TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢI
CÁC BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG
Dạng 1. Định m để ph bậc hai có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức.
Phương pháp.
• Tìm điều kiện phương trình có hai nghiệm (∆ ≥ 0).
• Kết hợp hệ thức của đề cho với định lí Viet để tìm m.
• Chọn m thoả mãn ∆ ≥ 0.
Dạng 2. Một nghiệm của phương trình này bằng k lần nghiệm một nghiệm của pt kia.
Phương pháp.
• Chọn a là nghiệm cần xét của pt.
• Thế a , ka vào các pt rồi giải hệ.
Dạng 3. Tính biểu thức đối xứng và giá trị LN, NN của tam thức bậc hai.
Biểu thức đối xứng với x
1
, x
2
là biểu thức không đổi dấu khi ta hoán vị x
1
, x
2
Phương pháp.
• Biến đổi biểu thức để xuất hiện S, P ( chủ yếu dùng hằng đẳng thức).
• Ta biết tam thức bậc hai :
2
(a > 0)ax bx c+ +
đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
b
x
a
−

 ÷
 
.
• Nếu tam thức bậc hai có biến x bị giới hạn thì các điều trên không chắc đã đúng. Khi đó
dùng bảng biến thiên là mạnh nhất. Chỉ được sử dụng phương pháp còn lại khi biết chắc
rằng
b
2a
−
thuộc tập giá trị x.
Dạng 4. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
1
Phương pháp.
• Sử dụng định lí Viet.
• Khử m của hệ từ đó suy ra hệ thức liên hệ.
Dạng 5. Lập pt bậc hai, biết nghiệm của nó thoả mãn một điều kiện cho trước.
Phương pháp.
• Sử dụng định lí Viet để tìm tổng, tích các nghiệm của pt cần lập.
• Sử dụng công thức nghiệm
b
2a
± ∆
−
.
Dạng 6. Dấu nghiệm số của pt:
2
= 0 (1)ax bx c+ +
.
Phương pháp.
Gọi x



2.
1 2
0 0
P =0
V
S > 0
x x P

< ≤ ⇔ <


3.
1 2
0
0
P 0
S 0
x x
∆ ≥


≤ ≤ ⇔
≥


≤

4.

• Tìm điều kiện để các biểu thức của ẩn số chứa trong dấu căn bậc chẵn không âm.
• Nâng lên luỹ thừa để đưa về. ( Cần chú ý đặt điều kiện để phép biến đổi là tương
đương)
• Đặt ẩn số phụ.
Dạng 11. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp.
Khử dấu giá trị tuyệt đối.
• Chia nhỏ TXĐ thành các khoảng sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào các khoảng đó.
• Bình phương hai vế để phá
Dạng 12. Các phương trình mũ quy về PT bậc 2.
Phương pháp:
I. Phương trình.
1. Dạng cơ bản
0 1
0
( )
( ) log
f x
a
a
a b f x b
b
< ≠


= ⇔ =


>


>

.
2. Nếu 0 < a < 1 thì
0
( ) ( )
log ( ) log ( )
( )
a a
f x g x
f x g x
f x
<

> ⇔

>

.
Tổng quát ta có:
1.
1 0
0 0
1 0
log ( ) log ( )
( ) , ( )
( )( ( ) ( ))
a a
a
f x g x

− − ≥


Dạng 13. Các phương trình loogarit quy về PT bậc 2.
Phương pháp:
I. Phương trình.
6. Dạng cơ bản
0 1
log ( )
( )
a
b
a
f x b
f x a
< ≠

= ⇔

=

.
7. Đưa về cùng cơ số. Biến đổi phương trình về dạng
log ( ) log ( )
a a
f x g x=
0 1
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a

>

.
4. Nếu 0 < a < 1 thì
0
( ) ( )
log ( ) log ( )
( )
a a
f x g x
f x g x
f x
<

> ⇔

>

.
Tổng quát ta có:
2.
1 0
0 0
1 0
log ( ) log ( )
( ) , ( )
( )( ( ) ( ))
a a
a
f x g x

− − ≥

Dạng 14. Phương trình lượng giác quy về PT bậc 2.
Dạng 15. Giải các phương trình phức hợp quy về PT bậc 2.
Dạng 16. Một số hệ phương trình quy về phương trình bậc hai.
Dạng 17. Một số phương trình có ẩn số ở mẫu.
Dạng 18. Giải và biện luận bất phương trình bậc 2
Phương pháp:
1. Laapk bảng xét dấu a , ∆.
2. Dựa vào bảng này mà phân chia bài toán thành các trường hợp.
3. Trong mỗi trường hợp ta giải BPT đã cho.
Dạng 19: Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R
Phương pháp:
Cho
2
( ) ( 0) (1)f x ax bx c a= + + ≠
. Ta có:
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

<

≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

¡
¡
¡
¡
Dạng 20: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số α cho trước
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức sau để giải: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ta có:
Điều kiện Kết kuận
a. f(α) < 0 x
1
< α < x
2
a. f(α) > 0, ∆ ≥ 0 S/2 -α < 0 x
1
≤ x
2
< α

