MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1 3
CHUẨN HỢP NHẤT 3
1.1. Tập mờ, Logic mờ 3
1.1.1. Khái niệm tập mờ 3
1.1.2. Logic mờ và một số phép toán cơ bản của logic mờ 6
1.1.3. Hàm chuyển 18
1.2. Chuẩn hợp nhất 19
1.2.1. Chuẩn hợp nhất 19
1.2.2. Tính chất của toán tử hợp chuẩn nhất: 20
1.2.3 Chuẩn hợp nhất Umax , Umin 22
1.2.4. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 25
1.2.4. Chuẩn hợp nhất biểu diễn 31
CHƯƠNG 2 35
PHÉP KÉO THEO 35
2.1 Phép kéo theo 35
2.1.1. Định nghĩa phép kéo theo 35
2.1.2. Các dạng hàm kéo theo định nghĩa bằng các hàm t-chuẩn, t-đối chuẩn
và phủ định : 35
2.2 Phép kéo theo (U,N) 36
2.3 Phép kéo theo RU 38
2.4 Phép kéo theo QL 44
2.5 Phép kéo theo D 50
CHƯƠNG 3 53
ỨNG DỤNG CỦA CHUẨN HỢP NHẤT 53
TRONG ĐIỀU KHIỂN MỜ 53
3.1. Chuẩn hợp nhất lũy đẳng 53
3.2. Quá trình điều khiển với yếu tố mờ, không chắc chắn 54
3.3. Biến ngôn ngữ 56
3.4. Cấu trúc cơ bản 57

+ Lớp chuẩn hợp nhất dạng U
min
, U
max
+ Lớp chuẩn hợp nhất lũy đẳng.
+ Lớp chuẩn hợp nhất biểu diễn và Lớp chuẩn hợp nhất liên tục.
Chương 2, Phép kéo theo . Nội chính là ứng dụng của toán tử chuẩn hợp
nhất trong việc xậy các phép kéo theo sau :
+ Phép kéo theo (U,N)
1
+ Phép keo theo RU
+ Phép kéo theo QL
+ Phép kéo theo
Chương 3, Ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong Điều khiển mờ : Nội
dung chính là : ứng dụng của chuẩn hợp nhất trong việc xác định giá trị của luật hợp
thành trong điều khiển mờ.
Do thời gian có hạn và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô giáo để
hoàn thiện hơn bản luận văn của mình.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin
học đã hướng dẫn chúng em trong thời gian học tập tại trường. Em xin cảm ơn
PGS.TSKH Bùi Công Cường đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành bài luận văn này.
2
CHƯƠNG 1
CHUẨN HỢP NHẤT
1.1. Tập mờ, Logic mờ
1.1.1. Khái niệm tập mờ
a. Định nghĩa tập mờ
* Định nghĩa 1.1.1:
Tập mờ A trên tập kinh điển X là tập mà mỗi phần tử của nó là một cặp

Cho không gian nền X = [0, 200] là tập chỉ các tốc độ của xe ôtô (đơn vị là
km/h).
Xét tập mờ A = ”Những tốc độ được coi là nhanh ” xác định bởi hàm thuộc
A
µ
như đồ thị sau:

3
1
0.85
0.5
10040 60 80
X
A
µ
120
+ Ví dụ 1.1.2 : Vết vân tay của tội phạm trên hiện trường là một ví dụ về tập mờ
được cho trong hình sau:

Hình 1: Để cho gọn, ta kí hiệu độ thuộc là A(x) thay cho
( )
A
x
µ
.
Ta cũng kí hiệu A={(
( )
A
x
µ

A
A
x m x x
x m x x
x x
µ µ µ
µ µ µ
µ µ
∪
∩
= ∈
= ∈
= − ∈
* Định nghĩa 1.3: Cho
, ( )A B F X∈
. Ta nói:

A B⊆
nếu
( ) ( )
A B
x x
µ µ
≤
với mọi
x X∈

A B⊇
nếu
( ) ( )

