A: Phần mở đầu
I/ Vai trò của bài tập toán trong tr ờng phổ thông:
- Môn toán là một trong những môn học công cụ. Đặc điểm của toán học quyết
định vị trí của môn toán trong nhà trờng phổ thông. Phân tích ta thấy toán học có tính
trừu tợng cao độ, do đó có tính thực tiễn phổ dụng tri thức và phơng pháp của toán học
xâm nhập đợc nhiều khoa học khác và vào thực tiễn. Ngời ta thờng dùng ngôn ngữ của
toán học để diễn tả nhiều sự kiện ở các lĩnh vực rất khác nhau.
- Trong nhà trờng các tri thức và phơng pháp giúp học sinh học tốt các bộ môn
khác, tính công cụ của môn toán trong việc học các môn khác càng trở nên rõ ràng,
trong đời sống hàng ngày các kỹ năng tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ớc
lợng, khái niệm sử dụng các dụng cụ toán học, máy tính điện tử là điều kiện cần có để
tiến hành hoạt động của ngời lao động trong đời sống công nghiệp hoá, hiện đại hoá.
- Ngoài ra môn toán còn có tiềm năng phát triển năng lực, trí tuệ và hình thành
các phẩm chất trí tuệ. Là môn học mang sẵn trong nó chẳng những phơng pháp quy
nạp thực nghiệm mà cả phơng pháp suy diễn logic. Môn toán nói chung và bài tập toán
nói riêng tạo cơ hội cho ngời học rèn luyện khả năng suy đoán và tởng tợng. Vị trí
không tách rời ngôn ngữ nên học toán có điều kiện rèn luyện ngôn ngữ chính xác và
trong sáng. Bên cạnh đó bài tập toán còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức
học sinh, tạo điều kiện hình thành và hoàn thiện dần những nét nhân cách.
II/ Căn cứ lý luận:
- Mỗi một chuyên đề của toán học đều có đặc thù riêng. Bên cạnh đó chuyên đề
Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán là một trong
những chuyên đề trọng tâm của chơng trình đại số lớp 9. Để giảng dạy có hiệu quả
chuyên đề này trớc hết giáo viên phải đặt mục tiêu đề ra là: Học sinh phải nắm vững lí
thuyết, phải hiểu sâu bản chất của bài toán xuất phát từ những kiến thức cơ bản và
trọng tâm là: Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai và định lí viet đối với phơng
trình bậc hai.
- Để đạt đợc mục tiêu đó một cách có hiệu quả nhất thì hơn hết học sinh phải
hiểu đợc lý thuyết một cách sâu sắc và biết vận dụng thành thạo, kết hợp với khả năng
phân tích, tổng hợp bài toán phải có kỹ năng trình bày, xét các khả năng có thể xảy ra
với bài toán. Vì thế học sinh đợc cọ sát với các dạng toán với các bài toán chứa tham

B: Nội dung
Phơng trình bậc hai và áp dụng hệ thức vi-ét trong giải toán
- Các bài toán về phơng trình bậc hai rất phong phú và đa dạng. Để giải đợc các
bài toán đó phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng lý thuyết và các kết quả đã biết
về phơng trình bậc hai đặc biệt là định lí viet với đặc thù riêng của phơng trình đã cho
mà biến đổi cho phù hợp. Cách giải phơng trình bậc hai.
- Nếu phơng trình bậc hai có dạng: ax
2
+ bx = 0 (1) thì ta nên đa phơng trình
trên về dạng tích: (1)

x (ax + b) = 00
0
0
x
x
b
ax b
x
a
=

=





a
c
> 0

phơng trình có nghiệm x =
a
c

.
2
- Nếu phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 (3) (a

0) thì sử dụng công thức
nghiệm để giải.
Công thức tổng quát
Tính:

= b
2
4ac.
- Nếu

< 0

Pt vô nghiệm
- Nếu

= 0

Tính:
2
' , ,
( 2 )b ac b b = =
Nếu
,

< 0

Pt vô nghiệm
Nếu
,

= 0

Pt có nghiệm kép
x
1
= x
2
=
a
b
'

- Nếu
,

> 0


2
=
a
b
và x
1
x
2
=
a
c
Nếu pt (3) a + b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
Nếu pt (3) a - b + c = 0 thì pt có hai nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c
- Muốn tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P ta chỉ
cần giải pt: x
2
- Sx + P = 0. Nếu pt có nghiệm thì hai số cần tìm là 2 nghiệm của phơng
trình này. Nếu pt vô nghiệm thì bài toán không có lời giải.

