Chuyờn tớch phõn & ng dng Vn Hong
1
1. Bng nguyờn hm ca cỏc hm s.
2. Cỏc phng phỏp tớnh tớch phõn:
a) Phng phỏp i bin s:
* Loi 1:
Dng:
2 2
a x dx
,
2 2
dx
a x
t x = asint.
Dng:
2 2
dx
x a
t x = atant,
P x xdx
( )cos ,
b
a
P x xdx
( ) ,
b
x
a
P x e dx
t u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e
x
dx).
Dng:
2 2
, ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
t u = x, dv =
2
cos
dx
x
cos .
b
x
a
e xdx
t u = sinx (u = cosx), dv = e
x
dx. Tớch phõn tng phn 2 ln.
Dng:
sin(ln ) , cos(ln ) .
b b
a a
x dx x dx
t u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tớch phõn tng phn 2 ln.
d) Tớch phõn hm s chn, l:
Nu y = f(x) liờn tc trờn on [-a; a] v:
+ y = f(x) chn thỡ
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
.
+ y = f(x) l thỡ:
( ) 0
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xột tớch phõn
0
( )
1
x
f x
dx
a
i bin s x = -t.
Kt qu ta c
0
( )
( )
1
x
ln3
3
0
( 1)
x
x
e
I dx
e
HD: t t = mu a v dng
b
a
u du
. S
2 1 I
Bi 3: Tớnh tớch phõn
0
2
3
1
( 1 )
I dx
x x
HD: nhõn t v mu vi x ri t
2
4 t x
. S I=1/4.ln5/3
Bi 6: Tớnh tớch phõn
4
0
1 cos2
x
I dx
x
HD:a v dng tớch phõn tng phn. S I = /8-1/4.ln2
Bi 7: Tớnh tớch phõn
1
3 2
0
1
I x x dx
;
1
I dx
x x
.t
2
1 tgt x
Bi 9 :Tớnh tớch phõn :
2
1
1 1
x
I dx
x
(i hc khi A 2004)
t
2 2
1 1 1 2t x t x x t dx tdt
1 0; 2 1x t x t
1 1 1
2 3
2
0 0 0
1
3 2
0
1 2
2 2 2 2
x x
I dx
x
(i hc khi A 2005)
2
2
1
2 2
0 0 2
2
2 3
1
ẹaởt 1 3cos 1 3cos 2 3sin
2
sin . caọn : 0 2; 1
3 2
1 2
2 1
2cos 1 sin
3 3
2sin cos sin
1 3cos 1 3cos
2 2 1 2 2
3 3 3 9 3
t x t x tdt xdx
tdt
2
1
2 16 2 2 1 34
3 9 3 9 3 27
Bi 11 : Tớnh tớch phõn :
2
2 2
0
sin2
cos 4sin
x
I dx
x x
(i hc khi A 2006)
2 2 2 2
2
2 2
1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x);
x = a; x = b có diện tích: S
D
=
( ) ( )
b
a
f x g x dx
2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi
quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Ox
=
2
( )
b
a
f x dx
3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi
quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Oy
=
2
2 2
2
3
3 3
1 1
1
1 1
Ta có : , 1;2 , 0
1 1
1
1
1
1 1
1 '
1 1 3 1 1 1
ln ln 1
3 3 3
1 1
1 1
ln2 ln9 ln2 .
3 3
S dx x
x x x x
x x
dx x
S dx dx
x
x
x x x x
x
4 1
ln2 ln9
3 3
S đvdt
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường : x + y = 0 và x
2
– 2x + y = 0
2
2 2
Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : , 2
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là :
2 3 0 0 3
y x y x x
x x x x x x x
3 3
2 2 2
0 0
2 3 0;3 , 3 0Vậy S x x xdx x xdx x x x
1 1
0 0
1
0
Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : 1 1
0
0
0
1
1 1 ;
0;1 , ta luôn có 0, vậy
x
x
x
x x
x x
x
e x e x
x
x
x e e
x
e e
S e x e xdx x e e dx
x x e e S x e e dx
u x du dx
Đặt
dv e e dx
1
2
1
0
0
0
1 1
2 2 2
x x
x x x
v e e dx ex e
ex e e
S x ex e ex e dx e e đvdt
3 2 3 9 3
3
3.18
B
B
A
A
x
x
x
x
B A
B B A A
B A B A B A
B A B A A A B B
kx
S k x x dx k x x
kx kx
k x x k x x
k
x x k x x x x
k
x x x x k x x x x
k k k k
k
k
3
3
2
2
min
90 18 2 6 5 12 60
54
1 1
12 60 6 24 Vậy S 6
54 54
k k k k k
k k k k
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x
2
, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ bằng 3.
