i
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả
nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng.

Hà Nội, tháng 3 năm 2014
Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận án GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ Nguyễn Quốc Hoàn

ii
Lời cảm ơn
Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng
mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cô, đồng
nghiệp, bạn bè và gia đình.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng tôn kính và sự biết ơn của tôi đến
GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận
tình dạy bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp
đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện
Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý
thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tôi
hoàn thiện cuốn luận án này. Cá nhân tôi coi đó là những bài học quý báu
trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời
cảm ơn chân thành nhất.
Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp

(BPS) 21
1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn 21
1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) 23
1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton 24

iv
1.5 Kết luận chương 1 26
2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI
ĐỐI XỨNG TRỤC 27
2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục 27
2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm 28
2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục 31
2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng 32
2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo
cao 34
2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục 34
2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục 35
2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] 37
2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel
[IV] 39
2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi
Abel [III, IV] 41
2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích 42
2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng
sợi dây 43
2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình 44
2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] 52
2.5 Kết luận chương 2 56
3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG
TRƯỜNG CHUẨN 58

:
Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận




:
Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần



:
Thế Yang-Mills




:
Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần



:
Vector màu



:
Đạo hàm hiệp biến


Mật độ năng lượng trường phi abel



:
4-xung lượng chính tắc



:
Spin đồng vị của hạt






:
Các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz



:
Hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz







Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector 


 với
nguồn ngoài kỳ dị
40
Hình 2.5
Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường 

 với
nguồn ngoài kỳ dị
41
Hình 2.6
Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích
màu  với nguồn ngoài kỳ dị
42
Hình 2.7
Thế phi Abel 

 với nguồn ngoài dạng sợi dây
46
Hình 2.8
Thế phi Abel 

 với nguồn ngoài dạng sợi dây
47
Hình 2.9
Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường 

 với

] đề xướng vào năm 1954. Ý
tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các
phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills
đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống
nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử
của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về
cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [
2
], với việc sử
dụng mô hình 



  nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các
lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [
3
]
và Salam [
4
] đã kết hợp cơ chế Higgs [
5
,
6
,
7
] vào trong lý thuyết của
Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây
dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình
Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối
lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà

thế các boson này còn được gọi là gauge boson.
Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô
tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai
thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn,
một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính
chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến.
Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời
gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất
khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Một trong
những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mô tả như
các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo
thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa
là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng
topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động.
Soliton là đối tượng được các nhà Vật lý thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm:
Quang học phi tuyến, Vật lý hạt, Vũ trụ học và Vật lý chất rắn. Đối với lý
thuyết trường của các hạt cơ bản, điều hấp dẫn nhất là, ngay ở mức độ cổ
điển (chưa lượng tử hóa), hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các
phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: Mật độ
năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch
chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến

3
được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các
soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm
Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết Yang-
Mills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-Prasad-
Sommerfield), …. Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được
tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý
thuyết. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi

trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài toán này
chúng tôi đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng
được bộ chương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự;
(ii) Tiếp theo, chúng tôi khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với
chỉ số topo cao ();
(iii) Cùng với lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm , xét lý thuyết
Yang-Mills đối với nhóm Lorentz , cũng là của  – nhóm
đẳng cấu địa phương  – và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài
toán hạt trong trường hấp dẫn.
Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý
thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills
và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực
còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt
ra, có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng
tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu
đã chọn.
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như
các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên
cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải
tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường
gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn
đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng
dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường
hấp dẫn.

5
b) Đối tượng nghiên cứu

của hạt với các đối tượng này. Những kết quả với ý nghĩa khoa học và thực
tiễn của luận án có thể tóm tắt như sau:
Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương
trình Yang-Mills  với nguồn ngoài dạng điểm, dạng sợi dây. Chương
trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm
được, chúng tôi đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi
Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Từ đó giúp
ta hiểu rõ hơn về bức tranh tương tác của các hạt cơ bản.
Tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng sợi
dây. Đối với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ
nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu. Tìm được nghiệm
phụ thuộc thời gian dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền
tải năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng
của nguồn không đổi theo thời gian. Những nghiệm vortex này có thể giúp
cho việc nghiên cứu các loại vật liệu mới.
Đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển
động trong trường Yang-Mills của các nhóm  và . Dựa trên
phương trình này nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt điểm trong
trường gauge đối với nhóm Lorentz, như là tiếp cận Yang-Mills cho bài toán
hạt trong trường hấp dẫn. Sự đóng góp này của luận án giúp cho việc liên kết
giữa lý thuyết Yang-Mills và lý thuyết hấp dẫn của Einstein, trong đó có so
sánh với lý thuyết hấp dẫn của Newton để đóng góp cho lý thuyết về sự
thống nhất các tương tác.
Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc
lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai
trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản
của tự nhiên.

