SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
A. T VN
I. Li m u:
Hỡnh hc khụng gian l mt mụn hc khú i vi hc sinh trung hc ph
thụng. ú l vỡ cỏc em nm khụng vng kin thc ca HHKG: H thng cỏc
nh ngha, nh lớ, tớnh cht ca cỏc i tng hỡnh hcNờn ng trc mt
bi toỏn HHKG cỏc em thng lỳng tỳng trong vic tỡm ra li gii, do thiu
phng phỏp .
Vi mc ớch:
+ Phõn dng bi tp v hỡnh hc khụng gian.
+ Cung cp mt cụng c, mt phng phỏp gii toỏn cho hc sinh.
+ Giỳp hc sinh thy c mi liờn h gia hỡnh hc v gii tớch.
+ Gõy hng thỳ hc tp mụn HHKG cho hc sinh, hc si nh khụng cũn
cm giỏc "s" HHKG.
Tụi chn ti: "PHN DNG V GII CC BI TON HèNH HC
KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TO "
II. Thc trng ca vn nghiờn cu:
Trờn thc t ng trc mt bi toỏn hỡnh hc khụng gian hc sinh
thng ngh ngay ti xem l bi toỏn ú cú th to hoỏ c hay khụng. Tuy
nhiờn cú mt s vn m cỏc em khú cú th gii quyt c ú l:
+ Mt bi toỏn nh th no thỡ cú th gii bng phng phỏp to .
+ Vic chn h trc to nh th no cho phự hp.
+ Cỏch chuyn bi toỏn t ngụn ng kỡnh hc khụng gian thun tuý sang ngụn
ng ca hỡnh hc gii tớch.
III. Kt qu ca thc trng:
Qua kim tra kho sỏt cht lng hc sinh ca lp 12A
2
khi cha ỏp dng
ti tụi thu c kt qu nh sau:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
1

( ) ( )
; ; ; '; '; 'a x y z b x y z
r r
ta cú:
* Tớch vụ hng ca hai vộc t:
nh lớ 2: Cho
( ) ( )
; ; ; '; '; 'a x y z b x y z
r r
ta cú:
H qu:
* nh lớ 3: Nu A(x; y; z); B(x'; y'; z') thỡ:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
3
( )
( )
( )
'; '; '
'; '; '
; ;
a b x x y y z z
a b x x y y z z
ka kx ky kz
+ = + + +
=
=
r r
r r
r
( )

r r
r
r r rr
rr
r r
r r
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
+) Nu im M chia on AB theo t s k (k 1) tc l:
MA kMB=
uuur uuur
thỡ to
im M c tớnh theo cụng thc:
' ' '
; ;
1 1 1
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k

= = =

nh ngha: Tớch cú hng ca hai vộc t:
y z x x y
; ; ;
y' z' z' x' x' y'
z
a b
g
2. ng dng ca tớch cú hng ca hai vộc t:

1
;
2
;
1
;
6

Diện tích hình bình hành ABCD: S
Thể tích tứ diện ABCD:
ABC
ABCD
ABCD
S AB AC
AB AC
V AB AC AD

===

V
Y

+) Cỏc quan h hỡnh hc (s bng nhau, vuụng gúc, song song, cựng
phng, im chia on thng theo t s cho trc)
+) Xem im l giao ca 2 ng thng, ca ng thng v mt phng
Bc 3: Chuyn bi toỏn t ngụn ng ca HHKG thun tuý sang ngụn ng ca
hỡnh hc gii tớch.
Bc 4: S dng cỏc kin thc v to gii quyt bi toỏn.
Cỏc dng toỏn thng gp:
* Cỏc bi toỏn nh lng nh:
- di on thng
- Khog cỏch t mt im n mt ng thng hoc mt mt phng
- Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau.
- Gúc gia hai ng thng
- Gúc gia ng thng v mt phng
- Gúc gia hai mt phng
- Th tớch cỏc khi a din
- Din tớch thit din
* Cỏc bi toỏn nh tớnh:
- Chng minh cỏc quan h song song, quan h vuụng gúc.
- Bi toỏn cc tr, qu tớch.
1. CC BI TON MANG TNH NH LNG:
1.1. Cỏc bi toỏn v khong cỏch:
* Khong cỏch gia hai im ( di on thng)
* Khong cỏch t mt im n mt ng thng
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
5
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
*Khong cỏch gia hai ng thng
Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a,
SA=a 3
v SA vuụng gúc vi ỏy.

tuyn ca mt
phng (SBC).
Phng trỡnh mt phng (SBC) l:
( ) ( ) ( )
3. 0. 0 1. 0 0
3 3 0
x a y z
x z a
+ + =
+ =
Khi ú khong cỏch t im A n
mt phng (SBC)
l:
( )
3
3
,
2
3 1
a
a
d A SBC