2
2
9
2
0
9
9
3
2
0
0
18 81
9 9
18 81 0 9. 0;9 : 0
6 6
2
9 9 27 27 9
Vậy : 18
6 12 6 3 4 2 4
y
y y
y y y S y dy y y
y
y y y
S y dy đvdt
x
x
x
V x x dx x xdx
2 3
0 0 0
0
1 cos2
cos2
2 2 2 4 2 4 2
x x
x dx xdx x xdx I I
Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx ,
y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
2
2 2
1
1 1
2
3
2 2
x
dv x dx
v x dx
dx x
Đặt u x du dv x dx v x dx
x
x e x e e e
I x x dx
e
e e
V đvtt
2 2
2
có pt đt (d) : 5 1 5
hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
x x
I dx
x
KQ:
34
27
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
KQ:
2ln 2 1
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005
2
sin
0
0
sin
I xtgxdx
KQ:
3
ln2
8
Bài 6. Tham khảo 2005
4
sin
0
.cos
x
I tgx e x dx
KQ:
1
2
ln 2 1 e
Bài 7. Tham khảo 2005
2
1
ln
I dx
x x
KQ:
6ln3 8
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
1
5 2
0
1
I x x dx
KQ:
8
105
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
2
3
0
sin5
x
I e xdx
KQ:
3
2
3. 5
34
0
2
1
2 4
dx
I
x x
KQ:
3
18
Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
2
1
ln
e
x
I dx
x
KQ:
2
1
e
Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
2
3
2
2
2 2
0 0
sin sin
;
sin 2 cos
sin 2cos .cos
2
xdx x xdx
I J
x
x x
x x
KQ:
ln 2
3
3 4
I
2
0
2 4 9
4
x x x
I dx
x
KQ:
6
8
Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005
1
3
0
1
xdx
I
x
KQ:
1
4
Bài 25. CĐSP KonTum – 2005
3
2
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
KQ: 2
2006
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
2
e
Bài 4. Tham khảo 2006
2
0
1 sin2
I x xdx
KQ:
1
4
Bài 5. Tham khảo 2006
2
1
2 ln
I x xdx
KQ:
5
ln4
4
Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006
ln5
e
x
I dx
x x
KQ:
10 11
2
3 3
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
4
Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
1
2
0
ln 1
I x x dx
(Đổi biến
2
1 t x
, từng phần)KQ:
1
ln2
2
2
0
1
x
I dx
x
KQ:
1
ln 2
2
Bài 13. CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin cos
1 sin 2
x x
I dx
x
KQ:
ln 2
Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006
Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006
4
0
1 cos
I x xdx
KQ:
2
1
8
Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006
4
0
cos2
1 2sin 2
x
I dx
x
KQ:
1
ln3
I dx
x
KQ: 2
Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006
4
2
0
cos
x
I dx
x
KQ:
2
ln
4 2
Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006
3
1
3
3 1 3
x
KQ:
3
2 11
9 18
e
Bài 24.
1
2 3
0
2
I x x dx
KQ:
2
3 3 2 2
9
Bài 25.
2
2
0
2 1 cos
I x xdx
2cos3 1
x
I dx
x
KQ: Không tồn tại
Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006
1
2
0
ln 1
I x x dx
KQ:
1
ln2
2
Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006
2
1
1
5
I dx
x
KQ:
1 5
ln
2 3
2
0
2 7 ln 1
J x x dx
KQ:
24ln3 14
Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006
4
8
0
1
I tg x dx
KQ:
76
105
Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006
4
2
Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D
1
, M– 2006
3
2
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
KQ:
2
3
3
3 3 2 2
8
Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
4
4 4
0
cos sin
2
3
Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
1
2
0
3
x
I dx
x
KQ :
4 1
ln
3 4
Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006
2
2
1
cos
I x xdx
KQ:
2
KQ:
ln 2
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
5
Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006
3
4
ln
sin 2
tgx
I dx
x
KQ:
2
1
ln 3
16
Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
2
3
2
x x
KQ:
4
Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006
7
3
3
0
2
3 1
x
I dx
x
KQ:
46
15
Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006
4
2
0
cos
x
dx
I
x x
KQ:
2
ln2
3
.
