SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
VIET CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI"

1
A.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình Đại số 10 chương 3 có bài :”Một số phương trình quy về phương
trình bậc nhất,bậc hai ”.Học sinh đã được học ở lớp 9_THCS
rất kỹ,đặc biệt là ứng dụng của định lý Viet để tính tổng các biểu thức đối xứng giữa 2
nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn và xét dấu các nghiệm của nó.Tuy nhiên phần
lớn Học sinh ở các Trung tâm GDTX chưa hiểu được bản chất ứng dụng của định lý Viet
cho phương trình bậc hai.Ở Trunh tâm GDTX_DN Hoằng hoá đối với khối 10 mỗi lớp
chỉ có 01 đến 02 em là hiểu sơ qua cách giải một số bài toán dễ của dạng này.Còn lại hầu
hết các em không nhớ cả cách giải phương trình bậc hai chứ nói gì đến nhớ ứng dụng của
định lý Viet cho phương trình bậc hai.Chính vì thế nên khi gặp các bài toán ứng dụng của
định lý Viet để biện luận dấu các nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số nào đó
hầu hết các em không biết làm.Vì vậy nên Tôi chọn đề tài:”Một số kinh nghiệm trong
ứng dụng của định lý Viet cho phương trình bậc hai”,làm đề tài nghiên cứu khoa học.
B.NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1.Cơ sở lý luận.
Môn Toán là một trong những môn khoa học cơ bản và khoa học ứng dụng.Chính vì
vậy đòi hỏi Người học nói chung và Học sinh nói riêng phải
nắm vững kiến thức một cách hệ thống và lôgic qua từng lớp học,từng cấp học đã trải
qua.Do đó để học tốt Môn Toán nói riêng và các Môn khoa học nói chung đòi hỏi Người
học,Học sinh phải hiểu bản chất của kiến thức được lĩnh hội qua từng bài học.Từ đó Học
sinh mới khắc sâu và vận dụng tri thức vào giải các bài tập ứng dụng được dễ dàng.

2
2.Thực trạng của vấn đề.
Trong chương trình Toán học ở cấp Trung học cơ sở Bộ GD_ĐT có xuất bản “Vở bài

2
0( 0)ax bx c a+ + = ≠
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a
−

+ =




=


” .
+ Các Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (HĐT)

2 2 2
2 2

,x x
là các nghiệm của pt
2
3 5 2 0x x
− − =
theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
5
3
2
.
3
x x
x x

+ =



−

=


Theo đề ta có
3 3
1 2
S x x
= +

A x x
= +
.
Cách giải: Theo đề bài gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của pt
2
2 15 0x x
− − =
theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
2
. 15
x x
x x
+ =


= −

.
Áp dụng HĐT
( )
2
2 2 2 2 2
2 ( ) 2a b a ab b a b a b ab+ = + + ⇒ + = + −

hai lần ta có:

là dạng bài tập dễ nhất,HS trung bình cũng làm được.
Ví dụ 3:Tìm m để pt
2
4 1 0x x m− + − =
có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoã mãn điều kiện:
3 3
1 2
40x x
+ =
.
Cách giải: Theo đề bài gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của pt
2
4 1 0x x m− + − =
theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
4
. 1
x x
x x m
+ =


= −


6
Nhận xét; Đây là bài tập tương đối dễ,các em Hs chỉ cần áp dụng định lý Viet và kết
hợp với giả thiết cho là giải tìm m rồi thay m giải pt tìm x là xong.
Cách giải: Theo đề bài gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của pt
2
( 1) (3 1) 2 2 0m x m x m+ + − + − =
theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
(3 1)
1
2 2
.
1
m
x x
m
m
x x
m
− −

+ =


+

2 8
2 0
3 3
x x− − =
giải pt ta được 2 nghiệm
1
4
x
x
= −


=

Ví dụ 5: Với giá trị nào của tham số k thì pt :
2
(4 1) 2( 4) 0x k x k+ + + − =
có 2 nghiệm mà
hiệu của chúng bằng 17.
Nhận xét: Đây là bài tập đòi hỏi HS phải biết suy luận ngoài việc nắm vững nội dung
định lý Viet thì HS còn phải biết vận dụng các HĐT thành thạo ,đặc biệt phải đưa HĐT
Từ bình phương của hiệu về HĐT bình phương của tổng mớ có thể giải được.Vì vậy bài
toán này đối với HS khá ,giỏi ở hệ GDTX cũng khó,do đó GV nên hướng dẫn cho HS
hiểu và vận dụng để những bài tương tự các em có thể làm được.
Cách giải: giả sử pt
2
(4 1) 2( 4) 0x k x k
+ + + − =
có 2 nghiệm
1 2