= =

+
b). To trng tõm G ca tam giỏc SAB l:
3
;0;
3 3

yE
C
B
x
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
x - y = 0
Khi ú khong cỏch t trng tõm G n mt phng (SAC) :
( )
2
3
;
6
2
a
a
d G SAC = =

* Nhn xột: Trong vớ d 1 chỳng ta thy c li th ca phng phỏp to
th hin rt rừ cõu 2. Nu bng phng phỏp hỡnh hc khụng gian thun tuý
thỡ vic xỏc nh hỡnh chiu vuụng gúc ca G trờn mt phng (SAC) l rt khú
khn.
Li th ú cũn th hin trong vớ d sau:
Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a,
SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SA = a. Gi E l trung im ca
cnh CD. Tớnh theo a khong cỏch t im S n ng thng BE.
Gii:
Chn h trc to sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a; 0); S(0; 0; a); (a>0) C(a; a; 0)
Vỡ E l trung im cnh CD nờn to im E l:
; ;0

Khong cỏch t im S n ng
thng BE l:
( )
2 2 2
;
4 4 3 5
;
5
5
SB u
a a a a
d S BE
u

+ +

= = =
uur r
r
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
7
z
S
A D
yE
C
B
x
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
* Mt trong cỏc bi toỏn thng s dng phng phỏp to ú l cỏc bi

1 2
; 4;0;0u u

=

ur uur
Khi ú khong cỏch gia 2 ng
thng AD' v B'C bng:
( )
1 2
1 2
;
4
'; '
;
u u AB
a
d AD B C a
a
u u



= = =ur uur uuur
ur uur
b) Ta cú:
( )


2x - y - 2z = 0.
Ta li cú:
3 3 3
AM MA
MA MD
MD
MD
= = =
uuur
uuur uuuur
uuuur
nờn im M chia on AD theo t s
k = -3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 3 .0 0 3 .2 0 3 .0
3
; ; 0; ;0
1 3 1 3 1 3 2
a
a
M M




Vỡ M, N l trung im ca cỏc
cnh BC v DD' nờn to ca M, N l:
; ;0 ; 0; ;
2 2
a a
M a N a

ữ ữ

Ta cú:
( )
; ;0BD a a
uuur
( )
1;1;0u
r
l 1 vộc t ch phng ca ng thng BD.
( )
; ; 2;1;1
2 2
a a
MN a v


ữ

uuuur r
l 1 vộc t ch phng ca ng thng MN.
( )
; 1;1;1 ; 0; ;0

3
2
;
6
3
;
a
u v BM
a
d BB MN
u v= =r r uuuur
r r
1.2. Cỏc bi toỏn v gúc:
Bao gm:
* Gúc gia 2 ng thng
* Gúc gia 2 mt phng
* Gúc gia ng thng v mt phng
Vớ d 5: Cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cú cnh bng a. Gi M l
trung im ca cnh B'C', N l trung im ca cnh CD.
a) Tớnh cosin gúc gia 2 ng thng AD v MN.
b) Tớnh gúc gia ng thng MN v mt phng (AB'C). T ú suy ra MN
song song vi mt phng (AB'C).
c) Tinh cosin gúc gia 2 mt phng (AMN) v (ABCD)
Gii: Chn h trc to sao cho:


l gúc gia MN v AD
( )
.
1
cos cos ;
6
u v
u v
u v

= = =
r r
r r
r r
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
10
z
y
x
N
M
A'
D'
B'
C'
C
B
D
A

r r
r r
T ú suy ra ng thng MN song song vi mt phng (AB'C).
c) Ta cú: A,B, C, D thuc mt phng z = 0 nờn mt phng (ABCD) cú 1 vộc t
phỏp tuyn l:
( )
0;0;1k
r
Li cú:
2 2
2
3
; ; ; ; ;0 ; ; ;
2 2 2 4
a a a a
AM a a AN a AM AN a



=
ữ
ữ ữ



uuuur uuur uuuur uuur
( )
4;2;3m
ur
l 1 vộc t phỏp tuyn ca mt phng (AMN)

M
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.