2007
Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1 , 1
x
y e x y e x
. KQ:
1
2
e
Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
lny x x
,
x
dx
x
KQ:
2 ln 2
Bài 5. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1
0 à
1
x x
y v y
x
. KQ:
1
ln2 1
4 2
Bài 6. Tham khảo khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2 2
à 2 y x v y x
. KQ:
1
2
2
4
Bài 9. CĐSPTW – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương
trình
2
2 y x
;
; 1; 0 y x x x
. KQ:
7
6
Bài 10. CĐ GTVT – 2007
3
2
0
4cos
1 sin
x
dx
x
KQ: 2
Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
2008 2008
3 2
2008
Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
2
1
ln
e
x x dx
KQ:
3
1
5 2
27
e
Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
4
2
1
sin
x x dx
KQ:
3 2
2 2
1
1
dx
x x
KQ:
3
1
3 12
Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007
3
3
2
1
1
x x dx
KQ:
14 3
5
Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
0
2
1
1
1 10
ln 2 3
2
9 3
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
x dx
x x x
KQ:
4 3 2
4
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008
2
3
1
d F x F x C
Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được
nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo
dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho
gọn bài viết).
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm
1.
7
2
2 1 5 .
x x x dx
2.
7
sinx.cos x.
dx
3.
ln .
x dx
x
1.
7 7
2 2 2
2 1 5 . 5 . 5x x x dx x x d x x
x d x x C
x
Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm
1.
sin3 . os2x.dx
x c
2.
1
dx
x x
3.
3
2
.
1
x dx
x
1.
1
sin3 . os2x.dx sin5 s nx .
2
x c x i dx
2ln 1 2ln 1d x x x x C
3.
2
1
2
3
2
1
3
2
2
3
1
. 1
1 .
1
2
2
2
3
3
1
4
x C
Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1.
sinx
dx
2.
4
cos x
dx
1.
2
2 2
sinx
sin . os . os
2 2 2 2
x x
d d
dx
x x x x
c tg c
cos x cos .cos cos
d tgx
dx dx
x x x
=
2 3
1
1 . ( )
3
tg x d tgx d tgx tg x
=
3
1
3
tgx tg x C
2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân.
Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân
( ).
b
a
f x dx
1 2 1 2
ln . ln .( )
1 2 1 2
x t
I dx dt
x t
1
1 1
1 1
1 2 1 2
ln . ln .
1 2 1 2
t t
dt dt
t t
Đặt t = -x
x = -t
dx = - dt. Đổi cận x = -2
t = 2 và x = 2
t = -2
Do đó:
2
2 2
2
2 2
2 1 2 1
t t
t dt
t dt
I
=
2
2 2
3
2
1 1 8
. .
2 3 3
2
I t
Thí dụ 3: Tính
2
0
sinx.
sinx osx
dx
c
Đặt t =
2 2
x x t dx dt
.Đổi cận: x = 0
à 0
2 2
Vì I + J =
2
0
sinx.
sinx osx
dx
c
+
2
0
osx.
osx sinx
c dx
c
=
2
0
1
2
2 4
0
.sin .sin3 .( )I t t t dt
=
0
.sin .sin3 .t t t dt
=
0 0
sin .sin3 . .sin .sin3 .t t dt t t t dt
=
0
os2t-cos4t
2
c dt I
được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :
3
3
4
4
2
0
0
tan 1
cos
dx
I x
x
(?). Lưu ý :
2
1
( )
cos
f x
x
không
xác định tại
3
0;
2 4
3 1
I x
x
7
5 2
3
3 3
0
1 3 46
(3 1) 3(3 1)
9 5 15
x x
Thí dụ 2 : Tính
1
2 2
0
( 3 2)
dx
x x
x
.
