1
Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham
số
Bài toán 1 : Giải ph ơng trình bậc hai có chứa tham số .
Ph ơng pháp
: Xét các trờng hợp của hệ số a :
- Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phơng trình bậc nhất .
- Nếu a

0 thì tiến hành các bớc sau:
+ Tính biệt số
)(
'

.
+ Xét các trờng hợp của
)(
'

( Nếu
)(
'

chứa tham số ).
+ Tìm nghiệm của phơng trình theo tham số.
Bài 1 : Giải phơng trình bậc hai ( m là tham số ) sau :
a) x
2
- 2(3m - 1)x + 9m
2
- 6m - 8 = 0

= 2m + 1 ,
2
x
= m - 1
+ m =-2 : x = -3 ( nghiệm kép)
c/

= -11m
2
: + m = 0 : x = 0 ( nghiệm kép)
+ m

0 : PT vô nghiệm.
d/
'

= m
2
- 3m + 4 = (m -
2
3
)
2
+
4
7
> 0 :+ x
1
= m - 1 +
4

(m - 1)x
2
- 2mx + m + 2 = 0
HDẫn : * m =1 : x =
2
3
* m

1 :
'

= 2 - m
+ m > 2 : Vô nghiệm.
+ m = 2 : x = 2 (nghiệm kép )
+ m < 2 :
1
2
1

+
=
m
mm
x
;
1
2
2



2
- 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0
HDẫn :
'
=m
2
- 9 Nếu : -3<m<3 : Vô nghiệm
Nếu



=
=
3
3
m
m
thì



=
=
4
2
x
x
( nghiệm kép)
Nếu


1
,
'
=0 : x =
12 +m
m
(nghiệm kép)
Bài toán 2 : T ìm giá trị của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép,có hai nghiệm
phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm.
Ph ơng pháp:
Điều kiện để phơng trình bậc 2 có :
- Nghiệm kép
( )



=

0
0
'
a
- Hai nghiệm phân biệt
( )



>

0'

0
)
c) mx
2
- 3x + m = 0
(-
2
3
2
3
<< m
, m
0
)
Bài 7 : Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm kép :
a) 3x
2
- 2mx + 1 = 0
(m =
3
)
b) 4mx
2
- 6x - m - 3 = 0
(m = -
2
3
)
c) (m + 2)x
2

a) mx
2
- 2(m + 1)x + m + 3 = 0
b) (m
2
- m)x
2
+ 2mx + 1 = 0
HDẫn : a/ + m = 0 : x =
2
3

+ m

0 : m

1
b/ + m = 0 : Vô nghiệm.
+ m = 1 : x =-
2
1
+ m
0
, m
1
:
0'


m > 0

b/



>

0'
0m






<
>

0,
5
9
4
mm
m
c/ + m = 0 : Có nghiệm.
+ m
0

:
4
5


=
=

2
1
2
m
m
+ Với m = 2 : x = 3
+ Với m =
2
1
: x = 1
Bài 13 : Cho phơng trình (m là tham số) : (m + 3)x
2
+ 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0
Tìm điều kiện của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
HDẫn :
( )








<


mm
m
Bài toán 3 : Tìm giá trị của tham số để ph ơng trình bậc 2 nhận một số k (k

R) cho

tr ớc làm nghiệm .
Ph ơng pháp
:
- Thay giá trị x = k vào phơng trình tìm tham số.
- Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào
21
xx +
hoặc
21
.xx
để tìm nghiệm còn lại
(nếu cần).
Bài 14 : Xác định giá trị của tham số m để phơng trình :
a) (3m + 4)x
2
- (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhận 3 làm nghiệm. ( m = -
13
36
)
4
b) (m
2
+ 1)x
2