1
= 1; x
2
=
)21()21(
)12(
21
12
2
+
+
=

+
=
2
2
)12(
1
)12(
+=

+
- Có thể sử dụng công thức nghiệm để giải hoặc biến đổi về phơng trình tích.
2) Bài tập 2: Giải phơng trình sau:
94
699
95
599
96

1
96
499
1
97
399
1
98
299
1
99
199
222222

+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxxxxxxxx
94
10099
95
10099
96

98
1
99
1
++
) = 0
x
2
+ 99x 100 = 0
Vì a + b + c = 1 + 99 - 100 = 0

Phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 1; x
2
= -100.
* Khai thác bài toán:
* Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra giải các bài toán tơng tự nh giải phơng
trình sau:
Bài tập:
14
7
13
8
12
9
11
10
2222
++


=
2
)6( +m
=
6+m
- Nếu

= 0

(m+ 6)
2
= 0

m+ 6 = 0

m = - 6 thì phơng trình có
nghiệm kép x
1
= x
2
=
2
m
= -3.
- Nếu

> 0 hay m > -6 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
x
1

4
5
- Nếu m

0 . Ta có

= (m+2)
2
m(m+5)
= m
2
+ 4m + 4 m
2
- 5m = 4 m
- Nừu

< 0

4 m < 0 thì pt vô nghiệm
- Nếu

= 0

4 m = 0 . Vậy pt có nghiệm kép x
1
= x
2
=
2m
m

+ bx + c = 0 nếu hệ số a có chứa tham số thì chú ý xét hai trờng hợp xảy ra đối với a
đó là a = 0 và a

0 trong quá trình biện luận. Ta có thể đa ra các bài tập tơng tự
Bài tập : Giải và biện luận các pt sau ( với m là tham số)
a/ x
2
+ 2(1 + 3m)x m
2
b/ 2m
2
x
2
3x 1 = 0
c/ mx
2
2(m + 1)x 2m = 0
d/ (m-1)x
2
+ 2(m+1)x + m-3 = 0
II> Dạng II : Chứng minh ( tìm điều kiện) để pt bậc hai có nghiệm
- Một bài toán có thể nhìn ở nhiều góc độ khác nhau, mỗi cách nhìn cho ta một
cách giải khác nhau. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp cho học sinh tái
hiện đợc nhiều kiến thức, mỗi cách giải ứng với kiến thức ở nhiều mục khác nhau. Cần
nhiều cách giải cho một bài toán giúp học sinh khắc sâu kiến thức, hệ thống kiến thức,
nhớ bài tập đó lâu hơn và là tiền đề giúp cho ta giải các bài toán khác. Dựa vào công
thức nghiệm tổng quát và thu gọn muốn chứng minh pt bậc hai có nghiệm ta có hai
cách:
- Cách 1: CM


= -1 ; x
2
=
a
c
1)Bài tập 1 : CMR các pt sau luôn có nghiệm với mọi m
a/ x
2
+ (m+1) + m = 0 (1)
b/ m
2
x
2
+ 10x 1 = 0 (2)
Phân tích tìm lời giải:
- Ta nhận thấy pt (1) là pt bậc hai ( vì a
0

