cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
1
Thư viện tài liệu trực tuyến
cbook.vn

Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên)
CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
2 LỜI NÓI ĐẦU


cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
3 MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2
MỤC LỤC 3
KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5
CHƯƠNG 1: CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 10
I. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN. 10
I.2 TÍCH PHÂN. 13
VẤN ĐỀ 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 14
VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ 17
Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t) 18
Một số trường hợp thường gặp 18
Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x) 24
Dạng 3: Ứng dụng của phương pháp đổi biến 33
VẤN ĐỀ 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP 36
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 36
VẤN ĐỀ 4: PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ 49
VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 49
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
5 KIẾN THỨC BỔ TRỢ

tan tan   

 
cot cot    3. Cung phụ nhau
sin cos
2


   



cos sin
2


   



tan cot
2


   



tan cot
2


    



cot tan
2


    

5. Cung hơn kém


 
sin sin     

 
cos cos   

 
tan tan  

 

2
1
1 tan
cos
  


2
2
1
1 cot
sin
  


2. Công thức cộng
 
cos cos cos sin sina b a b a b  

 
cos cos cos sin sina b a b a b  

 
sin sin cos cos sina b a b a b  

 
sin sin cos cos sina b a b a b  

 
tan tan

1 tan


4. Công thức nhân ba
33
3sin sin3
sin3 3sin 4sin sin
4
  
       

33
3cos cos3
cos3 4cos 3cos cos
4
  
       5. Công thức hạ bậc
2
1 cos2
sin
2




2
2
sin
1
t
t



2
2
cos
1
t
t



2
2
tan
1
t
t

7. Công thức biến đổi tích thành tổng
   


cos cos 2sin sin
22
a b a b
ab

  

sin sin 2sin cos
22
a b a b
ab



sin sin 2cos sin
22
a b a b
ab



 
sin
tan tan
cos cos
ab
ab
ab


B. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

1. Công thức tính đạo hàm của hàm số hợp
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
8

Cho
y
là hàm số theo
u
và
u
là hàm số theo
x
thì ta có:
' ' '
.
x u x
y y u2. Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây
 
u u x
;
 
v v x
)

1x 

 
'
1
.xx
 


 


 
'
2
11
,0x
xx

  



 
'
1
,
2
x
x

 
 
'
'
,0
2
u
uu
u


4. Đạo hàm của hàm lượng giác

 
sin ' cosxx

 
cos ' sinxx

 
2
1
tan '
cos
x
x


 
2

u
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarít

 
' .ln
xx
a a a

 
'
xx
ee

 
' . '.ln
uu
a a u a

 
' '.
uu
e u e

cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
9

ln '
u
u
u
C. VI PHÂN
Nhớ lại:
   
 
 
'y f x dy d f x f x dx   

Vậy có:
•
 
.d ax b a dx
•
2
11
d dx
xx




•
 
2

•
 
xx
d e e dx
•
 
ln
dx
dx
x



.
Ghi nhớ : Nếu
 
Fx
là nguyên hàm của
 
fx
thì mọi hàm số có dạng
 
F x C

(
C
là hằng số) cũng là nguyên hàm của
 
fx
và chỉ những hàm số có dạng
 
F x C
mới
là nguyên hàm của
 
fx
. Ta gọi
 
F x C
là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của
hàm số
 
fx

thì
   
f u du F u C

.

3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
 
a,b a 0  
:

dx x C


1
ln
dx
ax b C
ax b a
  



 
1
1
1
,
x
x dx C


1
sin cosaxdx ax C
a
  


2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x


   


1
cos sinaxdx ax C
a



2
cot ,
sin
dx
gx C x k

dx
gax C x k
ax a

   


4) Bảng nguyên hàm mở rộng.
 
1
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a




     





   
1
cos ax b dx sin ax b
a

    


1
ax b ax b
m dx m c
alnm




   
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
   


22
1dx x
arctg c
aa
ax




 
 
2




 
22
22
dx
ln x x a c
xa
   



22
xx
arcsin dx xarcsin a x c
aa
   


22
dx x
arcsin c
a
ax




22


  



 
22
2
x x a
arccotg dx xarccotg ln a x c
aa
   


   
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a

     




 
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a


 
22
ax
ax
e asinbx bcosbx
e sinbxdx c
ab





 
22
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
ab



Ghi nhớ:
 Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các
nguyên hàm của những hàm số thành phần.
 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích


Chứng minh:
22
dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a
dx ln c
2a x a x a 2a x a x a 2a x a
xa

   
     
   
    
   

   

 
22
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
ax



     
   
    
   


22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1
1
x x a x a x x a x a x a


    

      


3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
22
dx 1
uc
a
ax



(với
x
tgu
a

)
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn

4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
22
dx
uc
ax



(với
x
sin u
a

, a > 0)
Đặt
x
sin u
a

,u
,
22






 
 

nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x.
Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này.