2
+ 7x + m = 0 ( m = -10 ,
3
10
2
=x
)
Bài 17 : Với giá trị nào của k thì phơng trình :
a) 2x
2
+ kx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.Tìm nghiệm còn lại .
b) k
2
x
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.Tìm nghiệm còn lại .
c) (k - 4)x
2
- 2kx + k - 2 = 0 có một nghiệm bằng
3
.Tìm nghiệm còn lại .
HDẫn : a/ k = 8 , x
2
= - 1
b/ k =
7
74

, x
16

m









0)22(
2
1
2
m
m
ta có :
2
1
=x
;
12
2
2

=
m
x
Phơng trình có nghiệm bằng m thì


1
phơng trình (1) có nghiệm x = 2
2
1
2
1
= m
không thoả mãn.
Bài 19 : Cho phơng trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để
phơng trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
1
=
x
* m
1
: m - 1 + (-2m) +m +1 = 0
1
1
= x
;
1
2
1
1
1
2



2
2
n
m
Bài 21 : Tìm m, n để phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là
2
1
:
mx
2
+ (mn + 1)x + n = 0
HDẫn :
( )







=+++
=

0
2
1
.1
4
0

*







=+



=
=
=



=
=




==
=+=+
02:
2
1
0:

2
+ 4x - m
2
+ 4m - 9 = 0
b) x
2
- mx + m - 4 = 0 e) (m + 1)x
2
+ x - m = 0
c) -3x
2
+ 2(m - 2)x + 2m + 5 = 0 f) x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m + 5) = 0
( dùng ac < 0 )

Bài 24 : CMR phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
0

) có nghiệm, biết rằng 5a + 2c = b .
HDẫn :

= b
2


2
1
22)(
21
2
21
==+ mxxxx
+



==

021
0
'
m
m

2
1
= m


kết luận ?
Bài 26 : CMR phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b, c :
a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0
b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0
c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Với a + b + c

c/ (a + b + c)x
2
- 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0


= a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
- a
2
bc - ab
2
c - abc
2
*6*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
=
( )
[ ]
( )
[ ]





=
+

=
2
1
2
1
01
a
ab
ab







=
=
2
1
2
b
a


Bài toán 5 : Chứng minh ít nhất 1 trong 2 ph ơng trình đã cho có nghiệm .
Ph ơng pháp
:
- Tính các biệt số
21
;
.
- Chứng minh
0
21
+
hoặc
0.
21

để suy ra một biệt số không âm (Chú ý kết
hợp giả thiết nếu có)
Bài 30 : Cho hai phơng trình : x
2
- 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x
2
+ x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
=+
21

26 > 0


21
(m + 1)
2


0

có 1 biệt số không âm .
*7*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bài 33 : Cho hai phơng trình : x
2
- 3x - a - 2 = 0 (1) và x
2
+ ax + 1 = 0 (2)
CMR với mọi a trong 2 phơng trình trên luôn có ít nhất 1 phơng trình có hai
nghiệm phân biệt.
HDẫn :

=+
21

(a +2)
2
+ 9 > 0

có 1 biệt số lớn hơn 0 .
Bài 34 : Cho hai phơng trình : x
2
+ (m - 2)x +

trình sau có nghiệm : x
2
+ 2bx + c = 0 và x
2
+ 2cx + b = 0 .
HDẫn :
0)()(
222
2
'
1
'
=++=+ cbccbb


có 1 biệt số không âm .
Bài 36 : Cho hai phơng trình bậc hai : x
2
+ ax + b = 0 (1) và x
2
+ cx + d = 0 (2)
Biết b + d =
ac
2
1
. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm .
HDẫn :
=+
21


)(4
21
2
2
2
1
bbaa ++
< 0

)(4
21
2
2
2
1
bbaa +<+

2121
2
21
2)(4)( aabbaa +<



0


2121
2
21

2
- (k + 4)x + k + 5 = 0
8
x
2
- (k + 2)x + k +1 = 0
HDẫn : x
0
= 2 ; k = 1
Bài 39 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ 2x + m = 0
x
2
+ mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x
0
= m - 2 : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x
2
+ 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
+ m

