“Phương trình bậc hai và ứng dụng”
Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.1. Định nghĩa phương trình bậc hai
1.1.1. Phương trình một ẩn x
Là biểu thức có dạng
)x(g)x(f =
. Trong đó:
-
)x(g),x(f
là các hàm số.
- Điều kiện của phương trình là tập xác định của hai hàm số f(x) và g(x). Kí
hiệu là D.
- Nếu
Dx
0
∈
sao cho
)x(g)x(f
00
=
là đẳng thức đúng thì
0
x
là nghiệm của
phương trình.
- S được gọi là tập nghiệm của phương trình. Nếu
∅=S
thì ta nói phương
trình vô nghiệm.
1.1.2. Phương trình bậc hai
Là phương trình một ẩn x có dạng

.
1.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai
1.2.1. Giải và biện luận phương trình bậc hai
(*)0cbxax
2
=++
.
- Nếu
0a =
thì
0cbx(*) =+⇔
+
0b ≠






−=⇒
b
c
S
+
0c,0b ≠=
∅=⇒ S
+
0c,0b ==
RS =⇒
- Nếu




∆+−∆−−
=⇒
a2
b
;
a2
b
S
1.2.2. Số nghiệm của phương trình
Tìm giá trị của tham số để phương trình
(*)0cbxax
2
=++
có số nghiệm
thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương trình (*):
- Có nghiệm kép



=∆
≠
⇔
0
0a
- Có một nghiệm







<∆≠
≠==
===
⇔
0,0a
0c,0ba
0cba
Chú ý: Nếu
0ac <
thì (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt (không cần tính
∆
).
1.2.3. Quan hệ các nghiệm giữa hai phương trình
Định tham số để hai phương trình sau có nghiệm chung



=++
=++
)2(0cxbxa
)1(0cxbxa
22
2
2
11
2



=++
=++
)'2(0cxbya
)'1(0cxbya
222
111
Bước 2: Chọn tham số ở bước 1 thỏa mãn điều kiện sau:





≥−=∆
≥−=∆
=
0ca4b
0ca4b
xy
22
2
22
11
2
11
2
1.2.4. Bài tập tương tự
1.3. Định lý Viét và ứng dụng
1.3.1. Nội dung định lý Viét


=
=+
Pxy
Syx
:y,x
y,x⇒
là nghiệm của phương trình
0PSXX
2
=+−
(Với
điều kiện
0P4S
2
≥−
)
1.3.2. Tìm các biểu thức đối xứng của nghiệm
Phương pháp: (Sử dụng định lý Viét thuận)
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
0≥∆
- Tính S, P.
- Biểu diễn biểu thức cần tính qua S, P.
1.3.3. Tìm tham số để phương trình có một nghiệm
α=x
cho trước và tìm
nghiệm kia
1.3.4. Tìm tham số để hai phương trình tương đương
Cho hai phương trình:






=
=
≥∆
≥∆
21
21
2
1
PP
SS
0
0
(
)2,1i(P,S,
iii
=∆
tương ưng với phương trình (i)).
1.3.5. Tìm tham số khi biết một hệ thức của nghiệm
Phương pháp: (Dùng định lý Viét)
- Tính S, P theo m.
- Biểu diễn biểu thức qua S, P. Thay S, P vào ta được biểu thức biến m. Tìm
m thỏa mãn bài toán.
- Thử lại điều kiện
0≥∆
để kết luận về tham số.
1.3.6. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số

Để xét dấu của tam thức bậc hai ta sẽ xét biệt thức deta:
ac4b
2
−=∆
.
4
-
0<∆
tam thức bậc hai vô nghiệm
x
∞−
∞+
f(x) Cùng dấu với a
-
0=∆
Tam thức bậc hai có nghiệm kép
a2
b
−=α
x
∞−
α
∞+
f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
-
0>∆
Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt
)xx(x,x
2121
<




<∆
<
⇔∈∀<
0
0a
Rx,0)x(f
-



≤∆
<
⇔∈∀≤
0
0a
Rx,0)x(f
1.5.3. Bài tập tương tự
1.6. So sánh nghiệm
Cho tam thức bậc hai
)0a(cbxax)x(f
2
≠++=
có 2 nghiệm
)xx(x,x
2121
≤
.

α>
>α
>∆
;
21
xx
2
S
0)(af
0
≤<α⇔







α>
>α
≥∆
5
-
α<<⇔







-



<β
<α
⇔<β<α<
0)(af
0)(af
xx
21
-









β<<α
>β
>α
>∆
⇔β<<<α
2
S
0)(af
0)(af

định trên một tập hợp
1.6.4. Bài tập tương tự
Chương 2. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2.1. Phương trình quy về phương trình bậc hai
2.1.1. Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai
2.1.1.1. Dạng đoán nghiệm
Ta chỉ xét với phương trình bậc 3:
)1()0a(0dcxbxax
23
≠=+++
Phương pháp: Tìm một nghiệm
0
x
của phương trình:
- Nếu (1) có nghiệm
)Z(x
0
∈αα=
(nghiệm nguyên) thì
∈α
Ư(d).
- Nếu (1) có nghiệm
( )
Zq,p
q
p
x
0
∈=
(nghiệm hữu tỉ) thì