− = ⇔ − = ⇔ − + =
⇔ + − =
(4)
Thay (3) và (4) ta có :

[ ]
( )
2
2
2 2
4 1 4.2( 4) 289
16 8 1 8 32 289
16 256 16 4
k k
k k k
k k k
− + − − =
⇔ + + − + =
⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
@.Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm trái dấu.
Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường không khó,HS phải hiểu được bản chất
của pt có 2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định lý Viet giải
tìm giá trị của tham số là được.
Ví dụ 6:Tìm m để pt
2
3 2( 1) 3 5 0x m x m
− + + − =
có 2 nghiệm trái dấu.
Cách giải: Giả sử
1 2

3 3
m
m m m
−
< ⇔ − < ⇔ < ⇔ <
Ví dụ 7:Tìm k để pt
2
2( 1) 1 0kx k x k
− + + + =
(5) có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoã mãn điều
kiện :
1 2
1x x< <
.

8
Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất của pt có
2 nghiệm trái dấu là tích 2 nghiệm của pt là số âm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá
trị của tham số là được,hoặc xét dấu tích của 2 hiệu giữa 2 nghiệm của pt với 1 .
Cách giải 1: Giả sử
1 2
,x x
là 2 nghiệm của pt trên khi đó theo đề bài ta có
1 2
1x x< <
.Nếu đặt x=y+1 thì pt (5.) đã cho trở thành pt ẩn y như sau:


0 0 0y y y y k
k k
− −
= ⇒ < ⇔ < ⇔ >
Cách giải 2: Giả sử
1 2
,x x
là 2 nghiệm của pt trên
khi đó theo điịnh lý Viet ta có
1 2
1 2
2( 1)
1
k
x x
k
k
x x
k
+

+ =



+

=



⇒ ⇔ − − <

− >

⇔ − + + <
+ +
⇔ − + <
+ − − + −
⇔ < ⇔ < ⇔ >
@.Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu.
Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này thường khó,HS phải hiểu được bản chất của pt có
2 nghiệm dương phân biệt hoặc 2 nghiệm âm phân biệt,từ đứ suy ra dấu của tổng và tích
2 nghiệm rồi áp dụng định lý Viet giải tìm giá trị của tham số là được.Tuy nhiên GV nên
nhắc HS phải xét thêm cả biệt thức delta không âm là điều kiện để pt bậc 2 có 2nghiệm.
Ví dụ 8:Tìm m để pt
2 2
6 2 2 9 0x mx m m
− + − + =
(5) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Cách giải :GV gợi ý cho HS phân tích đề bài Đk để pt bậc 2 nghiệm phân biệt là
2 2
2 2
' ( 3 ) 1.(2 2 9 )
9 2 2 9 2 2 0 1
m m m
m m m m m
∆ = − − − +
= − + − = − > ⇔ >

Vậy điều kiện cần là m >1.

m
x x
m m
m
>

>
+ >



⇔ ⇔ ⇔ >
  
 
>
− + >
+ − >


 ÷

 

Kết hợp điều kiện để pt có nghiệm thì m>1 mới thoã mãn đề bài.

10
Nhận xét : Đối với dạng toán này GV nên dạy sau khi HS học xong định lý về dấu của
tam thức bậc hai thì các em mới hiểu và vận dụng giải bài tập được chính xác.
Ví dụ 9:Tìm m để pt
2




<

∆ = + − − > − + >

>






+ = + > ⇔ > − ⇔ > − ⇔
  

< <
  
= − >


 
> >




Bài tập mở rộng (Đối với HS khá giỏi).
Bài toán biện luận số nghiệm cũng như dấu của phương trình bậc 4 trùng phương

pt(**) phải thoã mãn điều kiện:
2
vonghiem
co nghiemam



2
2 2
2
2 2
1 2
2
1 2
3 4 2 0
(1 2 ) ( 1) 0
3 4 2 0
(1 2 ) ( 1) 0
1
1 2 0 1
1
2
. 1 0
1
1
m m
m m
m m
m m
vonghiem



>

 