2 : x
0
= 1 ; m = -3
Bài 40 : Tìm giá trị của m để hai phơng trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0

4
; m = 4 hoặc m =
3
8

* Cách 2 : (1)

m =
x
xx
3
529
2
+
(x
)0
thay vào (2) :
4x
2
- 10x + 6 = 0 ta có x
1
= 1 ; x
2
=
2
3
. x
1
= 1


+
(x
)0
thay vào (2) :
*9*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
x
2
- 4x = 0 ta có x
1
= 0 (loại) ; x
2
= 4
. x = 4

m = 3 ( nghiệm chung là 4)
Bài 43 : Tìm giá trị của m để 2 phơng trình :
x
2
+ x + m - 2 = 0 (1)
x
2
+ (m - 2)x + 8 = 0 (2) có nghiệm chung.
HDẫn : (2)

m =
x
xx 82
2


611
8
0

=
a
x
khi đó :
(1)
06816499
2
= aa
ta có : a
2
1
=
; a
99
34
2
=
(loại)
. a = 2 nghiệm chung là
2
1
Bài toán 7 : Khi ph ơng trình bậc hai có nghiệm , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa 2
nghiệm
x
1
và

2
Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình : x
2
- (m + 3)x + 2m - 5 = 0
mà hệ thức này không phụ thuộc vào m.
HDẫn : .

= (m -1)
2
+ 28
0
. m = S - 3 và m =
2
5+P
ta có hệ thức : 2(x
11)
2121
=+ xxx
Bài 46: Cho phơng trình : x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0 . Không giải phơng trình, hãy tìm 1
biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
HDẫn : .

= (m -
2
1
)
2
+

=
2
2
02
2'
m
m
m
. m =
2
2S
và m =
2
3P
ta có hệ thức :
01)(
2121
=+ xxxx
Bài 48 : Cho phơng trình : (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 . Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm 1 hệ thức giữa
x
1
và
x
2
không phụ thuộc vào m.
HDẫn : .
100010

x
2
không phụ thuộc vào tham số m.
HDẫn : .




++=
012
01899
2'
m
mm








2
1
21
m
m
. m =
22
8

-3)
c) kx
2
- 2(k + 1)x + (k - 4) = 0 (k

0)
HDẫn : a/ .
5
4
045
'
= kk

. k =
2S
S
và k =
1
4


P
P
ta có hệ thức : 3 ( x
082)
2121
=++ xxx
b/ .



2121
=+ xxx
*11*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
c/ .
6
1
0016
'
+= kk

. k =
2
2
S
và k =
P1
4
ta có hệ thức :
05)(2
2121
=++ xxxx
Bài 51 : Cho phơng trình : (m + 1)x
2
- (2m - 3)x + m + 2 = 0 . Khi phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
hãy tính nghiệm này theo nghiệm kia.
HDẫn : +


x
x
xxxxx
(hoặc ngợc lại)
Bài 52 : Cho phơng trình :
3
1
1
1

+
xx
= m . Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm
hãy biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia.
HDẫn : mx
2
- (4m + 2)x + 3m + 4 = 0 (x
1
; x
3
)
+



>+=

044
0
2


0
0
'
a
- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x
1
và x
2
.
- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phơng trình gồm 3 phơng trình.
- Giải hệ phơng trình tìm tham số.
- Đối chiếu điều kiện, thử lại, rút kết luận.
Bài 53 : Cho phơng trình : 3x
2
- 4x + m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng trình có các
nghiệm
21
, xx
thoả mãn :
21
3xx =
HDẫn : *
3
4
034' = mm
*m = 1 (t/m)
Bài 54 : Xác định giá trị của tham số k sao cho hai nghiệm
21
, xx

347
347
0114
2
m
m
mm
*



=
=
1
0
m
m
(t/m)
Bài 56 : Cho phơng trình : x
2
+ 2x + 3k = 0 . Gọi
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình, không
giải phơng trình hãy tìm giá trị của k để :
14
21
= xx
HDẫn : *
3

