Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.

Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
MỞ ĐẦU
1/ Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay có rất nhiều bài toán có tham số liên
quan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đó xuất hiện nhiều và đa dạng các bài
toán “Tìm điều kiện để một phương trình có nghiệm, có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,
bốn nghiệm …”. Đây thực chất là các bài toán so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai
với một số thực
α
, nếu xem xét các dạng toán này theo quan điểm, chương trình bộ sách giáo
khoa cũ thì các em học sinh không khó để có thể giải quyết bởi vì trong chương trình sách giáo
khoa cũ lớp 10, các em được trang bị đầy đủ nội dung các định lý thuận, đảo về dấu tam thức
bậc 2 và các hệ quả. Nhưng hiện nay theo bộ sách giáo khoa mới đang phát hành thì phần kiến
thức liên quan tới định lý đảo và các hệ quả đã được giảm tải. Đứng trước vấn đề “Không có
công cụ đó thì cần tìm hướng nào để bằng kiến thức các em đang được học trong sách giáo
khoa các em vẫn có thể giải được các dạng toán đó?”. Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm
tòi, phát hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán, và hơn nữa là góp phần nâng cao
chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng định lý Vi-et giải
một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số”. hoctoancapba.com
2 /Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :
I. Phần mở đầu.
II. Nội dung đề tài.
A. Cơ sở lý thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu.
B. Bài tập vận dụng.
C. Bài tập thực hành.
III. Kết quả và bài học kinh nghiệm.

Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .

 Nếu
0∆ >
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− − ∆ − + ∆
= =
c) Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.
 Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn
x R
∈
:
( ) ( )
2
ax 0 1 0bx c a+ + = ≠
có hai
nghiệm
1 2
,x x
thì
1 2 1 2
, .
b c
S x x P x x
a a
−


.
 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm
0
0
0
P
S
∆ ≥


⇔ >


<

.
2) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng
toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh
nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực
α
, ta sẽ biến đổi để đưa về so sánh
nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0.
Bài toán 1. Cho phương trình:
( ) ( )
2
ax 0 1 0,bx c a x R+ + = ≠ ∈

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:

t x x t
α α
= − ⇒ = +
, thay vào pt (1) ta được pt:
( ) ( )
2 2
2 0 2at a b t a b c
α α α
+ + + + + =
a) Để phương trình (1) có nghiệm
x
α
≥

⇔
pt (2) có nghiệm
0t ≥
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0 0t t P≤ ≤ ⇔ ≤
.
 TH 2 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0
0 0
0
t t P
S
∆ ≥



≤

c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa
1 2
x x
α
< < ⇔
pt (2) có 2 nghiệm
1 2
0 0t t P< < ⇔ <
.
d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa
1 2
x x
α
< < ⇔
pt (2) có 2 nghiệm
1 2
0
0 0
0
t t P
S
∆ >


< < ⇔ >



2
1 2 1 2
2
2 4 , . ,
a b
a b c
a b a a b c P t t S t t
a a
α
α α
α α α
− +
+ +
∆ = + − + + = = = + =
)
Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm của
một tam thức bậc 2 với số thực
α
, và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải
quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng
kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo khoa. hoctoancapba.com
Bài toán 2. Cho phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1x a x b x c x d k+ + + + =
với
a c b d+ = +
.
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

2 2 2
a c
a c a c
t ac bd t ac bd k
 
   
+
+ +
   
+ + − + − − − =
 
   
 ÷  ÷
   
   
 
   
 
a) Phương trình (1) có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm
0t ≥
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0 0t t P≤ ≤ ⇔ ≤
.
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0

c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:
1 2
0
0 0
0
t t P
S
∆ >


= < ⇔ =


>

.
d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:
1 2
0
0 0
0
t t P
S
∆ >



4 3 2
ax 0 1 0bx cx bx a a+ + + + = ≠
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương.
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm.
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
• Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia cả hai vế phương trình (1) cho
2
0x ≠
, ta được:

( )
2
1 1
2 0 2a x b x c a
x x
   
+ + + + − =
 ÷  ÷
   
(Thông thường tới đây học sinh sẽ đặt
( )
1
2t x t
x
= + ≥
, khi đó nhận được phương trình
2
2 0at bt c a+ + − =

 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2
0
0 0
0
t t P
S
∆ ≥


≤ ≤ ⇔ ≥


≥

b) Vì
0x <
, đặt
( )
1
2 0t x t
x
= + + ≤
suy ra
1
2x t
x
+ = +
, thay vào phương trình (2) được:


, hoặc phương
trình (4) có nghiệm
0t
≤
. (Đây chính là kết quả tổng hợp của phần a và b).
d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau;
 TH1 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:
1
1 2 1
1
0
0 0
0
t t P
S
∆ >


< < ⇔ >


>


 TH2 : Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa:
2
1 2 2
2
0
0 0

2 2
ax ax 0 1 0; 0bx c bx c a
α β γ α
+ + + + + + = ≠ ≠
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm. hoctoan capba.com
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải.
• Xét a > 0 (với a < 0, làm tương tự)
• Ta có
2
2
2
2
4
2 4
b b ac
ax bx c a x
a a
 
−
 
+ + = + −
 
 ÷
 
 
 
nên đặt
2

2 2
2 0t k t k k
α β α α β γ
+ − + − + =
(3)
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm
0t ≥

 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0 0t t P≤ ≤ ⇔ ≤
.
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0
0 0
0
t t P
S
∆ ≥


≤ ≤ ⇔ ≥


≥

b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa
1 2

t t
S
∆ =

< = ⇔

>

(Trong đó
∆
là biệt thức của pt (3),
1 2 1 2
, .S t t P t t= + =
)
Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt
2
axt bx c= + +
với điều kiện
( )
2
4
4
b ac
t
a
− −
≥
nếu a > 0,
( )
2

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
• ĐK
x R∈
.
• Đặt
( )
2
0t x t
α α
= + − ≥
suy ra
( )
2
2
x t
α α
= + −
, thay vào pt (1) ta được phương trình:

( )
( )
2
2 0 2at a b t b c
α α
+ + + + =
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm
0t
≥
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm


>

c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0
0 0
0
t t P
S
∆ >


< = ⇔ =


<

.
 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0
0
0
t t
S
∆ =

= = ⇔

ax 1bx c x
α
+ + = −

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
• Phương trình (1)
( ) ( )
2
2
0
ax 2
x
bx c x
α
α
− ≥


⇔

+ + = −


• Đặt
t x
α
= −

0
a
t t
P
≠

≤ ≤ ⇔

≤

.
 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2
1
0
0
0
0
a
t t
P
S
≠


∆ ≥

≤ ≤ ⇔

≥

1a =
, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm
0
t
và giải bất phương trình
0
0t ≥
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2
1
0
0
a
t t
P
≠

< < ⇔

<

.
 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2
1
0
0
0
0
a


(Trong đó
∆
là biệt thức của phương trình (3),
1 2 1 2
, .S t t P t t= + =
)
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
Nhận xét: Dạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và những
bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều
đưa ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực
α
. Song với cách giải
như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0.
Bài toán 7.Cho phương trình:
( )
( ) ( )
2
log log 1
a a
x x x b
α β γ
+ + = −
với
0 1a
< ≠
.
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm
0t
>
 TH1 : Xét
0
α
=
, thay vào pt (3) tìm nghiệm
0
t
và giải bất phương trình
0
0t >
.
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2
0
0
0
t t
P
α
≠

< < ⇔

<

 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2

S
α
≠


∆ >

= < ⇔

=


>

b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm
1 2
0
0
0
0
0
t t
P
S
α
≠


∆ >


< < ⇔

<

.
 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2
0
0
0
0
0
t t
P
S
α
≠


∆ >

= < ⇔

=


>

Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
 TH4 : Phương trình (3) có nghiệm

1 2
1x x< <
.
d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
1 2
1x x< <
.
Giải.
• Đặt
1 1t x x t= − ⇒ = +
, thay vào pt (1) ta được phương trình:
( ) ( )
2 2
2 1 3 2 0 2t m t m m+ − + − + =
a) Để phương trình (1) có nghiệm
1x
≥

⇔
phương trình (2) có nghiệm
0t ≥
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 0 3 2 0 1 2t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
.
 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm :
2
1 2
1 0


≥


  
≥ − ≥
≤




• Kết luận: với
[
)
1;m∈ +∞
thì phương trình (1) có nghiệm
1x ≥
.
b) Để phương trình (1) có nghiệm
1x
≤

⇔
phương trình (2) có nghiệm
0t ≤
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 0 3 2 0 1 2t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
.

