Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét
Bài tập 1 : Tìm giá trị của tham số m để phơng trình

2
( 1) 5 20 0x m m x m+ + + + =
Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phơng trình

2
3 0x mx+ + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình

2
8 5 0x x m + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các
nghiệm của phơng trình trong trờng hợp này.
Bài tập 4 : Cho phơng trình

2
( 4) 2 2 0m x mx m + =
(1)
a) m = ? thì (1) có nghiệm là x =
2
.

là nghiệm của phơng trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho 3 phơng trình

2
2
2
1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
x ax b
x bx c
x cx a
+ + =
+ + =
+ + =

Chứng minh rằng trong 3 phơng trình ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phơng trình

2 2
( 1) 2 0x a x a a + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái dấuvới mọi a.
b)
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) . Tìm min B =
2 2
1 2
x x+

1 2
,x x
thoả mãn
1 2
3 4 11x x =
.
b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa
1 2
,x x
không phụ thuộc m.
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý
Bài tập 11: Cho hai phơng trình

2
2
(2 ) 3 0(1)
( 3 ) 6 0(2)
x m n x m
x m n x
+ =
+ =

Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng .
Bài tập 12: Cho phơng trình

2
0( 0)ax bx c a+ + =
(1)
điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là

1 2
,x x
độc lập với m.
Bài tập 15: Cho phơng trình

2
( 2) 2( 4) ( 4)( 2) 0m x m x m m + + + =
(1)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép.
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m.
c) Tính theo m biểu thức
1 2
1 1
1 1
A
x x
= +
+ +
;
d) Tìm m để A = 2.
Bài tập 16: Cho phơng trình

2
4 0x mx =


2
( 1) 0x m x m + + =
(1)
a) CMR phơng rình (1) luôn có nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình . Tính
2 2
1 2
x x+
theo m.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 5.
Bài tập 20: Cho phơng trình

2 2
(2 1) 3 0x m x m m+ + + + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -3.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .
Bài tập 21: Cho phơng trình


2( 1) 3 0x m x m + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = 5.
b) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
c) Tính A =
3 3
1 2
1 1
x x
+
theo m.
d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 24: Cho phơng trình

2
( 2) 2 4 0m x mx m + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình (1) là phơng trình bậc hai.
b) Giải phơng trình khi m =
3
2
.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không âm.
Bài tập 25: Cho phơng trình

2
0x px q+ + =
(1)
a) Giải phơng trình khi p =
( )

;
1
2
x
x
và
2
1
x
x
Bài tập 26: Cho phơng trình

2
(2 1) 0x m x m =
(1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm phân biệt với mọi m.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn :
1 2
1x x =
;
c) Tìm m để
2 2
1 2 1 2
6x x x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 27: Cho phơng trình

2

1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 30: Cho phơng trình

2
0x mx n+ + =
có 3
2
m
= 16n.
CMR hai nghiệm của phơng trình , có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 31 : Gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng trình
2
2 3 5 0x x =
. Không giải phơng trình ,
hãy tính : a)
1 2
1 1
x x
+
; b)
2


; c)
2 3+
Bài tập 33 : Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng :
a) Bình phơng của các nghiệm của phơng trình
2
2 1 0x x =
;
b) Nghịch đảo của các nghiệm của phơng trình
2
2 0x mx+ =
Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các nghiệm của phơng trình

2
0x mx n+ + =
cũng là m và n.
Bài tập 35: Cho phơng trình

2 3
2 ( 1) 0x mx m + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm bằng bình
phuơng nghiệm còn lại.
Bài tập 36: Cho phơng trình

2
2 5 1 0x x + =
(1)
Tính

222
=++ axaxaa
Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của ptrình ?
Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phơng trình bậc hai :

2
8 0x x m + =

để 4 +
3
là nghiệm của phơng trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho còn
một nghiệm nữa . Tìm nghiệm còn lại ấy?
Bài tập 41: Cho phơng trình :
2
2( 1) 4 0x m x m + + =
(1) , (m là tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm
1 2
,x x
phân biệt mọi m.
3) Tìm m để
1 2
x x
đạt giá trị nhỏ nhất (
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình (1) nói
trong phần 2/ ) .
Bài tập 42:

2

3 = 0
1) Giải phơng trình với m =
3
2) Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x
2
- 2mx + m
22
1
= 0 (1)
1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm của ptrình có giá trị tuyệt đối
bằng nhau
2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là:
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét 53
4
1
+
=x
và
53

012
2
=+ mxxx
có đúng hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 48: Cho hai phơng trình sau :
2
2
(2 3) 6 0
2 5 0
x m x
x x m
+ =
+ + =
( x là ẩn , m là tham số )
Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung.
Bài tập 49:
Cho phơng trình :
2 2
2( 1) 1 0x m x m + + =
với x là ẩn , m là tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng
1 2
,x x
phân biệt thoả mãn điều kiện
2 2
1 2
4 2x x =
Bài tập 50: Cho phơng trình :


2
+ 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để 2 nghiệm
1 2
,x x
của (1) thoả mãn :
2 2
1 2
14x x+ =
.
Bài tập 55:
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

a) Cho a =
11 6 2 , 11 6 2b+ =
. CMR a, ,b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với
hệ số nguyên.
b) Cho
3 3
6 3 10, 6 3 10c d= + =
. CMR
2 2
,c d
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai
với hệ số nguyên.
Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :

2 2
2( 1) 1 0x m x m m+ + + + + =

2 1 1
8x x x=
Bài tập 59: Cho phơng trình :
mx
2
-5x ( m + 5) = 0 (1) trong đó m là tham số, x là ẩn.
a) Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
, hãy tính theo m giá trị của
biểu thức B =
2 2
1 2 1 2
10 3( )x x x x +
. Tìm m để B = 0.
Bài tập 60:
a) Cho phơng trình :
2 2
2 1 0x mx m + =
( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị
nguyên của m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn điều kiện
1 2
2000 2007x x< < <
b) Cho a, b, c, d


1 2
,x x
. Xác định giá trị của p khi
4 4 5 5
1 2 1 2
x x x x+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 62: Cho phơng trình : (m + 1 ) x
2

( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham số.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 63: Cho phơng trình :
2 2
3 2 2 10 4 0x y xy x y + + =
(1)
1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phơng trình ( 1 ) thoả mãn
2 2
10x y+ =
2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x :

2
1 1 1
0a x b x c+ + =
và
2

b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 2 1 2
2 4A x x x x= + +
.
Bài tập 67: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
với m

1. (1)
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) , tìm m để
1 2
0x x >
và
1 2
2x x=
Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác . CMR phơng trình

2
( ) 0x a b c x ab bc ac+ + + + + + =
vô nghiệm .
Bài tập 69: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

1x x x x = =
. Xác định b, c.
Bài tập 71 : Giải các phơng trình sau
a) 3x
4
- 5x
2
+2 = 0
b) x
6
-7x
2
+6 = 0
c) (x
2
+x +2)
2
-12 (x
2
+x +2) +35 = 0
d) (x
2
+ 3x +2)(x
2
+7x +12)=24
e) 3x
2
+ 3x =
xx +
2

Bài tập 72. giải các phơng trình sau.
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

a) x
2
-
5
x - 5 =0 b) -
5
.x
2
- 2 x +1=0
c) ( 1 -
03)13()3
2
=++x
d)5x
4
- 7x
2
+2 = 0
e) (x
2
+2x +1)
2
-12 (x
2
+2x +1) +35 = 0 f) (x
2
-4x +3)(x

2
1
1
44
x
x
x
x
+

;
5
2
5
1
xxC +=
;
7
2
7
1
xxD +=
2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x
1
- 3, v = 2x
2
-3
b) u =
1x

x
1
<3 .
c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x
1
, x
2
.
Bài tập 76. Cho phơng trình bậc hai: x
2
+(m+2)x +m= 0 .
a) Giải phơng trình với m =-
2
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
1
xxC
+=
Bài tập 77:
Cho phơng trình mx
2
2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)

= 1
Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai nghiệm phân biệt trái đấu
(m 1)x
2
2x + 3 = 0
Bài tập 80 Cho PT : x
2
2(m-2) x + ( m
2
+ m 3) = 0
Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn :

1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 81 .Cho PT : x
2
(m+2) x + ( 2m 1) = 0 có các nghiệm x
1
; x
2

2
= 6.
Bài tập 83: Cho PT : x
2
10x m
2
= 0 (1)
mx
2
+ 10x 1 = 0 (2) ( m khác không )
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch đảo các nghiệm của PT hai
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện 6x
1
+ x
2
= 5
Bài tập 84: Cho Phơng trình x
2
2(m+1) x 3m
2
2m 1 = 0 (1)
1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x = -1
3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x

2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT (1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu PT(1) là 2
Bài tập 87. Cho Phơng trình x
2
(m 1) x m
2
+m 2 = 0
a) Giải PT khi m = 2
b) C/mr phgơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi GT của m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x
1
; x
2
.Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn

3 3
1 2
2 1
x x
x x

+
ữ ữ

đạt GTLN
Bài tập 88: Cho Phơng trình : x
2
mx m 1 = 0 (*)

2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với giá trị nào của a thì phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
2
+ x
2
2
=6
Bài tập 90: Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x + m 4 = 0 ( *)
a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm trái dáu
c) Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của PT (*)
Chứn minh rằng : M = (1 x
1

2
+ b
2
là hợp số
Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

x
2
+ ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0
vô nghiệm
Bài tập 94: Cho các phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a.c

0) và cx
2
+ dx + a = 0 có các nghiệm x
1
;
x
2
và y
1
; y
2
tơng ớng C/m x
1
2
+ x

; x
4
là nghiệm của phơng trình qx
2
+ x + p = 0
C/m :
1 2 3 4
. . 2x x x x+
Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình sau
có nghiệm :

2 2 2
1 0; 1 0; 1 0x ax b x bx c x cx a+ + = + + = + + =
Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x
2
+ (m+2) x + 2m = 0 (1)
a) C/m phơng trình luôn luôn có nnghiệm
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x

2
+ mx + 1 = 0 (1) x
2
+ x + m = 0 (2)
a) Tìm m để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phơng trình trên tơng đơng
Bài tập 102: Cho phơng trình: x
2
2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1)
a) C/mr phơng trình (1) luôn có nghiệm
Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép xác định a,b,c .Biết a
2
+ b
2
+ c
2
= 14
Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phơng trình :x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ cx + d = 0 có nghiệm
chung thì : (b d)
2
+ (a- c)(ad bc) = 0
Bài tập 104: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 .C/mr nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2
nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x

Bài tập 107: Chứng minh rằng phơng trình : (x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0
Luôn có nghiệm với mọi a,b,c.
Bài tập 108: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình : 2x
2
+ 2(m +1) x + m
2
+4m + 3 = 0
Tìm GTLN của biểu thức A =
1 2 1 2
2 2x x x x
Phơng trình bậc hai & hệ thức Vi-ét

Bài tập 109: Cho a

0 .G/s x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình
2
2
1
0
2
x ax
a

1 = 0(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn :
1 2
2 1
5
2
x x
x x

+ =