ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GVHD : Nguyễn Văn Phú
Lớp : BK10HTD Nhóm : 2
Trưởng nhóm : Phạm Hoàng Thái
TP. Hồ Chí Minh,ngày 05 tháng 12 năm 2011
Phương Pháp Tính
LỜI NÓI ĐẦU
Đầu tiên nhóm xin trân trọng gởi lời cảm ơn chân thành đến
giảng viên Nguyễn Văn Phú. Người đã tạo điều kiện để nhóm có
cơ hội rèn luyện bản thân và nắm vững kiến thức hơn thông qua
bài tập lớn.
Theo đà phát triển của máy tính điện tử, xu hướng mô hình hóa
và mô phỏng bằng máy tính đã trở thành một trong những kỹ thuật
chủ đạo của các ngành khoa học kỹ thuật và kinh tế. Điều này đòi
hỏi việc xây dựng những thuật toán đơn giản, hiệu quả, giải đến
kết quả bằng số các bài toán thực tế khác nhau. Đó cũng là mục
tiêu của môn học phương pháp tính giảng, dạy ở các trường đại
học kỹ thuật.
Bài tập lớn này dựa trên giáo trình môn phương pháp tính
được giảng dạy tại đại học bách khoa tp.HCM. Nó bao gồm cơ sở
lý thuyết, một số bài tập và bài giải được chúng tôi tổng hợp và
trình bày một cách ngắn gọn, súc tích nhưng đầy đủ các khái niệm
cốt lõi. Nó giúp sinh viên rèn luyện các kỹ năng tổng hợp các kiến
thức đã học, kỹ năng làm việc nhóm qua đó có thể trao đổi cũng
cố kiến thức của bản thân, rèn luyện tính tự chủ và tinh thần trách
nhiệm trong công việc.
Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên thiếu sót là điều không thể tránh
khỏi. Mong nhận được ý kiến đóng góp để nhóm có thể hoàn thiện

Được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
− Từ (1.1) => a-∆
a
≤A≤A+ ∆
a
(1.2)
Hay : A= a±∆
a
• Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là đại lượng δ
a
.Được tính
theo công thức:
δ = =
• Công thức tổng quát:
Ta có:y = f(x
1
,x
2
,…,x
n
)
Gọi , và x
i
,y
i
i= 1,2…n là các giá trị chính xác và giá trị gần đúng
của đối số và hàm số.Nếu f khả vi liên tục thì :
Vì liên tục và ∆
x
bé ,ta có :

− Bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng:
− Để làm tròn đến chữ số k sau dấu chấm thập phân , ta xét chữ số thứ
k+1 là α
k+1
, α
k+1
≥5,ta tăng α
k
lên một đơn vị.
α
k+1
< 5 giữ nguyên chữ số α
k
− Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số α
k+1
trở đi .Sai số thực của so với a
được gọi là sai số làm tròn.
Sai số tuyệt đối của so với A:
Phương Pháp Tính
Cho aA với sai số tuyệt đối ∆a được gọi là đáng tin nếu:
∆a≤
Ngược lại α
k
dược gọi là không đáng tin.

Bài Tập chương I
Bài tập 1: Cho a = 1.85 với sai số tương đối
a
=0.12%. Tính sai số tuyệt
đối của a.

− B
1
.Tìm tất cả các khoản cách ly nghiệm .
− B
2
.Trong từng khoản cách ly nghiệm tìm nghiệm gần đúng của phương
trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước.
Phương Pháp Tính
 Định lý 2.1
Nếu hàm f(x)liên tục trên đoạn và giá trị của hàm trái dấu tại 2 đầu
mút thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trên nếu f(x) đơn điệu thì
nghiệm là duy nhất.
Có 2 cách tìm khoảng cách ly nghiệm:
+ phương pháp giải tích.
+Phương pháp đồ thị.
 Định lý 2.2
Giả sử hàm f(x) liên tục trên khả vi trong . Nếu x* là nghiệm gần
đúng của nghiệm chính xác trong và ,. Thế thì ta có công thức đánh
giá sai số tổng quát sau đây:
II. Phương pháp chia đôi
Xét phương trình f(x)=0 có nghiệm chính xác trong khoản cách ly
nghiệm và f(a).f(b)<0.Ta đặt;
Tính giá trị f()
Nếu f(x
o
)= 0.Thì x
0
chính là nghiệm cần tìm:
− Nếu f(x
o

• Liên tục trên [a,b]
• Khả vi trong (a,b)
•
Thì g(x) là hàm co trên [a,b]với hệ số co là q.
 Định lý 2.5 (Nguyên lý ánh xạ co)
Phương Pháp Tính
Giả sử g(x)là hàm co trên đoạn [a,b] với hệ số co là q. Đồng thời ,
g (x) [a,b].Khi đó với mọi giá trị ban đầu trong [a,b) dãy lặp .Xác
định theo công thức : sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình
g(x)=x .Ta có công thức đánh giá sai số :
Hay:
IV. Phương pháp Newton (Phương pháp trực tiếp)
 Định lý 2.6
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm cấp (II) liên tục và các đạo hàm (x)
không thay đổi dấu trên [a,b].Nếu các đạo hàm cấp một và cấp hai
cùng dấu thì chọn x
o
= b ngược lại chọn x
o
= a.Khi đó nghiệm của
phương trình f(x) =0 được viết theo công thức :
Ta có công thức đánh giá sai số :
Với
V. Phương pháp dây cung
Cho phương trình f(x)= 0 .Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
f(x)= 0,giả sử f(x) liên tục trên khoảng cách ly nghiệm [a,b].
Đạo hàm cấp 2 liên tục f’(x),f’’(x) không đổi dấu và f’’(x) > 0 trên
[a,b].Khi đó nghiệm gần đúng được tính:
Phương Pháp Tính
Nếu f(a) > 0,ta xay dựng dãy lặp theo công thức:


*@%
A@%
Phương Pháp Tính

*@%
*đt : 
*đt :
G*/0%,11H203'43'5
?@%
I
J(
?@%

I
J(
Phương Pháp Tính
?@%

I
J(
?@%

I
J(
?@%

I
J(
Phương Pháp Tính

U=
A.X = B => LU.X = B
Phương Pháp Tính

a) Phương Pháp Doolittle.
Là ma trận L có đường chéo chính bằng 1.
Khi đó :
A = L.U với
L = và U =
Các phần tử của 2 ma trận L và U được xác định theo công thức
sau:
• U
1j
= a
1j
1
• L
i1
= 2
• U
ij
= a
ij
– (
• l
ij
= (a
ij
-
b) Phương Pháp Crout.

X
T
= [x
1
,x
2
,…….x
n
]
Phương Pháp Tính
X =
 Định lý 3.2
Một ma trận gọi là xác định dương tương đương tất cả các định
thức con chính của nó đều dương
 Định lý 3.3
Ma trận A là đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi tồn tại 1
ma trận B tam giác dưới,khả đảo sao cho A = B.B
T
.
• b
11
=
• b
i1
=
• b
ii
=
• b
ij

Phương Pháp Tính
Ta xây dựng dãy các vecto {x
(m)

theo công thức :
X
(m)
= T x
(m-1)
+C
 Định lý 3.4
Dãy các vecto {x
(m)
hội tụ tới khi m ∞ theo chuẩn thì điều kiện
cần và đủ là dãy {} hội tụ về , = 1,2,… n.
Bài Tập chương III
Câu 10: lặp lại bài tập 9 sử dụng phương pháp Gauss – Seidel
a)
b)
c)
d)

BÀI LÀM
a)
Phương pháp Gauss – Seidel
m || ||
∞

4 -0,76263 2,763 -0,2759 -2,25518 0,05765
Phương Pháp Tính
5 -0,7815 2,78039 -0,2667 -2,25334 0,01887
6 -0,7902 2,78842 -0,26246 -2,2525 0.00119
7 -0,79421 2,79212 -0,2605 -2,2521 0,00196
8 -0,79606 2,79383 -0,2596 -2,25192 0,00185
9 -0,797 2.79469 -0,25916 -2,25183 0,00076
Vậy :
69x
Phương pháp Gauss - seidel

Chọn
T
m ||
0 0 0 0 0
1 0,5 0,375 0,125 -0,125 0,5
2 0,625 0,375 0,125 -0,125 0,125
3 0,625 0,375 0.125 -0,125 0
Vậy:
= 0
Phương Pháp Tính
CHƯƠNG IV
ĐA THỨC NỘI SUY
Xét hàm số cho dưới dạng bảng
(4.1)
Trong đó n N
0
, x
k
,k = được gọi là các móc

, k= .
 Đa thức nội suy lagrange.
Xét hàm số y = f
(x)
được cho dưới dạng bảng (4.1) ,n 1.Xác định
đa thức lagrange L
n
(x) thỏa các điều kiện sau:
Bậc của L
n
(x) n
L
n
(x) = y
k
k = .
Để xác định đa thức nội suy lagrange , ta xác định các đa thức
phụ. (x) có bậc bằng n thỏa :
(xj) =
Khi đó ta có:
(x) =
Đa thức lagrange có dạng :
L
n
(x) = =
Đặt = (x –x
0
)(x –x
1
)… (x –x

0
–x
0
)(x
0
–x
2
) + (x
0
– x
0
)(x – x
1
)
Suy ra đa thức phụ có dạng =
Đa thức lagrenge có thể viết:
L
n
(x) = . =
Để tính giá trị của hàm số ta lập bảng sau:
X x
0
x
1
x
n
x
0
x
0

n
x
n
– x
1
x – x
n
x – x
n
D
n
=
Khi đó giá trị của đa thức lagrange:
L
n
(x) =
Với D
k
= : tích các phần tử nằm trên cùng 1 hàng
: tích các phần tử nằm trên đường chéo:
 Đa thức nội suy Newton
Giả sử hàm số y = f
(x)
được cho bởi số
x X
0
x
1
… x
k

]
f[x
k
,x
k+1
,….x
k+p
] =
 Xây dựng đa thức nội suy Newton
− Công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút x
0
= y
0
+ f[x
0
,x
1
](x – x
0
) + f[x
0
,x
1
,x
2
](x – x
0
)(x –x
1
) + f[x

n-1
,xn)(x – x
n-1
)(x –
x
n
) + f[x
0
,x
1
,….x
n
](x –x
1
)….(x – x
n
).
Xét hàm số y = f
(x)
trong đoạn [a,b] Khi đó các nút nội suy thỏa
mãn
A = x
0
< x
1
<……<x
n
= b
Phép chua như thế gọi là 1 phân hoạch đoạn [a,b],nếu độ dài của
mỗi đoạn [x