). Vậy để chứng minh pt (1) luôn có
nghiệm ta phải chứng minh


0 với mọi giá trị của m
Ta có

= (m+1)
2
4m = m
2
+ 2m +1 4m = m

1
Nếu m
2

0



m
0

ta có

= 5
2
m
2
(-1) = 5 + m
2
> 0 với mọi m
Vậy với m
0
pt cũng luôn có nghiệm
KL : Vậy với pt trên luôn có nghiệm với mọi m
*Khai thác bài toán:
- Qua bài toán trên ta thấy học sinh thờng quên không xét trờng hợp m = 0.
Vì vậy khi dậy giáo viên cần phải nhấn mạnh, khắc sâu cho học sinh chú ý đối với pt
có tham số m ở hệ số a của x
2
ta phải xét các trờng hợp xảy ra. Từ đó có thể đa thêm

(a
2
ab - + b
2
)
]
= -2
[
a(
2
ab +
4
2
b
) +
4
3
2
b
]
= -2
[
a(
2
b
)
2
+
]
2

Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số
cho trớc mà không giải phơng trình đó. Theo định lí viet ta biết rằng nếu phơng trình
bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) có nghiệm x
1
; x
2
thì:
x
1
+ x
2
=
a
b
x
1
.x
2
=
a
c
Do đó điều kiện để phơng trình bậc hai:
+ Có hai nghiệm trái dấu

a.c < 0
+ Có hai nghiệm dơng:




>


+ <
- Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc hai (a

0) có ít nhất một
nghiệm không âm. Thờng ta có hai cách giải:
Cách 1: Xét biểu thức P =
a
c
phơng trình có ít nhất một nghiệm không âm nếu:
+ Có P < 0 (trờng hợp này có một nghiệm dơng, một nghiệm âm).
+ Hoặc P = 0 (trờng hợp này có một nghiệm bằng 0).
6
+ Hoặc:
1 2
1 2
0
. 0
0
x x
x x



'

> 0 (m + 2)
2
(m + 1) > 0


x
1
.x
2
> 0

m + 1 > 0
x
1
+ x
2
> 0 2 (m + 2) > 0
m
2
+ 4m + 4 m 1 > 0 m
2
+ 3m + 3 > 0 (m +
2
3
)
2
+

+ 2(m + 1)x + 2m -11 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm.
Bài tập 3: Tìm k để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt.
x
4
2kx
2
+ 2k 3 = 0 (1)
Phân tích tìm lời giải:
- Phơng trình (1) ta có thể đặt ẩn phụ để đa về phơng trình bậc hai.
Đặt x
2
= t(t

0) ta có t
2
2k.t + 2k 3 = 0 (2)
Vậy để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) có hai nghiệm
phân biệt dơng. Do đó ta có:
2
2
1 2
1 2
( 1) 2 0
0 2 3 0
3 3
. 0 2 3 0

3
thì pt (1) có 4 nghiệm
phân biệt dơng.
Khai thác bài toán :
7
- Từ lời giải trên ta có thể ra bài toán tơng tự : Tìm m để pt sau có 4 nghiệm phân
biệt : x
4
4x
3
+ 8x m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
-Ta có thể thay đổi một số yếu tổ của bài toán, có thể thay đổi một số dữ kiên,
cũng có thể thay đổi một vài điều phải tìm, phải chứng minh để tìm ra bài toán ban
đầu, để sử dụng hoặc bồi dỡng học sinh giỏi. Ta có bài toán sau:
Bài tập 4 : Cho pt (x
2
1)( x + 3)(x + 5) = m (1)
Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt thoả mãn
1
1
x
+
432
111
xxx
++
= -1
Phân tích tìm lời giải:
Trớc hết ta biến đổi pt trên rồi đặt ẩn phụ để đợc pt bậc hai


0
m
m
t t m m
m
t t

> + >

>



> > < <

<


>
+ >


Khi đó ta có pt x
2
+ 4x + 4 t
1
= 0 có hai nghiệm x
1
, x
2

=


Mặt khác:
4321
1111
xxxx
+++
= m


43
43
21
21
xx
xx
xx
xx
+
+
+
= m


21
4
4
4
4



4 (t
1
+ t
2
) 32 = m [ t
1
t
2
4 (t
1
+ t
2
) + 16 ]
Mà t
1
+ t
2
= 10 thay vào ta giải tiếp đợc m = -7 (t/m)
t
1
t
2
= 9m
Khai thác bài toán:
- Từ lời giải bài toán trên ta có thể đa ra các bài toán tơng tự.
Bài tập 1: Tìm m để phơng trình: (x
2
+ 2x + 1)