( ) 0.7
A
x
µ
=

* Mệnh đề 1.1.1: Cho
, , ( )A B C F X∈
. Ta có các tính chất sau:
a) Giao hoán:
;A B B A A B B A∪ = ∪ ∩ = ∩
b) Kết hợp:
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
c) Lũy đẳng:
;A A A A A A∪ = ∩ =
d) Phân phối:
( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
e)
A
φ φ
∩ =
và
A X X∪ =
f) Đồng nhất:
A A
φ

( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

Đặt:
1 2
( ), ( )D A B C D A B C= ∪ ∪ = ∪ ∪
Lấy x tùy ý, cố định.Ta sẽ chỉ rõ rằng:
1 2
( ) ( )
D D
x x
µ µ
=
Kí hiệu
( ), ( ), ( )
A B C
a x b x c x
µ µ µ
= = =
Do x cố định, như vậy ứng với véc tơ (a, b, c) ta chỉ cần xét 6 trường hợp và được
cho trong bảng sau:
( )( )B C x∪
1
( )D x
( )( )A C x∪
2
( )D x
a b c
≤ ≤
c c c c
a c b≤ ≤

, Q, Q
1
…là những mệnh đề.
Với mỗi mệnh đề P
∈
P , ta gán một giá trị v(P) là giá trị chân lí của mệnh đề.
Logic cổ điển đề nghị v(P) =1 nếu P là đúng, v(P) = 0 nếu P là sai.
Trên P chúng ta xác định trước tiên 3 phép toán cơ bản và rất trực quan:
- Phép tuyển: P OR Q, kí hiệu là
P Q∨
, đó là mệnh đề “hoặc P hoặc Q”
- Phép hội: P AND Q, kí hiệu là
P Q∧
, đó là mệnh đề “vừa P vừa Q”
- Phép phủ định: NOT P , kí hiệu là
P¬
, đó là mệnh đề “không P”.
Dựa vào 3 phép toán logic cơ bản này, người ta đã định nghĩa nhiều phép toán
khác, nhưng quan trọng nhất là phép kéo theo (implication), kí hiệu là
P Q⇒
.
* Định nghĩa 1.1.4:
Khi sử dụng các liên kết logic: phép tuyển, phép hội, phép phủ định, phép
kéo theo và phép tương đương (
⇔
), giá trị chân lí của mệnh đề hệ quả được
xác định phụ thuộc vào giá trị chân lí của các mệnh đề gốc P, Q cho trong
6
bảng sau:
P Q

P Q⇒
( )P P Q∧ ⇒
( ( ))P P Q Q∧ ⇒ ⇒
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh.
* Mệnh đề 1.1.3: Luật Modus tollens:
(( ) )P Q Q P⇒ ∧¬ ⇒ ¬
luôn đúng trong
logic cổ điển.
Chứng minh: Ta chỉ cần tính giá trị chân lí của
(( ) )P Q Q P⇒ ∧ ¬ ⇒ ¬
.
Thật vậy:
P Q
P¬
Q¬
P Q⇒
( )P Q Q⇒ ∧¬
(( ) )P Q Q P⇒ ∧ ¬ ⇒ ¬
1 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1
7

Từ bảng chân lí trên ta có điều phải chứng minh.
Ta có thể lí giải luật modus ponens làm ví dụ. Luật này có thể giải thích như sau:

- Hàm phủ định thường dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh
- Hàm n(x) = 1-x
2
. Đây là một phủ định chặt nhưng không mạnh.
- Họ phủ định(Sugeno)
1
( ) , 1
1
x
N x
x
λ
λ
λ
−
= > −
+
. Với họ Sugeno này ta có mệnh
8
đề sau:
* Mệnh đề 1.1.4: Với mỗi
1
λ
> −
,
( )N x
λ
là một phủ định mạnh.
Chứng minh:
Thật vậy, do