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách
cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ 3 : Tính
3
2
1
2 .
I x x x dx
3 0 2 3
2 2 2 2
1 1 0 2
2 . 2 . 2 . 2 .I x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
0 2 3
4
2
7
9
dx
I
x x
(Học viện KTQS - 1999)
Đặt
1
t
x
1
x
t
2
dx
dt
t
.
Đổi cận :
7x
Thí dụ 5 : Tính
1
4
1
1 2
x
x dx
I
(Đề Học viện BCVT - 1999)
Đặt t = x x = t dx = dt.
Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = 1 t = 1 ta có :
1 1 1 1
4 4 4
1
4 5
4
1
1 1 1 1
( ) .( ) 2 . 1 2
5 5
x
g x dx
a
với a > 0 và g(x) là hàm số
chẵn, đều làm như trên.
Thí dụ 6 : Tính
1
1
2
ln
2
x
dx
x
Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :
-1
1 -1 1 1 1
-1 1 -1 -1 -1
2-x 2+t 2+t 2-t 2-t
I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I.
2+x 2-t 2-t 2+t 2+t
0
0 0 0
1
( )
1 sinx 1 sinu 1 s inu
1 sin
x u
I dx u du du du
u
2
2
0 0
1 1
2
2 2 4
u
os
sin os
2 4
2 2
.
Chú ý : Nếu gặp tích phân
( )
b
a
f x dx
mà tính mãi không được,
các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ
trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.
Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần
hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :
0
( ) ( )
a T T
a
f x dx f x dx
Ta có
( ) ( ) ( )
a T T a T
a a T
Chứng minh dễ dàng hàm số y =
sinx
là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là
.
Do đó :
2007 2 2007
0 0 2006
sinx sinx sinx s inxdx dx dx dx
0 0
2007 sinx 2007 sinx. 2007 osx 5014
0
dx dx c
3. Sử dụng công thức tích phân từng phần :
Ta có :
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu
=
0
2 sin 2t
Thí dụ 11 : Tính I =
1
5
0
. .
x
x e dx
Giải : Xét
1
0
. .
n x
n
I x e dx
. Đặt
1
.
2 1 3 2
4 3 5 4
2 2; 3 3( 2) 6 2 ;
4 4(6 2 ) 9 24; 5 5(9 24) 120 44
I e I e I e I e e e
I e I e e e I I e I e e e
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương
tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho
n = 2;3;4;5.
Chuyờn tớch phõn & ng dng H Vn Hong
8
CC BI TON CHN LC
1. Tớnh tớch phõn :
2 3
2
5
4
dx
I
x x
(A 2003)
t t
xdx tdt dt
I dt
t t t t
t t
x x
t
dt t t
t t t
1 5
ẹoồi x t x t
t t
I x x xdx t t tdt t t dt
3. Tớnh tớch phõn :
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
(B 2004)
2
3 2
1 3ln 1 3ln 2
3
dx dx tdt
ẹaởt t x t x tdt
x x
1 1; 2x t x e t
( B 2006)
ln5 5 5 5
2 2
ln3 3 3 3
5
5
5
3
3
3
. ln3 3, ln5 5
1 2
2 3 3 2 1 2 1 2
1 1 2 3 1 3
ln 2 ln 1 ln ln ln ln
2 1 1 4 2 2
x x
x
x x
ẹaởt t e dt e dx x t x t
t t
e dx dt dt
I dt
e e t t t t t t
(B 2005)
2
2 2
0 0
2
2
1 2 2
2 2
2 1 1
1
2sin cos cos sin cos
2
1 cos 1 cos
1 cos sin ; caọn : 0 2, 1
2
1
2 1 1
2 2 2 2 2 2 ln
2
1
2 2 4 ln2 2
2
x x x x x
I dx dx
x x
ẹaởt t x dt xdx ẹoồi x t x t
5. Tớnh tớch phõn :
2
4
0
1 2sin
1 s 2
x
I dx
in x
(B 2003)
4
0
2
2
1
1
0 1
cos2
ẹaởt 1 sin2 2 cos2 .