=++
=−
⇔=+++
0'cx'bax
0xx
0dcxbxax
2
0
23
2.1.1.2. Dạng phương trình trùng phương
)0a(0cbxax
24
≠=++
Phương pháp:
Đặt
)0t(tx
2
≥=
. Đưa phương trình về dạng
0cbtat
2
=++
rồi giải tìm
nghiệm t.
2.1.1.3. Dạng phương trình đẳng cấp bậc hai
)0ca(0cvbuvau
2222
>+=++
(u, v có thể là các biểu thức biến x)
Phương pháp: Có hai cách giải

Đặt
t
v
u
=
. Đưa phương trình về phương trình bậc hai
0cbtat
2
=++
rồi giải.
Cách 2: Giải phương trình với
0v =
Với
0v ≠
, đặt
kvu =
đưa việc giải phương trình trên về giải phương trình
bậc hai biến k:
0cbkak
2
=++
2.1.1.4. Dạng phương trình dạng hồi quy
0edxcxbxax
234
=++++
trong đó
2
b
d
a

ax
e
xt
b
d2
bx
d
x
2
2
22
2
2
−=+⇔=+






+⇒
Đưa phương trình trên về phương trình sau:
0)
b
ad2
c(btat
2
=−++
2.1.1.5. Dạng:
( )( )( )( )

2
exdxcxbxax =++++
[ ] [ ]
222
excdx)dc(x.abx)ba(x =++++++⇔
Đặt
tabx)ba(x
2
=+++
, ta được:
( )
[ ]
2
exxabdctt =−−++
( )
0extxabdct
22
=−−−++⇔
Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai đã có phương pháp giải.
2.1.1.7. Dạng:
( ) ( )
cbxax
44
=+++
Phương pháp: Đặt
t
2
ba
x =
+

2x
2
ab
12x2
4
2
2
4
=−






−
+






−
+⇔
Đây là phương trình trùng phương bậc 4 đã có phương pháp giải.
2.1.2. Phương trình căn quy về phương trình bậc hai
2.1.2.1. Dạng:
)x(g)x(f =
Phương pháp: Điều kiện:

kéo theo
0)x(f ≥
)
2.1.2.3. Dạng:
0c)x(fb)x(af =++
Phương pháp: Điều kiện
0)x(f ≥
Đặt
)0t(t)x(f ≥=
, ta được:
0cbtat
2
=++
8
2.1.2.4. Dạng:
( )
0c)x(g).x(fb)x(g)x(fa
=+++
. Trong đó
k)x(g)x(f
=+
.
Phương pháp: Điều kiện:



≥
≥
0)x(g
0)x(f



−=
=
≥
⇔



=
≥
)x(g)x(f
)x(g)x(f
0)x(g
)x(g)x(f
0)x(g
22
Trường hợp:
k)x(g =
với
0k ≥
ta có:



−=
=
k)x(f
k)x(f
2.1.3.2. Dạng:

Phương pháp:
Đặt:
t
1
)0t(t
)x(f)x(f
=α⇒>α=
−
. Đưa phương trình về dạng
0bctat
2
=++
rồi giải.
2.1.4.3. Dạng:
0cba
)x(f)x(f
=+β+α
. Trong đó
1. =βα
Phương pháp:
Ta có:
)x(f)x(f1
1
1.
−−
α=β⇒α=β⇔
α
=β⇔=βα
9
Đặt:

=+






β
α
+






β
α
Đặt:
)0t(t
)x(f
>






β
α

0cba
)x(f)x(f2
=+






β
α
+






β
α
2.1.4.5. Dạng:
)0b,0a(ba
)x(f
>>=
. Trong đó f(x) là đa thức bậc hai.
Phương pháp:
Lôgarit cơ số a hai vế ta được:
0blog)x(fblog)x(f
aa
=−⇔=


2.1.4.7. Dạng:
)Ra(aa
)x(g)x(f
+
∈=
. Trong đó
)x(g)x(f −
là đa thức bậc hai.
Phương pháp: Chia hai vế cho
0a
)x(g
>
ta được :
10
1a1
a
a
)x(g)x(f
)x(g
)x(f
=⇔=
−



=−
=
⇔
0)x(g)x(f

[ ]



=−
=
⇔
0)x(g)x(f
1)x(h
2.1.5. Phương trình lôgarít quy về phương trình bậc hai
2.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc tập hợp cho trước và
thỏa mãn điều kiện đã định
2.2.1. Định tham số để phương trình có một nghiệm thuộc tập hợp đã cho
2.2.2. Định tham số để mọi nghiệm phương trình có thuộc tập hợp đã cho
2.2.3. Điều kiện để phương trình có nghiệm thuộc một tập hợp cho trước
2.2.4. Điều kiện để phương trình vô nghiệm trên một tập đã cho
2.3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2.3.1. Tìm GTLN, GTNN trên tập hợp cho trước
2.3.2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức từ điều kiện có nghiệm của phương trình
2.4. Chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng điều kiện có nghiệm và điều kiện vô nghiệm của phương trình để
chứng minh bất đẳng thức
2.5. Giải hệ phương trình
2.5.1. Hệ có một phương trình bậc hai
2.5.2. Hệ phương trình đối xứng loại một
2.5.2. Hệ phương trình đối xứng loại hai
2.5.4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
11