2
- 3mx + 2m = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm

21
, xx
ta có hệ thức :
32
21
= xx
HDẫn : *















=
+
24
0
3





=
=
15
32
0
k
k
(t/m)
Bài 60 : Cho phơng trình : x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm

21
, xx
ta có hệ thức :
07)(53
2121
=++ xxxx
HDẫn : *
4
7
074 = mm
*





+=
2
5
2
04125
2
m
m
mm
*



=
=
2
1
m
m
loại m = 1
Bài 62 : Cho phơng trình bậc hai : (k + 1)x
2
- 2(k + 2)x + k - 3 = 0. Xác định k để giữa
hai nghiệm
21
, xx
ta có hệ thức :

*
3
1024
=

m
m
(m
0

)
3
=
m
(t/m)
Bài 64 : Cho phơng trình : x
2
- 2(m- 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. Tìm m để phơng trình có
hai nghiệm phân biệt
21
, xx
thoả mãn :
5
11
21
21
xx
xx

2
=+ xx
HDẫn : *
05
2
= m
*
2
1
=m
(t/m)
Bài 66 : Xác định m để hai nghiệm
21
, xx
của phơng trình : x
2
+ 3x + m = 0 thoả mãn
điều kiện :
34
2
2
1
2
=+ xx
13
HDẫn : *
4
9
049 = mm
* m =

- 2(m - 2)x + m - 3 = 0
thoả mãn :
1
2
2
1
2
=+ xx
HDẫn : *
40
04'
0




=

m
m
m
*



=
=
8
2
m

- 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 ( k là tham số). Gọi
21
, xx
là
hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị của k sao cho :
18
2
2
1
2
=+ xx
HDẫn : *
08)1('
2
>+= k
*



=
=
2
1
k
k
(t/m)
Bài 71 : Xác định m sao cho phơng trình : 3x
2
+ mx - 2 = 0 có các nghiệm
21

HDẫn : *







+







++=

10
211
10
211
2
1
015'
012
2
m
m
mm

b)
20
2
2
1
2
= xx
HDẫn : *
3
1
031' = kk
* a/ k = -16 (t/m) * b/ k = - 8 (t/m)
14
Bài 74 : Cho phơng trình : x
2
+ (m - 3)x - 2m + 1 = 0. Xác định m để giữa hai nghiệm

21
, xx
ta có hệ thức :
06
21
2
2
1
2
=++ xxxx
HDẫn : *
04)1(
2





=
1
1
01'
2
m
m
m
*
( ) ( )




=
=
=+=
2
1
1
012.1268
2
3
m
m
mmmm




=
=
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
HDẫn : *

= m
2
4n + 12

0
*



=
=
7
1
2

=+
15
7
63
134
n
m
nm
nm
( t/m)
Bài 78 : Cho phơng trình : x
2
+ mx + n = 0 . Tìm m, n biết phơng trình có hai nghiệm x
1
,
x
2
thoả mãn



=
=
7
1
3
2
3
1
21






=
=



=
=

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
+ Từ (1):
)/(
2




=
=




=+
=+
Bài 79 : Xác định các hệ số p và q để hai nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình: x
2
+px + q = 0
thoả mãn điều kiện



=
=
35
5
3
2
3
1


=
=
)/(
6
1
)/(
6
1
9015
254
2
mt
q
p
mt
q
p
q
qp

15
*16*
Chuyên đề PTB2 chứa tham số
Bài 80: Cho phơng trình
( )
0122
2
=+++ mxmx
. Gọi x

1221
2121 mxxxx =+
( )



=
=
=+=+
2
0
024
2
2121
m
m
mmmxxxx
Bài 81: Cho phơng trình
( )
07232
2
=+ mxmx
(1)
Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x
1
, x
2
. hãy tìm m để
m
xx

2

==+ mmm
Bài 82: Giải phơng trình
06
2
=+ mxx
. Biết rằng hai nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức:
10293939
3
22
2
1
3
1
2
21
=+++ xxxxxx
(*)
HDẫn : *

