KHI NÀO NGHĨ ĐẾN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ?
TS. Lê Thống Nhất
Đạo hàm là một khái niệm rất quan trọng của Giải tích lớp 12. Trong các đề thi
tuyển sinh Đại học và Cao đẳng thường xuyên xuất hiện các bài toán được giải nhờ ứng
dụng đạo hàm. Bài viết này giúp các bạn nắm vững các loại toán sử dụng đạo hàm như là
một công cụ hữu hiệu.
1. Xét nghiệm phương trình.
Trong các bài toán về nghiệm của phương trình mà tham số độc lập với ẩn hoặc
biến đổi phương trình, đặt ẩn phụ để đạt được điều này thì các bạn hãy nghĩ đến việc sử
dụng đạo hàm.
Thí dụ 1.1. (Khối A – 2008)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:
4
4
2 2 2 6 2 6
+ + − + − =
x x x x m
Giải:
Gọi vế trái là f(x) thì tập xác định của f(x) là x
∈
[0 ; 6]. Ta có:
f’(x) =
( )
3 3
4
4
1 1 1 1
2 6
2 2
2 6
x x

Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm
4
2 6 2 6 m 3 2 6⇔ + ≤ < +
Thí dụ 1.2. (Khối A – 2007)Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = −
Giải:
Có thể thấy phương trình có dạng đẳng cấp bậc hai. Với điều kiện x
≥
1, chia hai vế cho
x 1
+
> 0 ta được phương trình tương đương:
4
x 1 x 1
3 m 2
x 1 x 1
− −
+ =
+ +
Đặt
4 4
x 1 2
t 1
x 1 x 1
−
= = −
+ +
, ta có 0

Chứng minh với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực
phân biệt:
x
2
+ 2x – 8 =
m(x 2)−
Giải.
Điều kiện căn thức có nghĩa x
≥
2. Khi đó bình phương hai vế ta có:
(x
2
+ 2x – 8)
2
= m(x – 2)
⇔
(x – 2) [(x – 2) (x + 4)
2
– m ] = 0
⇔
2
x 2
(x 2)(x 4) m (*)
=


− + =


Xét f(x) = (x – 2) (x + 4)

+
. Ta xét bảng biến thiên của y với x
∈
[-1; 2]
Từ đó, với x
∈
[-1 ; 2] thì y đạt giá trị lớn nhất là
2
(khi x = 1) và đạt giá trị nhỏ nhất là 0
(khi x = -1)
Thí dụ 2.2. (Khối B – 2003)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x +
2
4 x−
Giải. Tập xác định là x
∈
[-2 ; 2]
Ta có: y’ = 1 -
2
x
4 x−
=
2
2
4 x x
4 x
− −
−
. Vì y’ =0
2

Do đó ta có bảng biến thiên
x
−∞

2−

2

2

+∞
y
’
+ 0 -
y

2 2

2−

2

Suy ra
[ ]
x 2;2
max y 2 2
∈ −
=
và
[ ]


1−

0

1

+∞
y
’
+ 0 -
y

2

2

2
1

Từ đó t
2;2
 
∈
 
(nhiều bạn chỉ đặt điều kiện t
≥
0 là sai).
Khi đó: t
2

∈
 
.
Vì y’ = t + 1 > 0,
t 2;2
 
∀ ∈
 
nên y đạt giá trị lớn nhất là 3 ( t =2) và giá trị nhỏ nhất là
2
( t
=
2
)
3. Chứng minh bất đẳng thức.
Có khá nhiều dạng bất đẳng thức có thể chứng minh bằng công cụ đạo hàm.
Thí dụ 3.1. (khối A – 2003)
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z
1
≤
. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
+ + + + + ≥
.
Giải. Xét :
1 1 1

3
3 xyz≥
1 1 1
x y z
+ + ≥
3 .
3
1
xyz
Do đó: A
≥
9
9t
t
+
với t =
( )
2
3
xyz
, trong đó : 0 < t
≤
2
x y z
3
+ +
 
 ÷
 
1

+ +
 ÷
 
= 81 ( x + y + z)
2
+
2
1 1 1
x y z
 
+ +
 ÷
 
- 80 ( x + y + z)
2
( )
2
2
2
1 1 1
2 81(x y z) . 80 x y z
x y z
 
≥ + + + + − + +
 ÷
 
2
1 1 1
18(x y z) 80(x y z)
x y z

1
x. ln x
x
x
−
=
2
1 ln x
x
−
Ta có với x > e thì lnx > 1 nên f’(x) < 0. Do đó f(x) nghịch biến với x > e. Vì 2009 > 2008
> e nên
f(2009) < f(2008)
⇔

ln2009 ln 2008
2009 2008
<

⇔
2008 ln2009 < 2009 . ln 2008
⇔
ln(2009
2008
)< ln
(2008
2009
)
⇔
2008

≥
xy + yz + zx nên:
2 2 2
x 1 y 1 z 1
P
2 x 2 y 2 z
     
≥ + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
.
Xét f(t) =
2
t 1
2 t
+
với t > 0. Từ đó đánh giá từng biểu thức ta có điều phải chứng minh.
2. Xét chiều biến thiên của hàm số f(x) =
tan x
x
với
x 0;
2
π
 
∈
 ÷
 
. Từ đó so sánh 10tan 9