1 sin2
2
4
1 1 1
Vaọy ln ln2
2 2 2
3 3
2
2 2 2
1 1
4 4 4
4
2
2 2 2
4
2
1 2
ẹaởt 1 2 .
1 1
3 4
1
1 1 1 1 1 1
ln 1 ln
2 2 2 1 2
1 1
1 1 1 3 1 1 3
ln ln ln ln
2 2 4 2 2 2
x t
dx xdx
I t x dt xdx
x x x x
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
(D 2005)
2 2
sin 2
0 0
cos cos
x
I e xdx xdx A B
2
sin
0
1
1
0
0
2 2
2
2
0 0
8. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1I x dx
2 2
gaởp , ta ủaởt sin , ;
2 2
Khi a x x a t t
t
sin ; cos .
2 2
x t t dx tdt
9. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1
dx
I
x
2 2
1
gaởp , ta ủaởt , ;
2 2
Khi x atgt t
a x
10. Tớnh tớch phõn :
1
2
0
1
dx
I
x x
1
2
2
2
0
3
2 2 2 2
3
2
2 1
ln
Đặt :
x 2x-1
1
I= udv= uv - vdu= xln x -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx
x-1
x x-1
=3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3
x
u x x
du dx
x x
dv dx
v x
2x 2x 2 2x
0
0 0 0
0 0
du=dx
u=x-2
Đặt : Þ
1
dv=e dx
v= e dx= e
2
1 1 1 1 5-3e
I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e +2 - e =
2 2 2 4 4
13. Tính tích phân :
cos '
4 cos
1 1 1
ln cos ln ln 2.
4 4 4 2 2
2
u x du dx
x x
I dx dx I Đặt
dx dx
x x
dv v tgx
x x
x
I udv uv vdu xtgx tgxdx dx
x
x I I
1 1
1
1
0
0 0
1
1 1
0 0
0
2 . Đổi cận : 0 0, 1 1
1 1
2 2 2
1
1 1
2
x t t
t t
t t t
Đặt t x dt xdx x t x t
dt
I x e xdx te te dt I
u t du dt
Đặt I udv uv vdu
dv e dt v e
te e dt e e e e I
2
2 2
1 2
0
0
2
sin cos
sin
Vậy cos 2 cos 2
du tdt
u t
Đặt
v tdt t
dv tdt
I t t t tdt I
16. Tính tích phân :
2
2
0
I x x dx
(D – 2003)
Giải phương trình x
17. Tính tích phân :
2
4
2
0
1
4
x x
I dx
x
(Dự bị 2 A – 2004)
2
2 2 2
3
2
2 2 2 2
0 0 0
0
2
2
x 17 x xdx dx 16
I= x -4- + dx= -4x - +17 =- -A+17B
3 3
x +4 x +4 x +4 x +4
8
8
4
4
1 1 1 1
ln ln8 ln 4 ln 2 ln 2
2 2 2 2
dt
A t
t
2
4 4
4
2
0 0
0
2 1
1 1 16 17
ln 2
2 2 8 3 8
4 4
tg t dt
B dt t Vậy I
tg t
9 7
8
1 1 2 2
1 1 1 1
9 7 9 7
8 8
x thì x x x
x
dx dx
đpcm
x x
19. Chứng minh rằng :
2
2
4
5
3 2sin
2 4
xdx
20. Chứng minh rằng :
1
2
0
4 5
1
2 2
x
dx
2 2
2
2
1
2
p p p p
0 0
4 4 4 4
2
p p p p
0 0
- - - -
3 3 3 3
p
0
4
p
0 -
3
I= 2sin xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx- sinxdx
1 1 3 2
= 2 -cosx - -cosx = 2 - +1- -1+ = -1
2 2
2
5 2
5 5 2 3
2 3 5 3
x x A B Ax A Bx B
Ta
x x
x x x x x x
A B A
x A B x A B
A B B
2
2
1
1
2 3
2ln -3 3ln 2 3ln4 - 2 ln 2 3ln3
-3 2
1