≤ ≤ ⇔ <( )
V
( ) 0
0
2
af
S
α
α
=



− >


Hệ quả 3
1 2
0
0
0
2
x x af
S
α α
α


∆ >


1 2
0
0
0
2
x x af
S
α α
α


∆ >

≤ < ⇔ ≥



− >

( )
Hệ quả6
1 2
0
0
0
2
x x af
S
α α
α

< < <
+ + +
Chỉ so sánh với β
2
1 2
x x
α β
< < <
+ + -
Chỉ so sánh với α
3
1 2
x x
α β
< < <
+ + + + -
4
1 2
x x
α β
< < <
+ -
Nếu trong α, β có một số
thuộc (x
1
, x
2
) thì bỏ được điều
kiện về ∆ và về S/2
5

• Nếu có số c sao cho af( c) < 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt.
• Nếu có 2 số c , d thoả mãn:
+ f( c) f(d) < 0 thì (1) có nghiệm.
+ f( c) f( d) < 0 thì a ≠ 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Dạng 26. Ứng dụng tam thức bậc hai tìm GTLN- GTNN của hàm số.
Trong phần này chúng ta ứng dụng tính chất định tính và định hình của tam thức bậc hai để
nghiên cứu GTLN- GTNN của hàm số thông qua các ví dụ.
Phương pháp giải.
Với hàm số
2
( ) ( >0) (1)f x ax bx c a= + +
( với a < 0 ta xét tương tự), xét trên đoạn [c, d].
Nếu muốn tìm GTLN- GTNN của hàm số ta cần phân biệt hai trường hợp:
+ Nếu hoành độ đỉnh (P)
[ ]
0
,
2
b
x c d
a
= − ∈
thì
[ ]
{ }
min 0 max
( ) , f max ( ), ( )f f x f c f d= =
.
+ Nếu hoành độ đỉnh (P)
[ ]

2
2 2 2
( ) 0
( ) 0
f x a x b x c
g x a x b x c

= + + =

= + + =

thoả mãn một trong hai bất đẳng thức sau:
1 2 3 4 3 1 2 4
, x < xx x x x x x< < < < <
( có 4 nghiệm xen kẽ hoặc hai nghiệm của phương trình này
nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình kia).
Dang28. Các phương trình bậc hai tương đương.
8
Phương pháp.
Cơ sở của pp là tìm các giá trị hàm sô, chẳng hạn nghiệm làm cho hai phương trình
2
1 1 1
2
2 2 2
( ) 0
( ) 0
f x a x b x c
g x a x b x c

= + + =

x x x x
c c
a a
φ
φ
∆ <

+ = = ⇔

∆ <

∆ ≥

∆ ≥


∆ ≥


∆ ≥



=
+ = ≠ ⇔ + = + ⇔
 
 
=
 
=

9
Dạng 31. Sử dụng tam thức bậc hai để chứng minh BĐT.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÓ VỀ TAM THỨC BẬC HAI MÀ
Ở CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG ÍT GẶP
1. Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc hai.
2. Dạng 2. Biện luận pt, bất pt bằng đồ thị.
Phương pháp.
• Bước 1: Đưa phương trình giả thiết
0( )
n
f x =
về dạng
2
( ) : y=ax
(d): y=m
P bx c

+ +


.
• Bước 2: Khi d // Ox do m thay đổi bằng trực quan hình học xác định số giao điểm,
sự cắt không cắt và tiếp xúc.
• Bước 3: Lập bảng liệt kê theo m các giao điểm mà tìm được để kết luận bài toán.
Ví dụ: 1. Tìm tham số a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.

2 2
2 10 8 5x x x x a− + + = + +
2. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.


d. Kết luận.
Ưu điểm nổi bật của PP:
1. Dễ hiểu bởi sử dụng hình ảnh trực quan.
2. Học sinh khắc sâu được kiến thức.
3. Tránh được nhầm lẫn khi viết hệ điều kiện.
NGOẠI KHOÁ TOÁN
Nội dung: Phương trình bậc hai chiếm một vị trí rất quan trọng trong chương trình đại số 10.
Trong đó phải kể đến định lí Viet. Nó giống như chiếc chìa khoá để mở cửa vào pt bậc hai
và tam thức bậc hai. Đối với mức độ tư duy của học sinh lớp 10 thì định lí này cũng không
phải là quá khó nhưng cũng không quá dễ. Việc hiểu thấu đáo về nó thì thật không phải đơn
giản.
11
I. Định lí Viet.
II. Ứng dụng của định lí
Một bài toán về phương trình bậc hai nói riêng và tam thức bậc hai nói chung đều liên quan
đến nghiệm để giải nó. Điều đầu tiên ta nghĩ đến đó là định lí Viet. Hầu hết học sinh sau khi
học xong định lí đều chưa hiểu hết tác dụng và ứng dụng của định lí.
Như ta đã biết định lí này có nhiều ứng dụng:
1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
2. Dùng để biện luận đối với những bài toán chứa tham số có liên quan đến nghiệm.
3. Các dạng toán khác có liên quan.
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với những pt bậc hai đơn giản thì thay cho việc giải pt để tìm ngiệm ta có thể dùng định lí
Viet để nhẩm nghiệm.
Phương pháp
• Áp dụng định lí Viet
1 2
1 2
(1)