≤ ≤
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho
Ω
là không gian nền, một tập mờ A
trên
Ω
tương ứng với hàm thuộc A:
[0,1]Ω →
.
* Định nghĩa 1.1.7: Cho n là hàm phủ định , phần bù
C
A
của tập mờ A là một
tập mờ với hàm thuộc cho bởi
( ) ( ( ))
C
A a n A a=
, với mỗi
a ∈Ω
.
Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1.1 là trường hợp riêng khi n(x)
là hàm phủ định thường dùng.
b. Phép hội
Phép hội( conjunction) là một trong mấy phép toán logic cơ bản nhất. Thông
thường ta xét mấy tiên đề sau:
TĐ 1: v(P
1
AND P

1
AND P
3
)
≤
v(P
2
AND P
3
), với mọi mệnh đề P
3
TĐ5: Kết hợp: v(P
1
AND (P
2
AND P
3
)) = v((P
1
AND P
2
)AND P
3
)
* Định nghĩa 1.1.8: Hàm T: [0, 1]
2

→
[0, 1] là một t-chuẩn (t-norm) nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:

4
( , )
2 ( )
xy
T x y
x y xy
=
− + −
5) t-chuẩn Lukasiewicz: T
L
(x, y) = max{x+y-1,0}
6) t-chuẩn yếu nhất:
min( , ) ax(x, y) =1
( , )
0 khi ax(x, y) <1
x y khi m
Z x y
m

=


* Tính chất của t-chuẩn:
+ Mệnh đề 1.1.5: Với mỗi t- chuẩn T thì:

1
( , ) ( , ) ( , ) min( , )Z x y T x y T x y x y≤ ≤ =
với mọi
0 , 1x y≤ ≤
.

là Archimed vì
2
4
2
( , )
2 (2 )
a
T a a
a a
=
− −
và do:
2 2
2 2
2
2 2 ( 1) 1 1
2 (2 ) 1
a a
a a a a
a a
− + = − + > ⇒ < <
− −
10
Vậy T
4
(a,a) < a với mọi
(0,1)a ∈
.
2) T
3

0
0.5
1
y
x
z
Hàm T
L
(x, y) = max{x+y-1,0}:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.5
1
y
x
z
c. Phép tuyển
Cũng như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR (disjunction) thông
thường thỏa mãn các tiên đề sau:
* Định nghĩa 1.1.10: Hàm S: [0, 1]

3 1
ax( , ) =1
( , ) ax (x,y)=
1 khi 1
m x y khi x y
S x y m
x y
+

=

+ ≠

5)
4
ax( , ) min( , ) 0
( , )
1 khi min( , ) 0
m x y khi x y
S x y
x y
=

=

≠

Các hàm này đều là các t-đối chuẩn.
* Đồ thị của một số hàm t-đối chuẩn:
S

0.6
0.8
1
0
0.5
1
y
x
z

* Tính chất của t-đối chuẩn:
+ Định lí 1.1.1: Với S là một t-đối chuẩn bất kì thì bất đẳng thức sau luôn
đúng với mọi
, [0,1]x y ∈
:

0 4
) ( , ) ( , ) ( , )a S x y S x y S x y≤ ≤

0 1 2 4
)b S S S S≤ ≤ ≤
Chứng minh:
a) Khi x = 1, ta có: S(1,y) = 1, S
0
(1,y) = max(1,y) =1 = S
4
(x,y).
Khi y = 1, tương tự: S
0
(x,1) = S(x,1) = S

(0, ) ( , )y S y S y x= <
.
Do đó
0 4
( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y< <
Vậy,
, [0,1]x y∀ ∈
thì
0 4
( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y≤ ≤
.
b) Phần a) ta đã chứng minh được rằng
0 4
( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y≤ ≤
Bây giờ ta phải chứng minh:
0 1 2 4
S S S S≤ ≤ ≤
và
0 2 3 4
S S S S≤ ≤ ≤
13
1
( , )S x y x y xy
= + −
- Chứng minh
0 1
S S≤
:
+Xét
x y≥