I.2 TÍCH PHÂN.
1). Định nghĩa:
       
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  


2). Tính chất:

a. TC1:
   
ba
ab
f x dx f x dx


b. TC2:
   
0()
bb
aa
kf x dx k f x dx k



 
,;f x g x x a b  
thì
   
bb
aa
f x dx g x dx


cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
14

g. TC7: Nếu
 
 
,;m f x M x a b   
thì
     
b
a
m b a f x dx M b a   
 Ghi nhớ:
 Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân
thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng


•
   
2
2 4 3 2 5 4 3
14
2 4 4
53
I x x dx x x x dx x x x C        


•
11
ln
2 2 2
dx dx
I x C
xx
   


•
 
2 2 2
1
2
2
x x x
I e dx e d x e C   


 
2 2 2
2
11
.
22
x x x
I xe dx e d x e C   


cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
15

•
 
cos
sin
tan ln cos
cos cos
dx
x
I xdx dx x C
xx
      
  

•
 

dx
x
I xdx dx x C
xx
    
  

•
 
2 2 3
1
sin .cos sin sin sin
3
I x x dx xd x x C   


•
 
2 2 3
1
cos .sin cos cos cos
3
I x xdx xd x x C     


•
 
4 4 5
1
sin .cos cos cos cos


 
 
23
1
1 sin sin sin sin
3
x d x x x C    


•
 
 
3 2 2 3
1
sin sin .sin 1 cos cos cos cos
3
I xdx x xdx x d x x x C       
  

•
2
1 cos2 1 1 1 1
sin cos2 sin2
2 2 2 2 4
x
I xdx d x dx xdx x x C

      
   


      
   

•
22
2
222
sin 1 cos
tan tan
cos cos cos
x x dx
I xdx dx dx dx x x C
xxx

       
    

cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
16

•
22
2
2 2 2
cos 1 sin
cot cot
sin sin sin

  

 
 
2
sin
tan tan 1 tan tan tan
cos
x
x x dx xdx xd x dx
x
    
   

2
1
tan ln cos
2
x x C  

•
   
4 4 2 2 2 2 2
2
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x dx xdx      
   

   
23
1



   
4 2 2 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx    
  

   
4 2 2
tan tan tan tan tanxd x xd x xdx  
  

53
11
tan tan tan
53
x x x x C    

•
 
7 7 5 5 3 3
5
tan tan tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x x x dx       


     
5 2 3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 tanx dx x dx x dx xdx      
   


4 4 1 2 2
2 1 2 1
dx
dx dx
I x C
xx
xx


      


  

•
 
sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos sin cos
d x x
xx
I dx x x C
x x x x


    









    



•
 
 
22
2
ln 2
22
44
2
x
x x x
x
xx
xx
x
de
e dx e dx e dx
I e C
ee
ee
e



 
 
cos2 1 2cos
sin2 1 2cos
xx
dx
xx





 
sin2
cos2 1 1
ln sin2
sin2 2 sin2 2
dx
x
dx x C
xx
   
VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN SỐ
* Lý thuyết và phương pháp giải.
1). Công thức tổng quát:

công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). Trường hợp 1:
 
sin .cosf x xdx



.
 Đặt
sintx

 hoặc
sint p x q

 
,pq

 hoặc
sin
n
t p x q
nếu như biểu thức
sinp x q
nằm trong
n
.
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
18

1
ln .f x dx
x



.
 Đặt
lntx

 hoặc
lnt p x q

 
,pq

 hoặc
ln
n
t p x q
nếu như biểu thức
lnp x q
nằm trong dấu
n
.

d). Trường hợp 4:
 
2
1

.
sin
f cotgx dx
x



.
 Đặt
t cotgx

 hoặc
t pcotgx q

 
,pq

 hoặc
n
t pcotgx q
nếu như biểu thức
pcotgx q
nằm trong
n
.

Dạng 1: Đổi biến số bằng cách đặt x = g(t)
Một số trường hợp thường gặp

Dấu hiệu


t
a
x
t
a
x
cos
sin

22
xa 







gtax
tgtax
cot

xa
xa



tax cos


2
0
22
a
xa
dx

Lời giải:
Đặt t= asint, t









2
;
2

,

dx= acostdt
Với x = 0 thì t=0
Với x=
2
a
thì t=

22

Lời giải:
đặt x = tgt , t









2
;
2

,

dx = a(tg
2
t + 1)dt.