2
< x
3
< x
4
.
Bài tập 3 : Tìm m để pt (x 7)(x 6)(x + 2)(x + 3) = m có 4 nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
, x
3
, x
4
thoả mãn
4321
1111
xxxx
+++
= 4.
2- So sánh nghiệm của các pt bậc hai với một số bất kỳ khác 0.
8
- Để so sánh nghiệm của pt bậc hai với một số bất kỳ cho trớc ta có thể dùng
định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai hoặc sử dụng công thức nghiệm để tìm ra
nghiệm rồi so sánh.
Bài tập 1 : Tìm m để pt x
2
+ 2 (m + 1)x + 2m 11 = 0.
a) Có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.


hoặc
1
2
1
1
x
x
>


<

1
2
1 0
1 0
x
x
<


>

hoặc
1
2
1 0
1 0
x

x x m
+ =


=

thay vào ta có:


2m 11 (-2m 2) + 1 < 0


2m 11 + 2m +2 + 1 < 0


m < 2.
Vậy m < 2 thì phơng trình có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
b) Giả sử pt có 2 nghiệm x
1
; x
2
sao cho






<
>





>
>
3
2
1
062
036
0422
04)22(2112
04
04)(2
022
0)2)(2(
02
02
2
2
21
212.1
21
21
2
1
2
1
m

+ mx 1 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Bài tập 5: Tìm m để pt x -
2
1 x
= m có một nghiệm duy nhất.
IV/ Dạng IV: Quan hệ giữa các nghiệm của hai pt bậc hai.
Bài tập 1: Tìm các giá trị của a để hai pt sau có ít nhất 1 nghiệm chung:
x
2
+ ax + 1 = 0 (1)
x
2
+ x + a = 0 (2)
Phân tích tìm lời giải:
Để giải bài toán trên ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: Giả sử x = x
0
là một nghiệm chung nào đó của hai pt. Khi đó ta có:
x
2
0
+ ax
0
+ 1 = 0 và x
0
2
+ x
0
+ a = 0.
9

x (a 1) = a 1
x
2
+ x + a = 0 x
2
+ x + a = 0.
đến đây ta giải nh cách 1.
Cách 3: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của mỗi phơng trình. Vậy xét x

0 ta có:
x
2
+ ax + 1 = 0

a =
x
x 1
2



-x
2
x =
x
x 1
2

x
2

(m + 4)x + m + 5 = 0 và x
2
(m + 2)x + m + 1 = 0
b) x
2
+ mx + 2 = 0 và x
2
+ 2x + m = 0
c) 2x
2
(3m + 2) x + 12 = 0 và 4x
2
(9m 2)x + 36 = 0.
d) x
2
mx + 2m + 1 = 0 và mx
2
(2m + 1)x 1 = 0
e) x
2
+ (m 2)x + 3 = 0 và 2x
2
+ mx + m + 2 = 0.
* Trong một số trờng hợp để tạo ra bài toán mới bằng phơng pháp tơng tự ta có
thể giữ nguyên các giữ kiện giả thiết của bài toán và chỉ thay đổi kết luận (hay câu hỏi)
của bài toán đó. Chỉ có thể làm đợc điều này nếu ta khai thác kết quả mới của bài toán
đã cho hoặc nghiên cứu bài toán theo một hớng khác. Bài toán mới cùng với bài toán
ban đầu giúp học sinh xem xét một vấn đề toán học dới những góc độ khác nhau biết
cách khai thác các kết quả khác nhau giúp học sinh nắm vững kiến thức sâu hơn và
phát huy t duy phân tích, tổng hợp cho học sinh.