1 2
1x x< < ⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm:

2
1 2
0 3 2 0 1 2t t m m m< < ⇔ − + < ⇔ < <
.
• Kết luận: với
1 2m
< <
thì phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
1x x< <
d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa
1 2
1x x< < ⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm:

2
1 2
1 0
' 0
0 0 3 2 0
0 1 0
m
t t P m m
S m
− >


α
đã được giảm
tải trong sách giáo khoa.
Bài 2. Cho phương trình:
( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 3 2 1x x m x m x m m− + − − − = +
, với tham số
0m
≥
.
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải.
• Ta biến đổi phương trình (1)
( ) ( )
( )
2 2
2 2 1 3 5 2x mx x mx m m⇔ − − + − = −

• Đặt
( )
2
2 0t x mx m t= − + ≥
, thay vào phương trình (2) ta được phương trình:

( ) ( )
2



 
≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ ≤
 
 
≥

> −


• Kết luận: Với
)
6 55;m

∈ − + +∞

thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
5
0 0 5 2 0
2
t t P m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ >
.
 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm:

2
1 2

+ >



> −

.
• Kết luận: Với
{ }
5
; 6 55
2
m
 
∈ +∞ ∪ − +
 ÷
 
thì phương trình (1) có 2 nghiệm.
c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:
2
1 2
0 12 19 0
5
0 0 5 2 0
2
0 1 0
m m
t t P m m

t t P m m
S m

∆ > + − >



< < ⇔ > ⇔ − > ⇔ − + < <
 
 
> + >


• Kết luận: với
5
6 55;
2
m
 
∈ − +
 ÷
 
thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình:
( )
( )
4 3 2 2
2 3 4 2 1 0 1x mx m m x mx− + − + − + =
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.

x
+ = +
, thay vào phương trình (2) được:
( )
2 2
2 2 7 6 0t m t m m− − + − + =
(3).
• Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm
0t ≥
. Xét 2 trường
hợp:
 TH1 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
0 7 6 0 1 6t t m m m≤ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
.
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
3 2 0
' 0
0 0 7 6 0 6
0 2 0
m
t t P m m m
S m
− ≥

∆ ≥


(4)
• Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm
0t ≤
. Xét 2 trường
hợp:
 TH1 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
0 6 0t t m m≤ ≤ ⇔ + + ≤
(vô nghiệm).
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
3 2 0
' 0
0 0 6 0
0 2 0
m
t t P m m
S m
− ≥

∆ ≥



≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ + + ≥
 
 
≤ + ≤

 
 
− >
>


 TH2 : Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa:

2
2
1 2 2
2
3 2 0
0
0 0 6 0
2 0
0
m
t t P m m
m
S
− >

∆ >



< < ⇔ > ⇔ + + >
 
 


(vô nghiệm)
• Kết luận: Với
6m >
thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình
( ) ( )
( )
2
2 2
x 2 2 x 2 3 0 1x m x m− − − + + =
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải
• Đặt
2
2 1t x x= − +
khi đó
0t ≥
, suy ra
2
2 1x x t− = −
. Thay vào phương trình (1) ta được
phương trình sau:
( ) ( )
2
2 1 4 0 2t m t m− + + + =

a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm

.
• Kết luận: với
(
]
1 13
; 4 ;
2
m
 
− +
∈ −∞ − ∪ +∞
÷

÷
 
thì phương trình (1) có nghiệm.
b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:

2
1 2
0 3 0
1 13
0 0 4 0
2
0 1 0
m m
t t P m m
S m

∆ > + − >

.
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
0 0 4 0 4t t P m m< < ⇔ < ⇔ + < ⇔ < −
.
 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0
3 0
1 13
0
0
2
1 0
m m
t t m
S
m
∆ =

+ − =

− +
< = ⇔ ⇔ ⇔ =
 
>
+ >



• Đặt
( )
2
1 1 0t x t= + − ≥
suy ra
( )
2
2
1 1x t= + −
, thay vào phương trình (1) ta được phương
trình:
( ) ( )
2
2 3 2 0 2t m t m− − + + =
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm
0t
≥
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
1 2
2
0 0 3 2 0
3
t t P m m
−
≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
.
 TH2 : Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 16 4 0

thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:

2
1 2
0 16 4 0
0 0 3 2 0 8 68
0 2 0
m m
t t P m m
S m

∆ > − − >



< < ⇔ > ⇔ + > ⇔ > +
 
 
> − >


• Kết luận: Với
( )
8 68;m∈ + +∞
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
 TH1 : Phương trình (2) có nghiệm
2
1 2

t t
S
m
∆ =

− − =

= = ⇔ ⇔
 
=
− =


(vô nghiệm)
• Kết luận: với
2
3
m
−
=
thì pt (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Cho phương trình:
( ) ( )
2 2
2x 2 1 1 1m x m m x− + + + = −

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.