x
dx
x
3 3 2 3 3
3 3 2 2
1
3 2
3 1
1 3
1 1 1 1 1
3 1 2 3 1 3
1
1 1 1 1
A B x
B A
x A B Bx A B
A B B
x x x x x
x
dx dx C
x
x x x x
I dx
x
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
1
2 2
0
1
1
ln 1
1 1
ẹaởt
1 1 1
1
1
1
1
0
0
2 ln 1 2 1
ln 1, 2
1 3
ln ln 2
2 2 2
ln
I : ẹaởt ln 2ln2
3
2ln2 2 1 2ln2 1. 2ln2
2
dx
ẹaởt t x dt x e t x e t
x
t
I t t dt tdt tdt I I I
dt
u t
du
Tớnh I t t dt t
t
dv dt
v t
I
(S G TP 20042005)
1
sin cos . ; 1
6 2 2
ẹaởt t x dt xdx x t x t
2
1
1 1
2
2
2 2 2
1
1 1
2
6 2 2
1-t dt
cos xcosxdx 1 1 1 1
0
0 0
ẹaởt 3
1 1
9
3 3
1 1 1 1 1 1
3 3 18 18 3 3
9 3 3 3 3
1 1 3 1 1 1 1
ln 3 ln 3 ln ln ln1 ln
18 18 3 18 2 18 2
x t
x dx
I t x dt x dx
x t
x
t t
dt dt
I dt dt
t t
t t t t t
t
t t
t
.
Tớnh I bng cỏch t
2
t x
3
0
3 3
2 2
3 3 3 3
3 3
0 0
2
2
2
0
0
0
2
2
0
2
sin
2
cos cos
cos sin cos sin
sin cos
29. Tớnh tớch phõn :
3
4
3 5
4
sin cos
dx
I
x x
2
3 3 3
2 2 2
4 3 5 3 5 3
4
4
t dt t
t
30. Tớnh tớch phõn :
1
0
sinI x dx
1
2
0
1
31. Tớnh tớch phõn :
2
4 2
.
4 4 4
4 4
2
2
1 1 1 1 1 1 5
ln ln 4 ln ln ln ln
4 4 4 4 3 5 4 3
xdx
I t x dt x xdx xdx
x x
x t
t t
dt
I dt dt
t t
t t t t
x t
t
t t
t
' cos ' sin
cos sin 1
' '
1
1 2 1
2
x x
x x
x x
x x
u x du dx
ẹaởt I e x e xdx J
dv e dx v e
u x du x dx
ẹaởt J e x e xdx e I
dv e dx v e
e
I e I I e I
ln ln 4
4
t t
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
11
2
2
2 2 2
2
1 cos
1 cos
3
2 2
0
2
2
3 3
3 3
2 2
2 2
u 1 cos 1 cos 2 2sin cos
n 0x x k k
34. Tính tích phân :
3
0
sin
1 sin
x
I dx
x
2
0 0
1 1 cos2 1
sin sin 1 sin 1
1 sin 2
1 cos( )
2
x
I x x dx x dx
x dx
x
x
x x x tg
35. Tính tích phân :
1 1 1 1
sin cos2 1 0
4 4 4 2
x xdx
x x xdx
x xdx
I
x x x
x x dx x x x dx x x dx
x x
I dx dt dx I I I
x t t x
37. Tính tích phân :
1
3 2ln
1 2 ln
e
x
I dx
x x
(Dự bịB–2006)
2
2
2 2
38. Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x
2
+ y – 5 = 0
; x+ y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi
quay miền D quanh trục hồnh.
2
5
Hình phẳng D được giới hạn bởi 2 đường
3
y x
y x
2 2
2 2
2
1
1
11
11 6 16 3 16
5 3
Ox
x x
V x x x dx x x
32 88 1 11 153
44 13
5 3 5 3 5
đvtt
2 2
4 10 4 1
4 1 10
4 10sin cos
4 2
2 2
2
cos
2
x t
x dx
t tg dt
x
x t
dx
x
dt dt dt
I
x x
t t
t t
t t
x
t t
dt dt t t
t
t
t t
t
t
6sin cos
cos
Tính J : Đặt
1
cos6
cos6 sin6
6
1
sin6 cos sin6 cos sin .