( ) ( )
2 2
;0;0 ; 0; ;0
2 2
0;0; ; 0
2
;0;0
2
2 2 2
;0; ; ; ;0
4 2 4 4
2 2
; ;
2 4 2
a a
A B
S m m
a
C
a m a a
M N
a a m
MN

ữ ữ

>

2
5 2
8
5 2 15 30
3
8 2 2
2 2 30 10
; ;
2 4 4 2
m
MN k
a m
a m a a
m m m
a a a a
MN MN
= =
+

+
= = =
ữ =
ữ

uuuur r
uuuur
Ta cú:

u i


= = =
r r
Vớ d 7: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn, cnh huyn
AB =
4 2
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
12
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
cnh bờn
( )
SC ABC
v SC = 2. Gi M l trung im ca cnh AC, N l
trung im ca cnh AB.
a) Tớnh s o gúc gia 2 ng thng SM v CN
b) Tớnh di on vuụng gúc chung ca SM v CN.
Gii:
Ta cú: AC = BC = 4
Chn h trc to Cxyz Sao cho:
C(0; 0; 0); S(0; 0; 2); A(4; 0; 0); B(0; 4; 0)
a) Vỡ M , N l trung im ca AC v AB nờn
M(2; 0; 0); N(2; 2; 0)
( ) ( )
( )
( )
ẳ
( )
0

2 3
3
4 3
SM CN CS
h
SM CN
SM CN SM CN
h=
= =

= =
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
* Khụng phi lỳc no bi toỏn cng cho sn mt gúc tam din vuụng m ụi
khi ngi gii phi t xỏc nh. Khi ú vic xỏc nh h trc to khú khn
hn nhiu. Nh trong vớ d sau:
Vớ d 8: Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc cõn AB
= AC = a, gúc BAC bng 120
0
; BB= a. Gi I l trung im ca CC.
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
13
C

2
2 2 2
.sin 30
2
3
.cos30
2
3
; ;0
2 2
' ; 3; 0; 3;
2
3 3
' ; ; ; ; ;
2 2 2 2 2
3
. 0
4 4 2
a
BA AA AB
a
BA AB
a a
A
a
C o a a I a
a a a a a
AB a AI
a a a
AB AI

ữ

ữ

uuuur uur
( )
3 3;1;2 3n
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABI)
vộc t
( )
0;0;1k
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABC)
Gi

l gúc gia hai mt phng (ABI) v (ABC). Khi ú:
( )
2 3
.
3
cos cos ,
10
40
n k
n k
n k

= = = =
r r

ABCD
ABCD
S AB AC
AB AC
V AB AC AD

===

Diện tích hình bình hành ABCD: S
Thể tích tứ diện ABCD:
V
Y
uur uuur
g
uur uuur
g
uur uuur uuur
g
g
Trong mt phng (P) cho mt a giỏc cú din tớch S, hỡnh chiu ca a
giỏc ú lờn mt phng (Q) l mt a giỏc cú din tớch S'. Khi ú:
S' = S.cos

(




= = =

= =
Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B(a: 0; 0); D(0; a; 0);
A'(0; 0; a); (a>0)
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
15
A
C
B
y
D
D'
A'
z
B'
C'
x
P
N
M
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
3
0; ;0 ; ; ;0 ; ;0;
2 2 4
a a a

1; 1; 2n
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (MNP).
( )
0;0;1k
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABCD)
( )
.
2
6
cos cos ,
3
6
n k
n k
n k


= = = =
r r
r r
r r
Suy ra din tớch thit din l: S =
2
7 6
16
a
Vớ d 10: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng ti A; AB = 3;
AC = 6, SA = 9 v SA vuụng gúc vi (ABC). Gi M, N, P, Q ln lt l trng

y
S
z
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
2. CC BI TON NH TNH:
2.1. Cỏc bi tp chng minh:
Bao gm:
+ Chng minh cỏc quan h song song
+ Chng minh cỏc quan h vuụng gúc
Vớ d 11: Cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cú cnh bng a. Gi M, N
theo th t l trung im ca cỏc cnh BC v DD'. Chng minh rng:
a)
( )
' 'AC A BD
b)
( )
'MN A BDP
Gii:
Chn h trc to sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0);
D(0; a; 0); A'(0; 0; a) ; (a> 0)
D'(0; a; a); C(a; a; 0), C'(a; a; a)
Vỡ M, N l trung im ca cỏc
cnh BC v DD'
nờn to ca M, N l:
; ;0 ; 0; ;
2 2
a a
M a N a


( ) ( )
( )
2 2 2
' ;0; ; ' 0; ;
' ; ' ; ;
A B a a A D a a
A B A D a a a =

uuur uuuur
uuur uuuur
( )
1;1;1n
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (A'BD)
Nhn xột:
' .AC a n=
uuur r

'; nAC
uuur r
l 2 vộc t cung phng.
T ú suy ra
( )
' 'AC A BD
b)
* chng minh
( )


uuur r
P
Vớ d 12: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a,
SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Gi M, N theo th t thuc cỏc cnh
BC, DC sao cho:
3
;
2 4
a a
BM DN= =
. Chng minh rng hai mt phng (SAM)
v (SMN) vuụng gúc vi nhau.
Gii:
* chng minh hai mt phng vuụng gúc vi nhau ta chng minh 2 vộc t
phỏp tuyn ca chung vuụng gúc vi nhau.
Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; o; 0); D( 0; a; 0)
S(0; 0; b) vi a, b > 0
Vỡ:
3
;
2 4
a a
BM DN= =
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
18
M
z
S