= m
2
- 2 4

3
212121
=++++
xxxxxxxxxx
( )
343
3
21
=+ xx
)/(77
21
mtmxx ==+
Phơng trình: x
2
- 7x + 6 = 0 có x
1
= 1; x
2
= 6
Bài 83: Cho phơng trình x
2
- ( 2m + 1)x + m
2
+ m = 0. Tìm các giá trị của m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mãn: - 2<x
1
<x
2
<4
HDẫn : *

>
m
m
m
x
x
Bài 84: Tìm các giá trị của tham số a sao cho phơng trình: x
2
+ 2ax + 4 = 0 (1) có các
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện
3
2
1
2
2
2
1










a

*
32
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1









+=











+

xx
xxxx
5
4
84
2



a
( vì





2
2
a
a
nên 4a
2
- 8 > 0 )








x
x
x
x
HDẫn : *
'

= a
2
- 4

0






2
2
a
a



+








x
x
x
x
x
x
x
x
( )
9
2
2
21
21
2
21
>




2
mtaa >>
Bài 86:
a) Cho hai phơng trình a
2
x
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a
2
= 0 (2) (Với a>c>0)
Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
; phơng trình (2) có hai nghiệm
'
2
'
1
, xx
Chứng minh rằng: x
1
x
2
+
'
2
'

2
c
0

- Ta có x
1
x
2
+
'
2
'
1
.xx
2
2.
2
2
=
c
a
a
c
b)
a
c
mnnm 22
22
=+
;

a) Chứng minh rằng phơng trình
0
2
=++ abxcx
(2) cũng có 2 nghiệm dơng
43
, xx
b) Chứng minh rằng S =
4
4321
+++ xxxx
HDẫn :
a)Phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi:







>
<









- Vì phơng trình (1) có 2 nghiệm dơng nên:
17







>
<












>=
>=+
=
0
0
04
0

0
0
04
0
2
ac
bc
acb
c
(II)
- Từ (I) và (II)

kết luận ?
b) Cách 1: Nếu

là nghiệm của (1) thì
0
2
=++ cba

Thay

1
=x
vào (2) ta có:
0
1
.
1
2

là 2 nghiệm của (2).
Vậy S =
422
11
2
2
1
1
=+








++








+
x
x
x


ax
2
+
bx
+
c
= 0 ( a
0

)
1)PTB2 có 2 nghiệm trái dấu

P< 0
0< ac
- Đặc biệt PTB2 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm
dơng
( )



<
>

0
0
'
S
hoặc



0
0
0
'
S
P
b- PTB2 có 2 nghiệm cùng dơng
( )





>
>


0
0
0
'
S
P
3) P TB2 có 2 nghiệm là 2 số nghịch đảo của nhau
( )



=

Bài 88: Tìm các giá trị của m để phơng trình:
a) x
2
- 2x + m = 0 có 2 nghiệm trái dấu. ( m < 0)
b) x
2
- 2mx + (m - 1)
2
= 0 có 2 nghiệm dơng. (
1
2
1
< m
)
18
c) 2x
2
- 2(m + 1)x + m = 0 có 2 nghiệm âm.













c) x
2
- 2x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều là số dơng. ( 0<m<1)
Bài 90: Xác định điều kiện của k để phơng trình:
a)
( ) ( )
05262
2
=+ kkxxk
có 2 nghiệm trái dấu. ( 2<k < 5)
b)
( ) ( )
0121
2
=+ kxkxk
có 2 nghiệm dơng.






<< 0
3
1
k
c)
( ) ( )
05322
2

0121
2
=++ mmxxm
có 2 nghiệm dơng.