=







<
<
04
041
2
a
a





<+
>
0)2)(2(
4/1
aa
a





là hai nghiệm của pt (2). Vậy để hai pt trên t-
ơng đơng
10


1 2 3 4
1 2 3 4
1 1
. . 1 1
x x x x
a a
x x x x a a
+ = +
= =

= = =


Hệ vô nghiệm
KL: Vậy
4
1
< a < 2 thì hai pt trên tơng đơng.
Khai thác bài toán :
Qua đó giáo viên cho học sinh giải các bài tập tơng tự để rèn kĩ năng vận
dụng cho học sinh làm dạng toán này:
Bài tập 1: Tìm a để hai pt sau tơng đơng:

2
2 2
2(2 ) 13.2 2 0 4 13 0
3 9 0 3 ( 3) 0
4 0 4 0
a a m a a m
a a a a
a a m a a m

+ = + =

= =

+ = + =
0a
=
hoặc
3a
=
Lần lợt thử lại với a = 0; a = 3 để chọn kết quả đúng.
Khai thác bài toán:
Qua bài tập này học sinh có thể làm bài tập tơng tự. Với nghiệm của pt này
gấp k lần nghiệm của pt kia.
Bài tập 1: Cho các pt x
3
5x + k = 0 (1)
x

2
.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
d) Tìm m để pt có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
e) Tìm giá trị m của A = x
1
2
+ x
2
2
.
Phân tích tìm lời giải:
a) Ta có:

= (m 1)
2
(m 3) = m
2
2m + 1 m + 3 = m
2
3m + 4.
11


= (m -
2
3
)
2
+

x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
.
Theo viét :
1 2
1 2
2( 1)
. 3
x x m
x x m
+ =


=

thay vào ta có:

A = 2(m 1)
2
2 ( m 3) = 4(m

2

Từ (2) => m = x
1
.x
2
+ 3 thay vào (1) ta có
x
1
.x
2
= 2(x
1
.x
2
+ 3 1)


x
1
+ x
2
= 2(x
1
.x
2
+ 2)
Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là : x
1
+ x

(x
1
2x
2
)( x
2
- 2x
1
) = 0


x
1
.x
2
- 2x
1
2
2x
2
2
+4x
1
x
2
= 0


5x
1

9x
1
.x
2
- 2(x
1
+ x
2
)
2
= 0
Thay
1 2
1 2
2( 1)
. 3
x x m
x x m
+ =


=

vào ta có:
9(m 3) - 2
[
)1(2 m

+ x
2
2
= 4m
2
10m + 10
= ( 2m -
2
5
)
2
+
4
15
với mọi m
Vậy giả trị nhỏ nhất của A là
4
15
khi 2m -
2
15
= 0

m =
4
15
Khai thác bài toán :
Qua lời giải bài toán trên ta có thể đa ra một loạt các bài toán có tính chất t-
ơng tự nh :
Bài tập 1 : Gọi x

.x
2
3
+ x
1
3
.x
2
2
e) E =
21
xx
VI Dạng VI : Lập ph ơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm
Nếu x; y thỏa mãn x + y = S và x.y = P thì x, y là hai nghiệm cuả phơng trình :
X
2
- S X + P = 0
Bài toán 1: Lập một phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là: x
1
=
3 2+
và x
2
=
1
3 2+
Phân tích tìm lời giải :
Ta sử dụng tìm hai số khi biết tổng và tích vì thế ta có thể lập đợc phơng trình
bậc hai nhận hai số đó là nghiệm.
Ta có x

- 2
3
x + 1 = 0
Khai thác bài toán :
Để phát huy tính tích cực của học sinh, giáo viên thay đổi hoặc thêm một số yếu
tố khác để làm cho bài toán dễ hay khó đi, phù hợp với mức độ từng học sinh. Vì vậy
ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) ( a; c

0) có nghiệm x
1
; x
2

a, Lập phơng trình bậc hai nhận
1
1
x
và
2
1
x
là nghiệm
b, Tìm các hệ thức giữa a, b, c để x
1
2
+ x
2

