Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét
Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phơng trình

2
( 1) 5 20 0x m m x m+ + + + =
Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phơng trình

2
3 0x mx+ + =
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình

2
8 5 0x x m + + =
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các nghiệm của
phơng trình trong trờng hợp này.
Bài tập 4 : Cho phơng trình

2
( 4) 2 2 0m x mx m + =
(1)
a) m = ? thì (1) có nghiệm là x =
2
.
b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.
Bài tập 5 : Cho phơng trình

2
2
2
1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
x ax b
x bx c
x cx a
+ + =
+ + =
+ + =

Chứng minh rằng trong 3 phơng trình ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phơng trình

2 2
( 1) 2 0x a x a a + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a.
b)
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) . Tìm min B =
2 2
1 2
x x+
.
Bài tập 9: Cho phơng trình


3 4 11x x =
.
b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa
1 2
,x x
không phụ thuộc m.
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý
Bài tập 11: Cho hai phơng trình

2
2
(2 ) 3 0(1)
( 3 ) 6 0(2)
x m n x m
x m n x
+ =
+ =

Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng .
Bài tập 12: Cho phơng trình

2
0( 0)ax bx c a+ + =
(1)
điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là
2 2
( 1) 0( 0)kb k ac k + =
Bài tập 13: Cho phơng trình



2
( 2) 2( 4) ( 4)( 2) 0m x m x m m + + + =
(1)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép.
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m.
c) Tính theo m biểu thức
1 2
1 1
1 1
A
x x
= +
+ +
;
d) Tìm m để A = 2.
Bài tập 16: Cho phơng trình

2
4 0x mx =
(1)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2

b) Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình . Tính
2 2
1 2
x x+
theo m.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 5.
Bài tập 20: Cho phơng trình

2 2
(2 1) 3 0x m x m m+ + + + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -3.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .
Bài tập 21: Cho phơng trình

2
12 0x x m + =
(1)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2

3 3
1 2
1 1
x x
+
theo m.
d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 24: Cho phơng trình

2
( 2) 2 4 0m x mx m + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình (1) là phơng trình bậc hai.
b) Giải phơng trình khi m =
3
2
.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
Bài tập 25: Cho phơng trình

2
0x px q+ + =
(1)
a) Giải phơng trình khi p =
( )
3 3 +
; q =
3 3
.
b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm :

2
1
x
x
Bài tập 26: Cho phơng trình

2
(2 1) 0x m x m =
(1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn :
1 2
1x x =
;
http://kinhhoa.violet.vn
c) Tìm m để
2 2
1 2 1 2
6x x x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 27: Cho phơng trình

2
2( 1) 2 10 0x m x m + + + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = -6.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm GTNN của biểu thức

Bài tập 30: Cho phơng trình

2
0x mx n+ + =
có 3
2
m
= 16n.
CMR hai nghiệm của phơng trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 31 : Gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng trình
2
2 3 5 0x x =
. Không giải phơng trình , hãy tính : a)
1 2
1 1
x x
+
; b)
2
1 2
( )x x
; c)
3 3
1 2
x x
+
d)

b) Nghịch đảo của các nghiệm của phơng trình
2
2 0x mx+ =
Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phơng trình

2
0x mx n+ + =
cũng là m và n.
Bài tập 35: Cho phơng trình

2 3
2 ( 1) 0x mx m + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình phuơng
nghiệm còn lại.
Bài tập 36: Cho phơng trình

2
2 5 1 0x x + =
(1)
Tính
1 2 2 1
x x x x+
( Với
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình)
Bài tập 37: Cho phơng trình


3
là nghiệm của phơng trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho còn một
nghiệm nữa . Tìm nghiệm còn lại ấy?
Bài tập 41: Cho phơng trình :
2
2( 1) 4 0x m x m + + =
(1) , (m là tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm
1 2
,x x
phân biệt mọi m.
3) Tìm m để
1 2
x x
đạt giá trị nhỏ nhất (
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần
2/ ) .
Bài tập 42:
Cho phng trỡnh
1. Gii phng trỡnh khi b= -3 v c=2
2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1
Bài tập 43:
Cho phng trỡnh x
2
2mx + m
2
m + 1 = 0 vi m l tham s v x l n s.

22
1
= 0 (1)
1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối bằng
nhau
2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của
một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:

53
4
1
+
=x
và
53
4
2

=x
http://kinhhoa.violet.vn
1) Tính : P =
44
53
4
53
4

x x m
+ =
+ + =
( x là ẩn , m là tham số )
Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung.
Bài tập 49:
Cho phơng trình :
2 2
2( 1) 1 0x m x m + + =
với x là ẩn , m là tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng
1 2
,x x
phân biệt thoả mãn điều kiện
2 2
1 2
4 2x x =
Bài tập 50: Cho phơng trình :

( ) ( )
2
2 1 2 3 0m x m x m+ + + =
( x là ẩn ; m là tham số ).
1) Giải phơng trình khi m = -
9
2

2) CMR phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m.
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp

.
Bài tập 55:
a) Cho a =
11 6 2 , 11 6 2b+ =
. CMR a, ,b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số
nguyên.
http://kinhhoa.violet.vn
b) Cho
3 3
6 3 10, 6 3 10c d= + =
. CMR
2 2
,c d
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với hệ số
nguyên.
Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :

2 2
2( 1) 1 0x m x m m+ + + + + =
(x là ẩn, m là tham số).
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn :
1 2
3x x+ =
.
3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tập giá trị của hàm số
y=

1 2
,x x
, hãy tính theo m giá trị của biểu thức
B =
2 2
1 2 1 2
10 3( )x x x x +
. Tìm m để B = 0.
Bài tập 60:
a) Cho phơng trình :
2 2
2 1 0x mx m + =
( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị nguyên
của m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn điều kiện
1 2
2000 2007x x< < <
b) Cho a, b, c, d

R . CMR ít nhất một trong 4 phơng trình sau có nghiệm

2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;

(m + 1 ) x
2

( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.
Bài tập 63: Cho phơng trình
http://kinhhoa.violet.vn
:
2 2
3 2 2 10 4 0x y xy x y + + =
(1)
1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phơng trình ( 1 ) thoả mãn
2 2
10x y+ =
2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x :2
1 1 1
0a x b x c+ + =
và
2
2 2 2
0a x b x c+ + =

Có nghiệm chung. CMR
:
( ) ( ) ( )

2 4A x x x x= + +
.
Bài tập 67: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
với m

1. (1)
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) , tìm m để
1 2
0x x >
và
1 2
2x x=
Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phơng trình

2
( ) 0x a b c x ab bc ac+ + + + + + =
vô nghiệm .
Bài tập 69: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
2
0(1);
0(2).

- 5x
2
+2 = 0
b) x
6
-7x
2
+6 = 0
c) (x
2
+x +2)
2
-12 (x
2
+x +2) +35 = 0
d) (x
2
+ 3x +2)(x
2
+7x +12)=24
e) 3x
2
+ 3x =
xx +
2
+1
f) (x +
x
1
) - 4 (

5
x - 5 =0 b) -
5
.x
2
- 2 x +1=0
c) ( 1 -
03)13()3
2
=++x
d)5x
4
- 7x
2
+2 = 0
e) (x
2
+2x +1)
2
-12 (x
2
+2x +1) +35 = 0 f) (x
2
-4x +3)(x
2
-12x +35)=-16
g) 2x
2
+ 2x =
xx +

x
x
+

;
5
2
5
1
xxC +=
;
7
2
7
1
xxD +=
2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x
1
- 3, v = 2x
2
-3
b) u =
1x
1
1

, v =
1x
1

2
.
Bài tập 76. Cho phơng trình bậc hai: x
2
+(m+2)x +m= 0 .
a) Giải phơng trình với m =-
2
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
1
xxC
+=
Bài tập 77:
Cho phơng trình:
mx
2
2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào có giá trị tuyệt đối
lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x
1

Bài tập 80 Cho PT : x
2
2(m-2) x + ( m
2
+ m 3) = 0
Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn :

1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 81 .Cho PT : x
2
(m+2) x + ( 2m 1) = 0 có các nghiệm x
1
; x
2
. Lập hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc

= 0 (1)
mx
2
+ 10x 1 = 0 (2) ( m khác không )
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện 6x
1
+ x
2
= 5
Bài tập 84: Cho Phơng trình x
2
2(m+1) x 3m
2
2m 1 = 0 (1)
1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1
3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
+ 3x
2
= 5

2
+m 2 = 0
a) Giải PT khi m = 2
b) C/mr phgơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x
1
; x
2
.Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn

3 3
1 2
2 1
x x
x x

+
ữ ữ

đạt GTLN
Bài tập 88: Cho Phơng trình : x
2
mx m 1 = 0 (*)
a) C/mr PT (*) có nghiệm x
1
; x
2
với mọi GT của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT và GT m t-
ơng ớng .
b) Đặt A = x

1
, x
2
thoả mãn
x
1
2
+ x
2
2
=6
Bài tập 90: Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x + m 4 = 0 ( *)
a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của PT (*)
Chứn minh rằng : M = (1 x
1
) x
2
+ (1 x
2
)x
1


+ ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0
vô nghiệm
http://kinhhoa.violet.vn
Bài tập 94: Cho các phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a.c

0) và cx
2
+ dx + a = 0 có các nghiệm x
1
; x
2
và y
1
;
y
2
tơng ớng C/m x
1
2
+ x
2
2
+ y
1
2
+ y
2
2

Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình sau có nghiệm :
2 2 2
1 0; 1 0; 1 0x ax b x bx c x cx a+ + = + + = + + =
Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x
2
+ (m+2) x + 2m = 0 (1)
a) C/m phơng trình luôn luôn có nnghiệm
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2

Bài tập 99: Cho phơng trình x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) ; x
2

2
+ b
2
+ c
2
= 14
Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phơng trình :x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ cx + d = 0 có nghiệm chung thì :
(b d)
2
+ (a- c)(ad bc) = 0
Bài tập 104: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x
1
, x
2
là hai nghiệm của hai phơng trình x
2
+ ax + bc = 0 và x
2
, x
3
là hai nghiệm của phơng
trình x
2

2 2x x x x
Bài tập 109: Cho a

0 .G/s x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình
2
2
1
0
2
x ax
a
=
Chứng minh rằng :
4 4
1 2
2 2x x+ +
Bài tập 110 Cho phơng trình
2
2
1
0x ax
a
+ =
.Gọi x
1
; x