>
<
1
1
m
m
Bài 92: Tìm giá trị của m để phơng trình:
a)
( )
012
22
=++ mxmmx
có 2 nghiệm trái dấu. (0<m < 4)
b) x
2

0
2
1
m
m
m
không xảy
ra.
c)
( )
0321
2
=+ xxm
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu. (1<m<
3
4
)
Bài 93: Cho phơng trình bậc hai
( )
05625
2
=+ mxmmx
1-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau. ( m =
5
2
)
2-Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
( )
1=m
Bài 94: Tìm giá trị m để phơng trình:
















<
1
0
3
1
m
m
Bài 97: Xác định m để phơng trình x
2
- (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao
cho x
1
, x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.





=+
>
>
>
6
4;6
0
1
83;83
5
0
0
0
2
2
2
2
1
m
mm
m
m
mm
xx
P
S









>
>


2
0
0
0
0
2
'
m
m
S
P
m
*
)/(4
5
2
111
22


ABC vuông ở A và BC = 2.
Bài toán 10 : Tìm giá trị của các tham số để hai ph ơng trình bậc hai đã cho t ơng
đ ơng với nhau. ( Trong trờng hợp mỗi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt)
Ph ơng pháp
: - Chỉ ra một phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Lập hệ phơng trình



=
+=+
4321
4321
xxxx
xxxx
- Giải hệ phơng trình tìm giá trị của các tham số.
- Thử lại, rút kết luận.
Bài 100: Cho phơng trình bậc hai
( )
( )
0
222
=++ nmxnmx
(1)
Tìm m và n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình
05
2
= xx
(2)

=
=




=
=+

2
1
1
2
2
1
n
m
n
m
mn
nm
* Thử lại, rút kết luận.
Bài 101: Cho hai phơng trình
( )
032
2
=+ mxnmx
(1) và
( )
063


( )
0934
2
=++ xnmx
(1) và
( )
0343
2
=+++ nxnmx
(2)
*Phơng trình (1) có ac = - 9<0

(1) có 2 nghiệm phân biệt.
*
( ) ( )
3
39
4334
==



=
+=+
nm
n
nmnm
* Thử lại, rút kết luận.
Bài toán 11 : Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph ơng trình bậc







21
2
1
0
012
'
m
m
m
*S =
( )
12
42

+
m
m
; P =
12
25


m
m

242
0142
2
m
m
mm
*



+=
=+
7
21
21
mxx
mxx
* A =
142
2
mm
; B =
mmm 213
23
++
Bài 105: Cho phơng trình
0)12(
2
=+ mxmx
. Tính A =

Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m.
a) A =
2
2
2
1
xx +
c) C =
21
11
xx
+
b) B =
3
2
3
1
xx +
d) D =
2
2
2
1
11
xx
+
*




mm
c) C =
2
2
m
m
b) B =
( )
( )
3
2
4
19182

+
m
mmm
d) D =
( )
2
2
2
16122

+
m
mm
Bài 107: Cho phơng trình
( )
0412







+= m
* a)
( ) ( )
( )
544
2
21
2
21
2
21
++=+= mmxxxxxx
52
2
21
++=
mmxx
b)
2
2
1
2
xx
= (

)
( )
[ ]
21
2
21
xxxx
+
=
( )
87452
22
++++ mmmm
Bài 108: Cho phơng trình
0
2
=++ cbxax
(
)0a
có hai nghiệm
21
, xx
. Tính theo
cba ,,

các biểu thức sau:
a) M =
( )( )
1221
3535 xxxx

2
2
2121
21
2
21
316
8
316
8
bac
acb
xxxx
xxxx


=
+
+
Bài toán 12 : Tìm giá trị của tham số để một biểu thức của
21
, xx
đạt giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất.
(
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai chứa tham số)
Ph ơng pháp
: - Tìm điều kiện để phơng trình đã cho có nghiệm

1
2
21
10 xxxx ++
*





=
3
3
09
2'
m
m
m
* A = 4
( )
348483
min
2
==++ mAm
(t/m)
22
Bài 110: Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm của phơng trình
02
2
=++ aaxx