( vì x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1)
Mặt khác
1
1
x
+
2
1
x
=
1 2
1 2
.
.
x x b a b
x x a c c
+
= =
Vậy
1
1
x
;
2
1
x

x
1
2
= 1 và x
2
2
= 1

x
1
=x
2
= 1 hoặc x
1
=x
2
= -1 hoặc x
1
+ x
2
= 0
và x
1
.x
2
= - 1
13
+ Nếu x
1
=x

+ Nếu x
1
+ x
2
= 0 hay b = 0 ; x
1
.x
2
= -1 hay c = 0
Khai thác bài toán :
Từ bài toán trên giáo viên có thể khai thác các dạng toán sau:
Bài tập 1: Tìm m và n để các phơng trình sau: x
2
mx + n + 1 = 0 và
( n+ 1)x
2
mx + 1= 0 đều có hai nghiệm phân biệt thoả mãn tổng bình phơng
các nghiệm của hai phơng trình đều bằng 4
Bài tập 2 : Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: x
2
(2m + 1)x + m = 0 . Hãy
lập một phơng trinh bậc hai nhận
1 2
1 2
1 1
,

2
= a x + b

x
2
- 2a x 2b = 0 (1)
Vì (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình (1) có nghiệm kép
hay

=0

a
2
+ 2b = 0 Do đó ta có
2
0
2 0
a b
a b
+ =


+ =


0
0
2
2
a

14
Xét một điểm M thuộc đờng thẳng y = - 0,25. Ta cần chứng minh qua điểm này
có hai đờng thẳng tiếp xúc với (P) và hai đờng thẳng này vuông góc với nhau.
Gọi M(m ; - 0,25) bất kì thuộc đờng thẳng y = - 0,25. Xét đờng thẳng (d) có ph-
ơng trình :y = ax + b đi qua M và tiếp xúc với (P). Ta có: ma + b = - 0,25
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình :
x
2
= a.x 0,25 ma

x
2
ax + ma + 0,25 = 0
Ta có

= a
2
4ma 1 .Để (d) tiếp xúc với (P)


= 0

a
2
4ma 1 = 0
(1)
Dễ thấy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt a
1
; a
2

(P) thông qua số nghiệm của phơng trình hoành độ giao điểm mà học sinh có thể làm
đợc nhiều dạng bài toán có liên quan đến (P) và đờng thẳng (d)
Bài tập 1: Cho (P) : y = x
2
. Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A của (P) song
song với đờng thẳng y = 4x + 5.
Bài tập 2 : Cho (P) y = x
2
. Gọi A, B là giao điểm của đờng thẳng y = mx + 2 với (P).
Tìm m để AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài tập 3 : Cho (P) y = - 0,5x
2
và đờng thẳng y = 0,5x + 3 (d)
a, Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d)
b, Tìm điểm M thuộc
ằ
AB
sao cho diện tích
AMN
lớn nhất.
VIII Dạng VIII . ứng dụng điêù kiện có nghiệm của ph ơng trinh bậc hai vào bài
toán tim cực trị
Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A =
2
2
1
1
x x
x x
+


( a 1 )x
2
+ ( a + 1)x + ( a 1 ) = 0 (2)
TH
1
: Nếu a = 1 thì phơng trình (2) có nghiệm x = 0
TH
2
: Nếu a

1 thì phơng trình (2) có nghiệm

0

( a + 1)
2
4( a -1)
2


0

( 3a 1).(a 3)

0
15

2
2 4
x mx n
x x
+ +
+ +
đạt GTLN bằng
1
3
và GTNN bằng 3
Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
A =
2
1
x
x +
B =
2
2
2 2
2 4
x x
x x
+
+ +
C Kết luận
- Quá trình nghiên cứu và tìm tòi việc dạy học toán cho học sinh nói chung và
học sinh THCS nói riêng là vô cùng quan trọng. Sau nhiều lần áp dụng kinh nghiệm tôi
thấy học sinh nắm bắt kiến thức tốt hơn , khả năng xử lí một bài toán của học sinh ở
mọi góc độ , mọi khía cạnh rất chặt chẽ t duy có chiều sâu.Điều này rất lợi cho việc