+ Xét
1x y+ ≤
. Khi đó S
2
(x,y) = x+y.Thấy
0 , 1x y≤ ≤
suy ra

1 1 (1 ) (1 )x x y y x x y x y− ≤ ⇒ − ≤ ⇒ + − ≤ +
Vậy,
1 2
( , ) ( , )S x y S x y
≤
+ Xét
1x y+ >
, khi đó S2(x,y) = 1.
Do
, [0,1] (1-x)(1-y) 0 x+y-1 xy 1x y x y xy∈ ⇒ ≥ ⇔ ≤ ⇔ + − ≤
Vậy,
1 2
( , ) ( , )S x y S x y≤
Do đó
, [0,1]x y∀ ∈
luôn có
1 2
( , ) ( , )S x y S x y≤
.
- Chứng minh
2 4
S S≤

0 1 2 4
( , ) ( , ) ( , ) ( , )S x y S x y S x y S x y≤ ≤ ≤
* Định nghĩa 1.1.11: Cho S là t-đối chuẩn. Khi ấy:
a) S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]
2
.
b) Hàm S gọi là Archimed nếu S(x,x) > x với mọi 0< x< 1.
c) S gọi là chặt nếu S tăng chặt trên (0,1)
2
.
14
* Ví dụ 1.1.8: S
1
(x,y) = x+y-xy là chặt vì:
Giả sử x
1
< x
2
, ta có: S
1
(x
1
,y) = x
1
+y-x
1
y < x
2
+y-x
2

, nên t-đối chuẩn S là liên tục. Hơn
thế nữa, ta luôn có S
0
= max(x,y) = x
S
2
(x,y) = min{1,x+y} là Archimed vì S
2
(x,x) = min{1,x+x} = min{1,2x} > x.
* Một số toán tử có liên quan: Phép toán giao, hợp của hai tập mờ suy rộng.
Bộ ba De Morgan:
+ Phép giao của hai tập mờ:
Định nghĩa 1.1.12: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền X với hàm
thuộc tương ứng là A(x), B(x). Cho T là một t-chuẩn.
Ứng với t-chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A và B là một tập mờ
T
A B∩
trên X
với hàm thuộc cho bởi:
( )( ) ( ( ), ( )),
T
A B x T A x B x x X
∩ = ∀ ∈
Việc lựa chọn phép giao, tương ứng với t_chuẩn T nào tùy thuộc bài toán ta quan tâm.
* Ví dụ 1.1.9: Cho U là không gian nền, U=[0,120] là thời gian sống.
A={Những người ở tuổi trung niên}; B={Những người ở tuổi thang niên} ;
Khi đó hợp của hai tập A, B với T(x,y)=min(x,y) và T(x,y)=xy. Chúng ta biểu
diễn trên hình vẽ như sau:

15 20 25 30 35


( )
( )
C C C
C C C
A B A B
A B A B
∪ = ∩
∩ = ∪
- Trong lí thuyết tập hợp, luật De Morgan nói trên đã được sử dụng nhiều nơi. Có
nhiều dạng suy rộng hai đẳng thức này. Sau đây là một dạng suy rộng cho logic mờ:
- Định nghĩa 1.1.14: Cho T là một t-chuẩn, S là một t-đối chuẩn, n là một phép
phủ định mạnh. Ta nói bộ ba (T, S, n) là một bộ ba De Morgan nếu thỏa mãn một
trong hai đẳng thức sau:
S(x,y) = n(T(n(x),n(y))
15 20 25 30 35
40 45 50 55
1
U
Dạng Max S(x,y)=max(x,y)
15 20 25 30 35
40 45 50 55
1
U
Dạng S(x,y)=min(1,x+y)
16
Hay T(x,y) = n(S(n(x),n(y))
Khi ấy ta nói T và S đối ngẫu với nhau.
- Định lí 1.1.2. (Quan hệ đối ngẫu giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn) :
Cho n là một phép phủ định mạnh. Khi đó :

n(S(n(u),n(v)
Hay T(x,y)
≤
T(u,v) với
;x u y v≤ ≤
.
+) CM T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z).
Thật vậy T(x,T(y,z)) = n(S(n(x),n(T(y,z))) = n(S(n(x),S(n(y),n(z))))
= n(S(S(n(x),n(y)),n(z))))
= n(S(n(T(x,y)),n(z))) = T(T(x,y),z)
Vậy, T(x,y) là một t-chuẩn.