6
I x x x dx x x xdx x x xdx J K
du x xdx
u x
dv xdx
v xdx x
J x x x x xdx K Vậy I
4 4
1 0 0
1
4
1 1 1 1
4 4 5
4
0 0 0 0
0
. .
2 1 2 1 2 1
1 1
2 2
Đặt .
0 0 2 1 2 1 2 1
2 1
2
5
2 1 2 1 2 1
x x x
t x
t t x
x
x
x x x
x x x
I dx dx Xét J dx
t dt
x t
t dt x dx
n n
xdx
I
x x
0
2 2
0 0
2
2 2
2
0
0 0
0
2
;
2
0
2
cos
2
sin sin
.
sin cos sin cos
cos sin
2 2
Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng
12
43. Tính tích phân :
4 4
4
4
sin cos
3 1
x
4 4 4 4
0
4 4
4 4
0 0
4
4 4
4 4
4 4
0 0
4 4
4 4 4
4 4 2 2
0 0 0
2
3 sin cos 3 sin cos
sin cos
3 1 3 1 3 1
4 4 4
0 0 0
4
0
1 1 cos4 3 1
1 cos4 .
2 2 4 4
3 1 3
sin4 .
4 16 16
x
dx dx x dx
x x I
cos 2
Ta x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
0
0
1 cos 2 .sin 2
1 cos sin cos 2 1 sin 2 cos 2
4 4
1 cos4 sin 4 1 1 1 cos8 15 1 1
cos4 cos4 cos8
2 16 2 2 32 32 2 32
15 1 1 15 1 1 15
: cos4 cos8 sin 4 sin8
32 2 32 32 8 256 64
x x
x x x x x x
x x x
2
2
6 6
0 0
1 1
3 2
2 2
0 0
2
0 0
.2
Đặt 2 Vậy 2
1 1 1 1
0 0
2 1
3
3 2
3
1 1 1 1
0 0 0
; 1
2 2
1
x t
t tdt t dt
t x t x tdt dx I
x t t t
du
t u
Đặt u t du t dt I du
4
1
2 2 2
3 3 3 6
1
gm m
tg m dm
I dm m
tg m
46. Tính tích phân :
3
2
0
max 1;
4
x
I dx
47. Tính tích phân :
2
2
1
2 1
1
x
I dx
x x
2
2 2 2
A B B
x x
A C
x
I dx x x
x x x x x
x
G
0 – 0 +
2 2
2 2
2
2 1 2
3
1
2 2
0
0 0 1
1
1 1
0 1: 1 ; 1 2: 1
8 1 10
max 1; ; 1
3 3 3 3
x x
x x x x x x
x x x x
x
F x x dx dx x dx x
3 2
1 1
3 2
2 2
0 0
1
1 1
5
3 2 4
0 0
0
2 2 2
2
1 2 2
5 3
2 2 2 4 2
0 1 1
1
1
1
1 1
1
1
5 5
0 1
1 1 2 2 .
1 2
1 1 .
1 1 2 2 2 2 2 1
.
5 3 15 15 15
Vậy T
50. Tính tích phân :
4
0
ln 1B tgx dx
0
4 4
0 0
51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên
và tuần
hồn với chu kỳ T thì :
2
(2) vào (1) ta được
T a a T T
a a T
T
a T
a a a
a
T a T
a
Ta f x dx f x dx f x dx f x dx
x a T t a
Xét f x dx x T dt dx
x T t
I f t T dt f t T dt f t dt f x dx
Thế f x dx f x dx đpcm
Áp
2 2
0 0
2
0
in 1002 2 sin sin
1002 2 cos cos 4008 2
x dx xdx xdx
x x
52. Tính tích phân :
1
2004
1
sinI x xdx
53. Tính tích phân :
2
0
sin cosD x x xdx
0
2 2
0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
0
0
sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos 2 sin cos
cos sin
x t
Đặt t x dt dx
0 1 1
1
0 1
1
2
sin cos
3 3 3
t u
dt
t u
u
t tdt u du u du D
54. Tính tích phân :
3
0
sin .sin2 .sin3 .cos5I x x x xdx
3 3
2 2
0
sin sin2 sin3 cos5 (2).