1
2
6 xxxx +
Có giá trị nhỏ nhất.
*
014
2
>+= m
* A =
( )
2
1
0012
min
2
==+ mAm
Bài 112: Cho phơng trình
( )
0312
2
=+ mxmx
. Tìm giá trị của m để P =
2
2
1
2
xx +
Có giá trị nhỏ nhất.
*
0






mPm
Bài 113: Cho phơng trình
01
2
=+ mmxx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
21
2
2
1
2
6 xxxx +
và giá trị tơng ứng của m.
*
( )
02
2
= m
* A =
( )
48884
min
2
== mAm
Bài 114:

phơng trình luôn có nghiệm.
A =
( )
11111
min
2
==+ mAm
2)
( )
032
2
'
>+= m
2
2
1
2
xx +
=
( )
( )
23332
min
2
2
1
2
2
==++ mxxm
Bài 115: Cho phơng trình

2
2
==






=+= mAmmmA
Bài 116: Cho phơng trình
06)2(2
2
= mxmx
(1). Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng
trình (1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
1
2
xx +
.
*
( )
031
2
'

2
1
2
xx +
có giá trị nhỏ nhất.
* Giả sử phơng trình có nghiệm ta có:
2)(222
min21
2
21
=+=+ xxmxx
0= m
* m = 0 :
21012
2,1
2
==+ xxx
Bài 118: Cho phơng trình
( )
11
22
+=+ mxabax
(1)
a) Với
2;1 == ba
. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm
21
, xx
với
mọi giá trị của m.

2
==+ mxx
*
21012:0
2,1
2
=== xxxm
Bài 119: Cho phơng trình
01)12(2
2
=++ mxmx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
21
2
2
1
2
xxxx +
*
( )
032
2
= m
*
4
5
16
3
16

nhỏ nhất.
1)
( )
0212
2
=+ mxmx
2)
( ) ( )
0112
2
=++ mxmx
1)
( )
0514
2
>+= m

2
2
1
2
xx +
=
+







1
2
xx +
=
+






+=++
4
5
4
5
2
1
2324
2
2
mmm
( )
4
1
4
5
min
2
2


=
3
1
032
2'
m
m
mm

2
2
1
2
xx +
=
( )
7322124
2
2
=+ mmm
+
( )
2733.23
2
= Am
+
( )
[ ]
18731.21

41
2
5
24104
2
2







= mmm
+
2
4
41
2
5
3.23
2
=






Am

1)
( ) ( )
011
2
=+ mxmx
2)
( )
014
2
2
=++ mmxx
1)
=
( )
041
2
>++m

( ) ( )
41
22
21
++= mxx
( ) ( )
41
22
21
++= mxx
( )
241

0
3
1
21
xxm
*
01
21
xxm

Suy ra
( )




=
=
=
1
3
1
0
min
21
m
m
xx
Bài 123: Cho phơng trình
034)1(2

Tìm giá trị của m để biểu thức B =
2
2
12
1
2
xxxx +
đạt giá trị lớn nhất.
( )
01*
2
= m
* B =
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
)(
max
2
2
2121
==+



m
mm
m
*
21
xx
=
mm
m 1
3
13
=

Do 0<m
2
1

nên
21
xx
lớn nhất

m
1
nhỏ nhất

m lớn
nhất
2

=
2
2
04
2'
m
m
m
* A =
( )
2
2
1
2
21
1012 xxxx +
=
( )
446232244
2
2
+=+ mmm

34
max
== mA
Bài 127: Giả sử
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình

7
1 m
nên
9
50
2 A
Vậy
12
min
== mA

3
7
9
50
max
== mA
Bài 128: Cho phơng trình
( ) ( )
01381
222
=++++ xmmxmm
có hai nghiệm
21
, xx
. Tìm
GTNN và GTLN của biểu thức S =
21
xx +
*

++
++
= SmSmSmmmmS
mm
mm
S
3
132
3
132
3
52
0523
22
+= SSS
Vậy
3132
3413
3
132
min
+
+
== mS

1323
3413
3
132
max