7
5 Bố cục của luận án

8
toán về hạt trong trường đơn cực ’t Hooft-Polyakov và trường soliton BPS.
Từ đó, giải bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn và so
sánh cách tiếp cận hấp dẫn của lý thuyết Yang-Mills với lý thuyết hấp dẫn
của Einstein và Newton.

9
Chương 1
1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE
ABEL VÀ PHI ABEL
Một trong những đặc trưng cơ bản của điện động lực Maxwell là tính bất
biến gradient (gradient invariance). Nghĩa là, điện động lực sẽ bất biến nếu
thêm vào thế gradient một thế nào đó. Tuy nhiên, để tương tác của của vật
chất tích điện với trường điện từ, bảo đảm được tính bất biến gradient cho
trường điện từ, hàm sóng của hệ vật chất cũng phải chịu một phép biến đổi
pha với pha chính là hàm xác định phép biến đổi gradient của hàm thế. Phép
biến đổi xác định bởi cùng một hàm lên cả hàm sóng của vật chất lẫn thế của
trường điện từ được gọi là phép biến đổi chuẩn – phép biến đổi gauge (gauge
transformation). Như vậy, lý thuyết vật chất tương tác với trường điện từ
phải bất biến chuẩn (gauge invariant).
Tính chất này đã được tổng quát hóa cho cả tương tác yếu và tương tác
mạnh. Tính bất biến chuẩn sẽ dẫn đến sự tồn tại một thế vector có vai trò
tương tự như thế của trường điện từ, được gọi là thế chuẩn hay trường chuẩn
(gauge field). Nếu nhóm cơ bản để xây dựng trường chuẩn cho Điện động
lực là nhóm , và trường chuẩn tương ứng là thế điện từ, thì nhóm dùng
để xây dựng trường chuẩn cho tương tác yếu là nhóm  và trường
chuẩn tương ứng được gọi là trường Yang-Mills, còn cho tương tác mạnh sẽ
là nhóm , trường chuẩn tương ứng gọi là trường gluon.
Bằng cách lựa chọn nhóm chuẩn 


bằng nhóm  ta sẽ được lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified
Theory).
Như vậy, mặc dù có tới bốn tương tác cơ bản, nhưng trừ tương tác hấp
dẫn, các tương tác còn lại đều được diễn tả thông qua một ngôn ngữ duy
nhất, đó là ngôn ngữ trường chuẩn. Do tính phổ quát của lý thuyết Yang-
Mills trong nghiên cứu vật lý hạt cơ bản mà dẫn đến việc tìm nghiệm của
phương trình này trong những mô hình vật lý khác nhau luôn là đề tài hấp
dẫn các nhà vật lý. Trong phần này ta sẽ điểm qua một số kết quả đã được
công bố của các tác giả về việc tìm nghiệm soliton của các phương trình
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs.
Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến.
Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định
giống như những đối tượng hạt thông thường. Những soliton và những đa
soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo
, đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại lượng được bảo toàn.
Sự bảo toàn của  không phải do định lý Noether mà do cấu trúc topo của
soliton. Mỗi soliton được mô tả bởi tập hợp các tọa độ trong mô hình. Tập
hợp các tọa độ được coi như không gian moduli.
Bogomolny [
11
] đã chỉ ra rằng, trong các lý thuyết trường thì năng
lượng của soliton bị chặn dưới bởi một đa tích topo và dấu đẳng thức chỉ xảy
nếu như trường thỏa mãn trật tự đầu tiên PDE. Bởi vì phương trình
Bogomolny không chứa thời gian, những nghiệm của nó là những nghiệm
tĩnh. Hơn nữa, chúng là những nghiệm ổn định trong cấu trúc topo chúng có
năng lượng cực tiểu.
Nếu một đơn soliton có  tập hợp tọa độ thì  soliton sẽ có một không
gian moduli với  chiều. Đa tạp  chiều này có cấu trúc một ma trận, nó
mô tả những sự tương tác của các soliton. Đôi khi thế của trường cũng được
định nghĩa trên không gian moduli. Trong trường hợp không tồn tại thế,

Phần này ta sẽ xem xét các nghiệm của phương trình Yang-Mills trong
không gian Minkowski. Phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge
có dạng















(1.1)
nó bất biến dưới phép biến đổi của nhóm gauge . Các nghiệm của
phương trình này được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel [
19
],
nghiệm monopole phi Abel, và một số các lớp nghiệm phức thu được từ các
lớp ansatz. Một nghiệm thực tiêu biểu trong không gian Minkowski đó là cặp
meron-phản meron. Hầu hết các nghiệm này đều mang tính thuần túy toán
học mà ít có ý nghĩa vật lý thực tế. Tuy vậy cũng có những nghiệm quan
trọng với ý nghĩa vật lý nhất định như nghiệm monopole Wu-Yang, nó được
coi là một dây các monopole tự do trong trường hợp phi Abel.