 TH1 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
0 0 0 0 1t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
.
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
1 0
' 0
0 0 0 1
0 1 0
m
t t P m m m
S m
− ≥

∆ ≥



≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ =
 
 
≥ − ≥


.
• Kết luận: Với

 TH1 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
0 0 0 0 1t t P m m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < <
.
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
1 0
0
0 0 0 0
0 1 0
m
t t P m m m
S m
− >

∆ >



< = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
 
 
< − <


.
 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm
1 2

( )
( ) ( )
2 2
2 3 2 3
log 2 3 1 log 1 2x mx m m x m
+ +
+ + + − = − +
• Phương trình (2)
( ) ( )
2 2
1 0
2 1 4 2 0 3
x m
x m x m m
− + >


⇔

+ − + + − =


• Đặt
1 1t x m x t m
= − + ⇒ = + −
, vì
1 0x m
− + >
nên ta suy ra điều kiện
0t

m
S m

− + ≥
∆ ≥



< ≤


< ≤ ⇔ > ⇔ − > ⇔
 

 
<
> − >



.
 TH3 : Phương trình (3) có nghiệm
2
2
1 2
4 20 9 0
0
0
0 0 4 0
1

m
 
∈ −∞


 
thì phương trình (1) có nghiệm.
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm :
2
2
1 2
4 20 9 0
0
1 1
0 0 4 0
4 2
0
0 3 4 0
m m
m
t t P m m
m
S m

− + >
∆ >




0 0 4 0 0
4
t t P m m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < <
.
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
2
2
1 2
4 20 9 0
0
0
0 0 4 0
1
0 3 4 0
4
m m
m
t t P m m
m
S m

− + >
∆ >

=




= < ⇔ = ⇔ − = ⇔

m


=




∆ =

− + =



< = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
=
  

>
− >





<


• Kết luận: Với
1 1

= − ≥
, khi đó
2
1
2 2
x
t
+
= +
, thay vào phương trình (1) ta được phương trình:

( ) ( )
2 2
2 2 1 11 0 2t m t m m− − + − =
a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (2) có nghiệm
0t ≥
.
 TH1 : Phương trình (3) có nghiệm
2
1 2
0 0 11 0 0 11t t P m m m≤ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
.
 TH2 : Phương trình (3) có nghiệm
2
2
1 2
3 7 1 0
' 0
0 0 11 0 11
0 2 1 0

1 2
0
3 7 1 0
0
0
2 1 0
m m
t t
S
m
∆ =

+ + =

< = ⇔ ⇔
 
>
− >


(vô nghiệm)
• Kết luận: Với
( )
0;11m∈
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa:
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.

2
2

1x
≤ −
.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa:
1 2
1 x x− < ≤
.
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa:
1 2
1x x< − <
.
d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
( )
1;x∈ − +∞
.
Bài 2. Cho phương trình:
( ) ( ) ( )
4 3 2
2 1 3 2 2 1 1 0 (1)x m x m x m x− + + − − + + =
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.
d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.
Bài 3. Cho phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 2 1 1x x x x m− − − − = −
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
d) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

2 2
5 2 5 2
log 2 3 2 3 4 log 2 1 0 1x m x m m x m
+ −
 
− + + + − + − + =
 
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 8. Cho phương trình:
( ) ( )
2
2
1
1 2
2
3 2 1 3 3 0 1
x
x
m m m
+
+
− + + − =
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
KẾT QUẢ
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trường THPT, tôi

2005 – 2006 1 3 2 4
2006 – 2007 10 01 0 0
2007 – 2008 1 9 0 1
2008 – 2009 1 5 3 1
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
2009 – 2010 1 9 0 0
BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà
nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới
phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực
hiện một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự
rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp
giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công
tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy
và học. Từ những nhận thức đó, hàng năm tôi đều chọn một đề tài thiết thực phục vụ cho công
tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp
phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và
học được tốt hơn. Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh đều
ngại và lúng túng khi gặp các bài toán có chứa tham số, bên cạnh đó việc sách giáo khoa lớp 10
đã giảm tải phần định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, nên khi gặp các dạng toán
trong chuyên đề này đã trình bày các em cảm thấy lúng túng, nhất là các em học sinh lớp 10,
ngay cả các em học sinh lớp 12 khi đã được trang bị công cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn.
Từ thực tế đó nhằm giúp các em học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi học toán, biết cách vận
dụng, khai thác một số dạng toán có chứa tham số, quy lạ về quen nên tôi viết sáng kiến kinh
nghiệm:
“ Ứng dụng định lý Vi-et giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2” .
Rất mong sự góp ý của quý thầy, cô.
Ứng dụng định lý Viet giải một số dạng toán có chứa tham số về phương trình bậc 2 – quy về bậc 2.
TÀI LIỆU THAM KHẢO