17
- Ví dụ 1.1.11 về một số cặp đối ngẫu cụ thể :
Chọn n =1- x ta có một số cặp đối ngẫu sau :
T(x,y) S(x,y)
min(x,y) max(x,y)
xy x + y – xy
Max{x+y-1,0} min{x+y,1}
0
min( , ) ê 1
min ( , )
0 ê 1
x y n u x y
x y
n u x y
+ >

=


x y n u x y
Z x y
n u x y
=

=

≠

1.1.3. Hàm chuyển
Bổ đề 1.1.1: Giả sử ánh xạ
ba ]1,0[],[: →
ψ
là một đẳng cấu tăng; F: [0,1]
2

→
[0,1] là toán tử hai ngôi. Toán tử F
ψ
: [a,b]
2

→
[a,b] được xác định bởi công
thức: F
ψ
(x,y)=
ψ
-1
(F(

Ví dụ 1.2.12: N(x)=1-x với mọi x
∈
[0,1] là hàm phủ định mạnh vậy N
ϕ
(x)=
ϕ
-
1
(1-
ϕ
(x))(2) với mọi x
∈
[0,1] cũng là hàm phủ định mạnh.
18
1.2. Chuẩn hợp nhất
1.2.1. Chuẩn hợp nhất
Như ta đa biết với t_chuẩn và t_đối chuẩn ta có:
+ Một t-chuẩn T là một ánh xạ T: [0,1]x[0,1]
→
[0,1] có các tính chất sau:

(1) ( , ) ( , )T x y T y x
=
(Tính chất giao hoán)

(2) ( , ) ( ', ') '; 'T x y T x y khi x x y y
≥ ≥ ≥
(Tính đơn điệu)

(3) ( , ( , )) ( ( , ), )T x T y z T T x y z

+ t_đối chuẩn có tính chất : S(x,0)=x (có phần tử trung hòa là 0)
- Vậy chúng ta có thể gộp 2 toán tử hai ngôi này để xây dựng toán toán tử hai
ngôi kết hợp. Toán tử hai ngôi kết hợp mới này gọi là chuẩn hợp nhất có 3 tính chất
đầu giống như 3 tính của t_chuẩn và t_đối chuẩn và có phần tử trung hòa là e
∈
[0,1] .
Định nghĩa 1.2.1: Một chuẩn hợp nhất là một ánh xạ U: [0,1]x[0,1]
→
[0,1] có
các tính chất sau: với mọi x,y,z
∈
[0,1]
(1) U(x,y)=U(y,x) (Tính chất giao hoán)
19
(2) Nếu x
1
≤ x
2
, y
1
≤ y
2
thì U(x
1
,y
1
) ≤ U(x
2
,y
2



= + <


+ >

là chuẩn hợp nhất có phần tử trung hòa là e.
1.2.2. Tính chất của toán tử hợp chuẩn nhất:
+ Tính chất 1.2.1: Khi e = 1 thì U là t_chuẩn, e=0 thì U là t_đối chuẩn.