= − >



>





< −



Vậy khi m >1 pt đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 10:Tìm m để pt
4 2 2
( 1) 1 0m x mx m
− − + − =
. (I. có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Cách giải:
Đặt
2

m

 >

+ = >

 
−

= < ⇔ ⇔ ⇔ = −
<
 

−
 
= = + =
= −


−


Vậy khi m = -1 thì phương trình đã cho trên có 3 nghiệm phân biệt,trong đó 1 nghiệm
bằng 0 và 2 nghiệm còn lại là 2 số đối nhau do từ chỗ đặt ẩn phụ t suy ra nghiệm x của pt
ban đầu.
Nhận xét : Bằng cách phân tích tương tự 2 bài toán trên chúng ta có thể dễ dàng rút
ra cách giải biện luận theo tham số nào đó số nghiệm của phương trình bậc 4 trùng
phương ở trên.Do chương trình cắt giảm tải nên Tôi đưa ra ứng dựng này để mong
mọi người bàn bạc xem đề tài này có đi sâu vào phân tích những kiến thức quá tầm
nhận thức của HS cấp 3 chăng.

có 2
nghiệm trái dấu.

Kết quả : (thể hiện dưới bảng sau).
Điể
m
Lớp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sỉ số
Lớp
10A
0 0 0 0 2 5 8 9 12 8 1 45

14
0 0 0 0 1 8 5 9 10 11 0 44
Lớp đối
chứng
10
C
0 0 2 4 8 10 12 7 3 0 0 46
b.)kết quả bài kiểm tra 45 phút:
Đề Bài:
Câu 1: Không giải phương trình,hãy xét dấu các nghiệm của pt sau(nếu có):
( ) ( )
2
2 3 2 1 3 1 0x x− + − + =
.
Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để pt
2
4 1 0x x m− + − =
có 2 nghiệm

thực nghiệm hiểu rõ bản chất của định lý Viet hơn lớp đối chứng”.
GV thực hiện kiểm tra kiến thức đã học liên quan đến đề tài theo nhiều hình thức khác
nhau,thể hiện trong quá trình tham gia xây dựng bài mới của HS,trong việc kiểm tra bài
cũ của HS cho thấy HS các lớp thực nghiệm nắm kiến thức tốt hơn và vững chắc hơn so
với HS lớp đối chứng .Không những vậy mà lớp thực nghiệm còn nắm bắt kiến thức một
cách hệ thống và lôgic hơnqua quá trình nhận thức các bài toán có nội dung liên quan đến
đề tài nghiên cứu khoa học này.
C.KẾT LUẬN
* Kết quả áp dụng đề tài vào giảng dạy cho thấy:HS nắm vững kiến thức và lập
luận lôgic hơn khi giải các bài tập có liên quan đến nội dung của đề tài.
* Đề tài tạo điều kiện cho GV cùng với HS trong quá trình giảng dạy,vận dụng
phương pháp xây dựng cho nội dung kiến thức mới.Việc đưa ra đề tài và khai thác nó

16
trong quá trình dạy học tạo sự phát triển tư duy lôgic của HS có tính kế thừa kiến thức ở
những bài trước.
* Để khắc sâu kiến thức cho HS còn một điều quan trọng nữa là GV hỗ trợ nhằm
phát huy khả năng của các em trong việc xây dựng và lĩnh hội kiến thức ở những bài học
sau.HS tích cực nắm bắt các nội dung kiến thức ,hiểu rõ được bản chất của từng bài
toán ,từ đó sẽ học ngày càng giỏi hơn.
*Việc so sánh kết quả giảng dạy giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng cho
thấy:Lớp thực nghiệm học theo chương trình tự chọn hợp lý và phát huy được hết khả
năng hơn.Trong quá trình học tập của các em lý thuyết được bổ sung dần khi áp dụng
vào các bài toán cụ thể ,như thế các em chủ động hơn trong việc tìm tòi và lĩnh hội
kiến thức mới.
* Thực tế áp dụng đề tài trong quá trình giảng dạy các lớp 10 qua mấy năm học
gần đây Tôi nhận ra rằng:Việc áp dụng đề tài này vào quá trình giảng dạy có tác dụng
phát triển tốt tư duy và năng lực sáng tạo của HS trong quá trình lĩnh hội kiến thức
mới trong học tập.
* Do điều kiện thời gian nên đề tài mới tập trung khai thác một số nội dung chính