E. Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng
trình bậc hai
I.Lý thuyết
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0
(a

0) (1) trong đó a, b, c là các hệ số đẵ biết, x là ẩn.
2. Công thức nghiệm:

= b
2
4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm

= 0 phơng trình có nghiệm kép:
x
1
= x
2
= -
a
b
2


> 0 phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:
x

= x
2
= -
a
b'

> 0 phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:

a
b
x


+


=
1
; x
2

a
b ''

=
.
3. Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x
1

2
=
a
c

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x
1
= - 1; x
2
=
a
c

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P và S
2
4P

0 thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình X
2
SX
+ P = 0 .
4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
1. Tìm ĐK để PT bậc hai có nghiệm:
a = 0

0,





,

0
p < 0
4. ĐK để PT bậc hai có hai nghiệm d-
ơng phân biệt
a

0

,

'
> 0(hai nghiệm dơng thì

,

'


0)
S > 0
P > 0
3. ĐK để PT bậc hai có hai nghiệm
âm phân biệt
a


2)
( )
PSxxxxxxxxxxxx 2222
2
21
2
2121
2
221
2
1
2
2
2
1
=+=++=+
...
;
3)
2
2
2
21
2
2
2
1
2
2
2

1
==+++=++=+
;
II.Bài tập áp dụng.
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau:
TT PTBH KQ TT PTBH KQ
1 x
2
- 11x + 30 = 0 5; 6 41 x
2
- 16x + 84 = 0
2 x
2
- 10x + 21 = 0 3; 7 42 x
2
+ 2x - 8 = 0
3 x
2
- 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x
2
+ 8x + 4 = 0
4 5x
2
- 17x + 12 = 0 12/5;1 44 x
2
– 2(
)23
+
x + 4
6

+ 5x + 61 = 0 49 x
2
- 13x + 40 = 0
10 x
2
-
3
x - 2 -
6
= 0 50 3x
2
+ 5x - 1 = 0
11 x
2
- 24x + 70 = 0 51 5x
2
+ 7x - 1 = 0
12 x
2
- 6x - 16 = 0 52 3x
2
- 2
3
x - 3 = 0
13 2x
2
+ 3x + 1 = 0 53 x
2
- 2
2

- 2
3
x - 2 = 0 58 2x
2
- 3x - 5 = 0
19 -x
2
- 7x - 13 = 0 59 x
2
- 4x + 4 = 0
20
2
x
2
– 2(
)13
−
x -3
2

= 0
60 x
2
- 7x + 10 = 0
21 3x
2
- 2x - 1 = 0 61 4x
2
+ 11x - 3 = 0
22 x

2
+ 2x - 7 = 0 68 2x
2
- 7x + 7 = 0
29 4x
2
- 5x + 7 = 0 69 -5x
2
+ 3x - 1 = 0
30 x
2
- 4x + 21 = 0 70 x
2
- 2
3
x - 6 = 0
31 5x
2
+ 2x -3 = 0 71 x
2
- 9x + 18 = 0
32 4x
2
+ 28x + 49 = 0 72 3x
2
+ 5x + 4 = 0
33 x
2
- 6x + 48 = 0 73 x
2

x + 4
6
=
0
78 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0
39 x
2
- 6x + 8 = 0 79 2x
4
- 7x
2
- 4 = 0
40 3x
2
- 4x + 2 = 0 80 x
4
- 5x
2
+ 4 = 0
Bài tập 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:
a) x + y = 17, x.y = 180 e) x
2
+ y
2
= 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40

6
23
+
và
6
23

.
b)Không giải phơng trình, hãy tìm tổng lập phơng các nghiệm của
phơng trình sau: 3x
2
- 5x - 2 = 0.
Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.
b) bx
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.
c) ( b - 1 )x
2
- ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a) 7x
2
+ kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
b) 12x
2
+ 70x + k
2

a) x
2
+ x - m = 0 d) x
2
- ( m - 1 )x + 1 = 0
b) 2x
2
- 3x + m - 1 = 0 e) x
2
+ 2x + m
2
= 0
c) x
2
+ 2( m - 2 )x + m
2
= 0 f) ( m
2
+1 )x
2
- 2( m + 3 )x + 1 = 0
Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô
nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép.
a) 3x
2
- 2x + m = 0 c) 4x
2
+ mx + m
2
= 0

b)Tìm m sao cho 10 x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x
2
+ mx + 12 = 0 .
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14.Cho phơng trình: x
2
- 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ
thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức
2
311
2121
=++
xxxx
.
Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x

11
xx
+
b)
2
2
2
1
xx
+
c)
2
2
2
1
11
xx
+
d)
3
2
3
1
xx
+
Bài tập 19.Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

-2(m+1)x + m
2
+4m-3 = 0.
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị
lớn nhất?
Bài tập 22. Cho phơng trình : x
2
+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3
b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?
Bài tập 23. Cho phơng trình: x
2
2(m-1)x +2m 3 = 0
a) Chứng minh với với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính
nghiệm còn lại.
Bài tập 24. Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x +m
2
+ 2 =0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

b)Tìm m để hai nghiệm x
1

1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài tập 26. Cho phơng trình x
2
-8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
-
x
2
=2
Bài tập 27. Cho phơng trình : x
2
2(a-1)x + 2a 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a.
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1,
, x
2
thoả