+ Tính chất 1.2.2: Tồn tại một luật Morgan đối ngẫu cho toán tử chuẩn hợp nhất .
Tức là:
Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e. Khi đó toán tử U’
được xác định:
'( , ) 1 ( , )U x y U x y
= −
trong đó
( ) 1x N x x
= = −
cũng là một chuẩn
hợp nhất với phần tử trung hòa là
1e e
= −
.
Chứng minh
- Tính giao hoán: Điều này suy trực tiếp từ tính giao hoán của U.
- Tính đơn điệu theo từng biến:
+ Giả sử
'x x

'( , ) 1 ( , ) 1U x e U x e x x
= − = − =
. Do đó
e
là phần
tử trung hòa.
+ Tính chất 1.2.3:
Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e. Khi đó:
1.Với x bất kì và mọi y> e ta có :
( , )U x y x
≥
2. Với bất kì và mọi y < e ta có :
( , )U x y x
≤
Chứng minh :
Từ tính chất của phần tử trung hòa ta nhận được : U(x,e) = y. Xét U(x,y) :
- Nếu y > e thì từ tính chất đơn điệu ta có:
( , ) ( , )U x y U x e x
≥ =
-Tương tự nếu y<e thì lại từ tính chất đơn điệu ta có:
( , ) ( , )U x y U x e x
≤ =
(ĐPCM)
+ Tính chất 1.2.4: Giả sử U là một chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e.
Khi đó:
1. U(x,0) = 0 với
x e
∀ ≤
2. U(x,1) = 1 với
x e

Định lý 1.2.1: Cho hai đẳng cấu tăng
φ
e
: [0,e]
→
[0,1],
ϕ
e
: [e,1]
→
[0,1] và Toán
tử hai ngôi U. U là chuẩn hợp nhất với phần tử trung hòa e
∈
(0,1) nếu và chỉ nếu
tồn tại một t-chuẩn T và t-đối chuẩn S sao cho U được cho bởi:
( )
( )
* 1 2
* 1 2
( , ) ( ( ), ( ) ) ( , ) [0,e]
( , ) ( , ) (S ( ); ( ) ) ( , ) [e,1]
*( , ) khác di
e e e
e e e
T x y T x y khi x y
U x y S x y x y khi x y
U x y
φ φ φ
ϕ ϕ ϕ
−

T x y U x y
ϕ
=
suy ra: U có các tính : giao hoán, tăng theo từng biến, kết hợp
khi và chỉ khi T
U
cũng có các tính giao hoán, tăng theo từng biến, kết hợp và
φ
e
(0)=0,
φ
e
(e)=1 suy ra U(x,e)=x khi và chỉ khi T
U
(x,1)=x. Vậy U là chuẩn hợp nhất
khi và chỉ khi T
U
là một t_chuẩn.
- Xét trên miền [e,1]
2
: ánh xạ
ϕ
e
: [e,1]
→
[0,1] là đẳng cấu tăng. Đặt
( , ) ( , )
e
U
S x y U x y

tính chất của U giống như tính chất của t_đối chuẩn.
+ Các trường hợp còn lại thì: min(x,y) ≤ U(x,y) ≤ max(x,y)
22
Ngược lại U là toán tử hai ngôi thỏa mãn công thức (1.1) rõ ràng U là hợp chuẩn
nhất có phần tử trung hòa là e.
Cho hai đẳng cấu tăng sau:
+
φ
e
: [0,e]
→
[0,1] với
e
x
x
e
=)(
φ
:
φ
e
(0)=0,
φ
e
(e)=1.
e
eyexU
yxUyxT
e
U

ϕ
.
ϕ
e
(e)=0,
ϕ
e
(1)=1
e
eyeexeeU
yxUyxS
e
U
−
−−+−+
==
1
))1(,)1((
),(),(
ϕ

và
*
x-e y-e
U(x,y)=S (x,y)=e+(1-e)S ;
1-e 1-e
U
 
 ÷
 

 ÷
 




(1.2)
Với U* là hợp chuẩn nhất thỏa mãn điều kiện: min(x,y)≤U*(x,y)≤max(x,y)
với mọi (x,y)
∈
[0,e)x(e,1]
∪
(e,1]x[0,e).
Ta ký hiệu Hợp chuẩn nhất có công thức (1.2) là U=(T,S,e)
23
e
1
e
1
T
*
U*
S
*
U*
0