng hai
tích phân từng phần trong một bài không được sử dụng u và dv cho hai lần đặt đó.
1

2x
Xét I ' = ∫ ( x + 1) e dx
0

du1 = dx
u1 = x + 1

⇒
Đặt 


2

1

0

2
1  3e 2 1
 2 1 e
= e −  −  −  =
−
2  4 4
4
4


2

3e
3e
3e
1 3e
1
− I'=
−
+ =
+
2
2

a

1

(

)

2
Ví dụ 1: Tính tích phân I = ∫ 3x − 2 x + 1 ln( x + 1) dx
0

Hướng dẫn ta thấy tích phân đã cho có dạng tích của hàm đại số với hàm số
lôgarit nên ta sử dụng tích phân từng phần để tính.
dx

u = ln ( x + 1)
du =
⇒
x +1
Đặt 
2
dv = 3 x − 2 x + 1 dx v = x 3 − x 2 + x

1
1
x3 − x2 + x
3
2
dx

0
1

Dạng 6: Tích phân lượng giác.
TH1: Biến đổi lượng giác đưa về thừa nhận (Không thi vào)
TH2: Biến đổi lượng giác đưa biểu thức trong dấu tích phân biểu diễn theo sinx và
cosx. Khi đó, f ( x ) = f ( sin x, cos x )
2dt

dx = 1 + t 2

x
2t

⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số để tính và đặt t = tan ⇒ sin x =
đưa về tích
2
1+ t2


1− t2
cos
x
=

1+ t2


phân đại số để làm.
ĐẶC BIỆT


4) I = ∫
π
4

1 + 3 cos x

sin 2 x
dx
3
cos x − sin 2 x − 1

π
2

4) I = ∫
π
6

sin 2 xdx
sin 3 x

Dạng 6: Tích phân chứa trị tuyệt đối.
Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối.
Bước 2: Đưa ra dấu của biểu thức [ a; b]
Bước 3: Tách tích phân đã cho thành các tích phân theo dấu ở bước 2.


Ví dụ: Tính tích phân
4

⇒ Sử dụng phương pháp đổi cơ số để làm và đặt u = e x
ln 5

Ví dụ 1: Tính tích phân I =

∫e

x

ln 3
ln 3

Ví dụ 2: Tính tích phân I =

dx
+ 2e − x − 3
e x dx

∫

(e

0

x

)

+1


e

ln x
dx
2 2 + ln 2 x

(

)

ln x 2 + ln x
dx
Bài tập tương tự: I = ∫
x
1
e

3

2

2
ln x
ln( x + 1)
I = ∫ 2 dx I = x + 1 ln xdx
I=∫
dx
,
,
∫1 x

Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một đồ thị hàm
số và trục hoành thì cận a, b là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 4 x và
hai đường thẳng x = −1.x = 2 , trục hoành.
Ví dụ 2:(D-2012) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y=

− 3x − 1
và hai trục toạ độ.
x −1

Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi một đồ thị
hàm số và trục hoành mà không có hai đường thẳng x = a, x = b . Đi giải phương
trình f ( x) = 0 và hai đường thẳng x = a, x = b chính là nghiệm của phương trình.
Dạng 2: Hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) và hai
b

đường thẳng x = a, x = b ⇒ diện tích S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 − x 2 , y = x
và hai đường thẳng x = 0, x = 1 .
Ví dụ 2: (A-2014)Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong
y = x 2 − x + 3 và đường thẳng y = 2 x + 1 .
Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
hàm số mà không có hai đường thẳng x = a, x = b . Đi giải phương trình f ( x) = g ( x)
và hai đường thẳng x = a, x = b chính là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3:(A-2007) Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng

(

và phá dấu trị tuyết đối khó khăn.
2
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 4 x + 3 và
y = x + 3.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y = x2 , y =

x2
27
,y=
27
x

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y = x2 , y =

x2
2
8
,y = ,y =
4
x
x


Chú ý: Tơng tự( bằng cách coi x là hàm, y là biến). Khi đó, diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đờng cong x = g(x) và x = h(x) cùng liên tục trên đoạn [c; d] là:
d

S = | g ( y ) h( y ) | dy


1
, x = 0, x = 1, y = 0 . Tớnh th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh
1+ x2

Oy.
Vớ d 2: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = 2 x x 2 , y = 0 . Tớnh
th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh
a) Ox.
b) Oy
Vớ d 3: Cho hỡnh phng (H) c gii hn bi th hm s y = x 2 , y = 3x + 10, y = 1 .
Tớnh th tớch khi trũn xoay to thnh khi quay (H) quanh Oy.