PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET
1. Phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải và công thức nghiệm
2. Định lý Viet
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của
phương trình:
x
2
- Sx + P = 0
3. Ứng dụng của định lý Viét:
*) Ứng dụng trong bài toán nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1 và một nghiệm x = c/a.
+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1 và một nghiệm x = -c/a.
*) Ứng dụng trong bài toán phân tích biểu thức f(x) = ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2

2
+ bx +c = 0
Bước 1: Nếu a = 0, xét b và c:
+ Nếu b ≠ 0, phương trình có một nghiệm duy nhất x = -
c
b
.
+ Nếu b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu b = 0, c ≠ 0, phương trình vô nghiệm.
Bước 2: Nếu a ≠ 0, tính ∆ = b
2
- 4ac.
+ Nếu ∆ > 0, phương trình có có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
;
+ Nếu ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép
2
b
x
a
= −
.
+ Nếu ∆ < 0 , phương trình vô nghiệm.
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax

a
− ± ∆
=
;
∆
= 0
(2) có nghiệm kép
1,2
2
b
x
a
= −
∆
< 0
(2) vô nghiệm
ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (2)
∆
= b’
2
– ac
Kết luận
'∆
> 0
(2) có hai nghiệm phân biệt
1,2

biệt.
Điều kiện :
0, 0
. 0
a
a c
≠ ∆ >


<

Bài toán 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm trái
dấu.
Điều kiện: a.c < 0.
Bài toán 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm dương.

Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ ≥

>

Bài toán 8. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm âm.

Điều kiện :
0, 0
0
0
a
b
a
c
a
≠ ∆ ≥



− <



>

Bài toán 9. Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm âm
phân biệt.
Điều kiện :

2
( ) 2 ( ) 4 4
b c
x x k x x k x x x x k x x x x k k
a a
− = ⇒ − = ⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ − =
Bài tập
Bài 1. Cho phương trình: x
2
- (m +1)x + 12 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối dấu;
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: (x
1
- 2x
2
)(x
2
- 2x
1
) = 10.
HD:
a)
b)
Bài 2. Tìm m để phương trình x
2
- mx + 1 = 0 có hai nghiệm và hiệu các nghiệm đó bằng 1.

+ 2m + 2 = 0 (1). Xác định m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
. Khi đó chứng minh rằng:
4x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2(x
1
+ x
2
) + 5.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
15;x x+ =
c) Phương trình (1) có một nghiệm x

2
+ mx - 7 = (2). Tìm m để phương trình (1)
có một nghiệm gấp 3 lần một nghiệm của phương trình (2).
Bài toán 13. Cho một số k tuỳ ý và phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm x
1
và
x
2
. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một trong hai nghiệm ấy bằng k lần nghiệm kia
là:
2
( 1) 0kb k ac− + =
Giải:
Điều kiện để có một nghiệm bằng k lần nghiệm kia là x
1
= kx
2
hoặc x
2
= kx
1
. Ta có:
x
1
= kx
2
hoặc x

( )( ) ( ) ( 2 1) ( ) ( 1) .
( 1)
(2)
c b
x kx x kx x x k x x k x x k k x x k x x k k
a a
k ac kb
a
 
− − = − + + = + + − + = + − −
 ÷
 
+ −
=
Từ (1) và (2) suy ra x
1
= kx
2
hoặc x
2
= kx
1
⇔
2
( 1) 0kb k ac− + =
.
Bài 14. Cho phương trình:
2 2
2( 1) 3 4 0.x m x m m− − + − + =
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm? Khi ấy, hãy tìm một hệ thức liên hệ

2
+ 2mx + 4 = 0. Hãy tìm tất cả các giá trị
của m để có đẳng thức:
HD:
Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m
2
- 4 ≥ 0 ⇔
2
2
m
m
≥


≤ −

.
Khi đó theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
2
4
x x m
x x
+ = −


Bài 16. Hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình bậc hai:
(m + 1)x
2
- 2mx - m = 0
có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1.
HD:
ĐK:
1 2
1 0
0
1
2
m
x x


+ ≠

∆ >


+

=

.