=
ữuuur uur
uuur uur
( )
1; 2;0n
r
l mt vộc t
phỏp tuyn ca mt phng (SAM).
Li cú:

2
3
; ; ; ; ;
2 4
5
; ; ;
2 4 8
a a
SM a b SN a b
ab ab a
SM SN


ữ ữ

S S S S+ + =
V V V V
Gii:
Gi s: OA = a; OB = b; OC = c
Chn h trc to Oxyz sao cho:
A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c)
Ta cú:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
19
O
z
C
A
x
B
y
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;
; ;0 ; ;0;
; ; ;
OA a OB b OC c
AB a b AC a c
AB AC bc ac ab =


sin cos ;
sin sin sin 1
bc
n i
ab bc ca
ac
n j
ab bc ca
ac
n k
ab bc ca
ab bc ca
ab bc ca




= =
+ +
= =
+ +
= =
+ +
+ +
+ + = =
+ +
r r
r r
r r
( ) ( ) ( )

V
V V V
uur uuur
2.2. Cỏc bi toỏn qu tớch:
Vớ d 14: Cho hỡnh tr cú hai ỏy l hai ng trũn tõm O v O', bỏn kớnh
bng R , chiu cao hỡnh tr bng h. Trờn hai ng trũn (O) v (O') cú hai
im di ng A, B . Gi I, K theo th t l trung im ca OO' v AB.
a) CMR IK l ng vuụng gúc chung ca OO' v AB.
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
20
y
A
x
O
O'
z
B
K I
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
b) Tớnh di IK trong cỏc trng hp:
1) AB = k.h, vi
2
2
4
1 1
R
k
h
< < +
2)

I K
ổ ử
ổ ử
+ +
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố ứ
ố ứ
a) Ta cú:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
' 0;0; ; ; ; ; ; ;0
2 2
. ' 0
'
. 0
A B A B
B A B A
B B A A

b) Ta cú:
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
1
2
2 2 4
1 1
2 2
4 2
A B A B
A A B B A B A B
A B A B A B A B
x x y y
IK x y x y x x y y
R x x y y R x x y y
+ +


= + = + + + + + =
ữ ữ



= + + = + +



= + + = +
( )
2 2
2
1
4
k h
IK R

= +
Khi ú qu tớch im K thuc ng trũn (C) tõm I bỏn kớnh IK nm trong mt
phng vuụng gúc vi OO' ti I.
2) Khi
( )
, 'OA O B

=
uur uuur
ta c:
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
cos cos
1
cos cos
2 2

22
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
b) Gi M l im trờn cnh SA, t AM = x
( )
0 x a
. Tớnh di ng cao
DE ca tam giỏc BDM theo a v x. Xỏc nh x DE cú di ln nht, nh
nht?
Gii:
Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B( 0; a; 0); D(m; 0; 0) (m > 0)
S(0; 0; a).
Khi ú: C(2a; a; 0).
a) Ta cú:
( ) ( )
; ;0 ; 2 ; ;BD m a SC a a a
uuur uuur
Vỡ SC

BD nờn:
2
. 0
2 0
2
BD SC BD SC
a
am a m
=
= =
uuur uuur uuuruuur

ữ

uuuur uuur
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
23
z
S
y
B
C
x
E
D
A
M
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
AX AX
2 2
2
2 2
AX
ax
; ax; ; ; 5
2 2 2
5 4


= = +
ữ


+
= =
+ +

=
ữ
+

=

=
ữ
+

=
uuur uuuur uuur uuuur
0 M A
Vớ d 16: Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú cỏc cnh u bng
a. Ly E, F theo th t thuc BC v AC sao cho EF// (ABBA). Tỡm giỏ tr
nh nht ca di on thng EF.
Gii: Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); A(0; 0; a)
( )
3 3
; ;0 ; ' ;0; ; ' ; ;

Vỡ
( )
' ; 3; 2E A C E u u a u
Phng trỡnh ng thng BC:
( )
3; ;0
2
2
' ; 3; 2
x a v
a
y v v
z v
F BC F a v v v
= +

=

ữ

=

+
Vỡ EF// (ABBA) nờn

5 5 5
5
5
5

5
EF Ay EF Ay u v v u
EF a v u v u u v a
a u u a u au a
a a a
u
a
EF
a
Min EF
= + = =
= + + + + =
= + = + =

= +
ữ =
uuur uur uuuruur
C. KT LUN
I. Kt qu:
Sau khi ỏp dng phng phỏp ny cho hc sinh lp 12 A
2
, tụi thu c