  






(1.2)
Thế các ansatz này vào (1.1), ta được hệ phương trình sau













(1.3)
Phương trình (1.3) có hai nghiệm hằng là 







 và 








, chúng là những nghiệm vacuum với 


 (


 đối
với nghiệm thứ nhất, còn đối với nghiệm thứ hai 





 Dù
có sự đóng góp này của thế gauge nhưng nó có thể thay đổi bởi phép biến
đổi gauge. Vì vậy, với sự tương đương gauge, phương trình (1.4) chỉ còn lại




.
Để có cách nhìn tổng thể hơn và thuận lợi cho việc so sánh các nghiệm
của Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs này. Ta hãy chỉ ra
đây một tam tuyến Higgs mà Lagrangian của nó trong lý thuyết gauge 




được cho bởi















 








(1.6)









 







(1.7)



biến đổi như các biểu diễn phó. Mặt khác, thế
Higgs phải không triệt tiêu tại vô cùng còn thế năng phải triệt tiêu tại đó. Do
vậy, bất kể nghiệm vật lý nào cũng phải thỏa mãn














 



 
(1.9)
Điều này giống như việc phá vỡ đối xứng trong lý thuyết lượng tử, mà ở đó
mong muốn rằng vacuum có giá trị khác không












(1.11)
Để thế năng tại vô cùng phải triệt tiêu, đòi hỏi







 
(1.12)
Từ sự tương ứng Julia-Zee [21], nếu chọn







 












  






(1.14)
Phương trình chuyển động thu được từ Lagrangian (1.5) có dạng là














 



 




(1.15)
Sử dụng các ansatz (1.14) ta được phương trình rút gọn của (1.15) thành




















   






(1.16)
phương trình này có dạng hoàn toàn tương tự như (1.3) khi 

.
Còn đối với trường hợp 

 thì phương trình này không còn
nghiệm hằng số nữa. Từ (1.16) ta tìm được
















  











 



ở đây, ta sử dụng các ký hiệu











 

 


  





và phương trình thứ hai của (1.15) trở thành












  



 























(1.17)
ký hiệu 





là vector phương vị trong không gian gauge (được xác
định như hướng trong không gian ba chiều), tức là trên trục  thì tọa độ của
mỗi điểm là 











  





















gian. Những thế 


và 


được xác định bởi hàm 



. Khi có phá vỡ đối
xứng tự phát thì 


là thành phần khối lượng của trường gauge. Nhưng 

16
thì không phụ thuộc vào 



hay 



mà nó được xác định bởi dạng của
ansatz (1.2).










(1.19)
Với  đây là nghiệm đầu tiên được tìm ra bởi Wu và Yang vào năm
1968 [20] và đó chính là nghiệm monopole. Còn đối với  thì có thể coi
như là nghiệm dyon với điện tích trong lý thuyết  thuần
gauge.
1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và
dyon Julia – Zee
Trong phần này ta sẽ xem xét một số nghiệm của lý thuyết gauge 
tương ứng với sự phá vỡ đối xứng gauge . Một trong số nghiệm nổi
tiếng thuộc lĩnh vực này của lý thuyết trường lượng tử là nghiệm monopole
của ’t Hooft-Polyakov.
1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov
’t Hooft [15] và Polyakov [
23
,
24
] đã tìm ra (một cách độc lập) nghiệm
monopole của lý thuyết gauge với tam tuyến Higgs. Đây là nghiệm không kỳ
dị và có năng lượng hữu hạn. Nó biểu diễn những trạng thái định xứ, mở
rộng và bền về topo.
Monopole chính là nghiệm của phương trình (1.16) cho trường hợp



  






(1.20)
Trong giới hạn 

 và  với 

 xác định thì nó trở thành
nghiệm Prasad-Sommerfield (mà ta sẽ xét đến ở phần tiếp theo).
Bây giờ, ta hãy tìm hiểu để trả lời câu hỏi xem tại sao nghiệm này lại
được giải thích như một đơn cực? ’t Hooft và Polyakov đã độc lập tìm ra
nghiệm này nhưng lại có cách giải quyết vấn đề này theo các cách khác
nhau. Ở đây, ta chỉ xem xét cách giải quyết vấn đề của ’t Hooft. Theo đó,
’tHooft đã nghiên cứu vấn đề này như là một cách tiếp cận trường điện từ
trong phạm vi lý thuyết gauge với một tam tuyến Higgs (1.5) và đòi hỏi nó
phải hiển nhiên bất biến dưới phép biến đổi gauge . ’t Hooft đưa ra
một tensor bất biến gauge có dạng











 






















(1.22)
các ký hiệu được dùng ở đây là





























(1.24)

18















 




(1.26)
Sử dụng ansatz











 





 

 
(1.29)

   
(1.30)
Vì số hạng phi tuyến trong (1.29) là 

, do đó số hạng thế năng không
bị phân kỳ tại vô cùng. Mặc dù vậy, số hạng động năng lại phân kỳ tại đó.
Nghiệm năng lượng không xác định này (Polyakov gọi là quả cầu gai)
dường như bền về topo. Ta lý giải điều này theo phương pháp topo. Giá trị
biên 

 tương ứng với một ánh xạ từ một hình cầu ở vô cực lên