Thế (2) vào (1) ta được 0
dt x x x xdx
I
55. Tính tích phân :
1 1 1 1 1 1
; 1
2 2
x x x
t x
t t x
dx dx dx
I J
e x e x e x
x t
Đặt x t dx dt
x t
dt e dt e dx dx
J Vậy I
x
e t e t e x
Đặt x tgu u dx tg u
56. Giải phương trình theo ẩn x :
1
1 ln
18
x
e
t
dt
t
1
2
1 ln
1 ln
2
0
0
1
5
2
2
7
1 ln
1 ln 6 ln 5
18 1 ln 36
1
2
1 ln 6 ln 7
x e
x
x x
pt x
x x
x
e
1
1 1 1
3 3 Với 2;5 0
1 1 1
1
ln 1 ln 4 ln1 2 ln
1
x
x x
Hàm y x
x x
Vì y x
x
Vậy S x x dx dx x
x x x
nên S dx x
x
1 1 4
4 4 4 2
elip có a 4 2, 1 1 nên hình giới hạn elip có : 2 2
8 8 8
4 4 8 8
4 4 3 4 3 3 3
Ox
x x x
Elip y y y x
Vì a b b x
x
V y dx x dx x đvtt
59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do
quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường
tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2.
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
Oy
y 2 sin u 1 u
2
ët y 2sin u u ; dy 2cosudu
2 2
y 2 sinu 1 u
2
1
I 4 4sin t2cosudu 4 cos u cos udu 4 cos udu 2 1 cos2u du 2 u sin2u
2
2 2 V
2 2
2 2
4 và
4
4 2
x x
y y
(Đại học khối B – 2002)
2 2 2 4 4 2
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
hoành độ giao điểm 2 đường là :
8 2 2
4 4 4 0
4 4 32 32 4
4 2
16 (vô lý)
4 Với 2 2;2 2 , 4 0
4 4
4 2 4 2
nên 4 4
4 4
4 2
pt
x x x x x x
2
2 2
4 4 4
2 2
4 4 4 4
4 2
1
16 Đặt 4sin ; 4 cos
2 2 2
2
2 2 sin
2 4
2
2 2 sin
2 4
1
16 16sin .4 cos 8 cos cos 8 cos 4 1 cos2
2
x
dx A B
A x dx x t t dx tdt
x t t
x t t
A t tdt t tdt tdt t dt
16 2 16 2
3
4 2 12 2 12 2
8 4
2 4 2
3 3
t
x x
B dx
Vậy S A B đvdt
3
2 2
3 3
2
2
3
2 2
3
1
1
0
5
3
3 3
8
3
3
2
3
3
1
0
0
3
sin sin
cot .
cot . 1 1 cot
sin
sin sin
1
61. Tính tích phân :
2
1
ln
1
e
e
x
I dx
x
1
e
e
e
e
e e e
e
e
e e e
e
e
dx
u x
du
x
dx
Đặt
dx
dv
v
x
x
x
dx
I x A
x
x x
x x
dx
A dx dx x x
0ậy I
62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2
4 3 và 3y x x y x
(Đại học khối A – 2002)
2
2 2
2 2
hoành độ giao điểm của 2 đường là : 4 3 3
x
0 5
2
4 3 3x x x
0
–
0
5 5 5
2 2
0 0 0
5
2
0
5
2 2
0
3 4 3 3 4 3
55
3
2 2
4 3 Giải pt 4 3 0 ta được : 1 3
S x x x dx x dx x x dx
x
x I I
I x x dx x x x x
S
63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường :
; 2 ; 0y x y x y
. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy.
2
2 2
1 1
2
2 2
2 4
0 0
1
2
1
3 5
2
0
1 1 32
4 2
3 5 3 5 15
y y
đvtt
64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y =
e
x loại
x x
x x
Vậy V x x dx x xdx I
x
du dx
u x
x e
x
Đặt I x x xdx
x
dv x dx
v x dx
' ln
'
'
3
1 1 2 1
ln
3 3 3 9 3 9 9 9
5 2
2 2 1
.
3 3 9 27
e e
e
Ox
dx
du
u x
x
Đặt
dv x dx x
v x dx
x e x e e e
I x x dx
e
e e
V đvtt
Copyright: Tài liệu đại học ©