Với x = 0 thì t=0
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
20

Với x= a thì t =

x
I



1
2
2
2
2
1

Lời giải: Đặt x = sint,

dx = costdt
Khi x =
2
2
thì t =
4


Khi x = 1 thì t =
2


Do đó:
I =



t
t
dt
t
t

=-(cotgt+t)
2
4


=1-
4


Bài 4: Tính tích phânI =


1
0
2
2
4
dx
x
x

Lời giải:
Đặt x = 2cost,















ttdtt
t
tdtt

Bài 5: Tính tích phân:I =


2
0
22
4 dxxx

Lời giải:
Đặt x = 2sint,

dx = 2cosdt
Khi x = 0 thì t = 0










 )0
2
(24sin
4
1
2
0
tt

Bài 6: Tính tích phân: I =


2
2
0
2
3
1 x
dxx

Lời giải:

sin
cos
cos.sin
 


tdttdtt
dttdt
t
tt

= (-cost +
3
1
cos
3
t)
4
0

=
12
25
3
2


( có thể giải bằng cách đặt t =
2
1 x





4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
4
1
8
2sin
2
1
2
1
)2cos1(
2
1
sin
cos
cos.sin
  


cos
sin

Khi x =
3
2
thì t =
6


Khi x =
2
thì t =
4


Do đó: I =
 


4
6
4
6
4
6
4
6
2
2

dt
t
t
t
t

Bài 9: Tính tích phân I =


1
0
22
34 dxxx

Lời giải:
Đặt x =
tsin
3
2

dx =
tdtcos
3
2

Khi x = 0 thì t = 0
Khi x = 1 thì t =
3



3
(
33
2
4sin
4
1
33
2
3
0










tt

Bài 10: Tính tích phân I =



2
2
0




2
4
4
2
2
4
2
4
2
2
2
cos
2
sin2.
2
sin
2
cos
sin.
2
sin
2
cos
sin.
2
sin2
2

4
2
4
2
4
2
2
2
1
4
)sin()cos1(
2
cos2







ttdttdt
t

Bài 11: Tính tích phân: I =


3
1
2
1 xx

I =
)
8
ln()
6
ln()
2
(ln
sin
cos
.
.
cos
3
4
3
4
2
3
4







tgtg
t
tg

3
1
cos
3
1
2
2


Khi x=0 thì t = 0
Khi x = 1 thì t =
3


1+3x
2
=1+tg
2
t
Do đó:
I =
3
0
3
0
3
0
2
3
0

=
)
4
3
3
(
32
1



cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
24

Bài 13: Tính tích phân I =


2
3
2
3
2
2
29
dx
x
x


cos
1
.31329
22


Do đó:
I =
   


4
6
4
6
4
6
4
6
22223
2
2
sin).sin1(
sin
2
sin.cos
2
.cos
2
2

2
1
2
2
2
1
22
2
2
2
1
22
1
1
1
ln
2
1
2)
1
11
(2
)1(
2







Đặt x = sint,

dx=costdt.
Khi x =
2
1

thì t =
6



Khi x = 1 thì t=
2

.
`
ttx cossin11
22


Do đó: I =
8
3
3
2sin
2
1
2
1
Dạng 2: Đổi biến số bằng cách đặt t = v(x)
Một số trường hợp thường gặp:
cbook.vn – Chuyên đề Tích phân và ứng dụng_Tài liệu lý thuyết và bài tập_2015
Liên hệ bộ môn:
Cung cấp bởi cbook.vn
25 Dấu hiệu
Có thể chọn
Hàm có mẫu số

t
là mẫu số
Hàm số có dạng f(x,
n
xv )(
)
n
xvt )(
hoặc t = v(x)

Bài 1: Tính tính phân.I =



3
7



2
1
2
1
4
2
3
)
3
1
3
2
(
)1
3
1
(
duuu
u
duu
u15
46
15
31
1


Lời giải:
Đặt t =
3
2
1 x
,

t
3
= 1+x
2


3t
2
dt = 2xdx

xdx =
dtt
2
2
3

Khi x = 0 thì t = 1
Khi x =
7
thì t = 2
Do đó:
I =

tt

Bài 3: Tính tính phân I =


2
2
0
2
3
1 x
dxx

Lời giải:
Đặt t =
2
1 x


t
2
= 1- x
2


2tdt = -2xdx

-xdx = tdt
Khi x = 0 thì t = 1
Khi x =