Lời cảm ơn
Trong quá trình hoàn thành khóa luận em đã nhận được sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn giảng viên Khoa Toán- Lý- Tin
trường Đại học Tây Bắc, cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn phương pháp
dạy học môn toán, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của
các bạn sinh viên lớp K50- Đại học sư phạm Toán trường Đại học Tây Bắc.
Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo dạy
toán, các em học sinh trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình.
Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban chủ nhiệm Khoa Toán- Lý-
Tin, các phòng ban, thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn
thành được khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2013
TÁC GIẢ
Bùi Thị Ngọc


Phương pháp dạy học
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1

2. Mục đích nghiên cứu 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc của khóa luận 2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Cơ sở lý luận 4


. Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu. Vị trí tương đối của các điểm cực
đại, cực tiểu 29

2.5.1. Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu 29
2.5.2. Vị trí các điểm cực đại, cực tiểu 32
2.6. Ứng dụng của đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 37
bậc 2/ bậc 1 37
2.6.1. Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 37
2.6.2. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước 39
2.6.3. Bài toán 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 43
2.7. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất 47

2.8. Ứng dụng và tính chất của đồ thị 52
2.8.1.Biện luận phương trình bằng đồ thị 52
2.8.2. Tương giao của đồ thị hàm bậc hai trên bậc nhất 56
2.8.3. Bài tập về điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị và bài tập về họ đường cong tiếp
xúc với đường cố định 58
CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 62
3.1. Mục đích thực nghiệm 62

3.2. Nội dung thực nghiệm 62

3.3. Phương pháp thực nghiệm 62

3.4. Đối tượng thực nghiệm 62

3.5. Tổ chức thực nghiệm 62

3.6. Phân tích và đánh giá thực nghiệm 63


Trong chương trình toán phổ thông các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm
để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán
có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao theo hướng phân loại
phương pháp giải” luôn được quan tâm và là nội dung được dành nhiều thời
gian. Các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của đồ
thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan” rất đa dạng và
cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình môn toán của ban nâng cao ở
trường THPT.
Trong thực tế, đa số các học sinh chưa vận dụng được các ứng dụng của
đạo hàm vào khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan.
Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan: viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện
luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…còn khó khăn
và xa lạ đối với các em hoặc còn biết sơ sài về cách tính. Để giúp các em giải
được các bài toán ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán có liên quan một
cách dễ dàng và nhanh chóng em tiến hành nghiên cứu và đưa ra một số phương
pháp giải cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao về ứng dụng của đạo hàm vào
khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan.

2

Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan. Vì vậy
em chọn khóa luận “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng
bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong
chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải ”.
Mong rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo để học sinh nắm rõ hơn về ứng dụng
của đạo hàm để khảo sát hàm bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan,
từ đó giúp học sinh linh hoạt hơn trong việc lựa chọn phương pháp giải tối ưu
cho các bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các
điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối

Chương 2: Một số dạng toán về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số
bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

trong quá trình dạy học. Phát triển năng lực trí tuệ, linh hoạt trong việc sử dụng
công thức tính đạo hàm một cách phù hợp.
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những nội dung dạy học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo tri thức
nhất định cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác.
Những bài tập toán còn là phương tiện cài đặt nội dung để làm hoàn chỉnh
hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.

5

Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang hoạt
động để người học học những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích
cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập và trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học. Đảm bào trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập
là phương diện đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập
trình độ phát triển của học sinh. Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay
nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy học giải bài tập ta cần chú ý đến những điểm sau:
Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình.
Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thức.
Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
Thực hiện các bước tìm tòi lời giải.
Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập.
b. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự hay mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Kết luận: Phương pháp chung để giải bài toán không phải là thuật toán giải bài
toán. Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được vận dụng được
phương pháp chung để giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ
gặp trong chương trình. Học phương pháp chung để giải bài toán mang tính chất
tìm tòi phát hiện. Nói chung cách thức dạy học sinh mang phương pháp chung
để giải bài toán như sau:
Thông qua việc giải những bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để học sinh
nắm được phương pháp chung gồm 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này
trong quá trình giải toán.
Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, phải đặt ra cho học sinh
những câu hỏi gợi ý đúng để học sinh dần dần biết sử dụng những phương tiện
này như những phương tiện kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để
thực hiện từng bước phương pháp chung giải bài toán.
Những câu hỏi lúc đầu là do giáo viên đưa ra để hỗ trợ học sinh nhưng dần
biến thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh đưa ra đúng lúc, đúng
chỗ để gợi ý từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá
trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán
của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương
pháp chung giải toán đi tới cách giải cụ thể một bài toán cụ thể là cả một chặng
đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố
sáng tạo.
c. Các yêu cầu đối với lời giải toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học trước hết cần nắm vững các yêu
cầu của lời giải bài toán. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng, ngắn gọn dễ
hiểu cụ thể là:
Yêu cầu 1: Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian

7

Hàm số
 
y fx

TXĐ:
DR

+
 
y fx
đồng biến trên khoảng
 
;ab

 
 
12
;x x a b  
ta có
   
12
f x f x

+
 
y fx
nghịch biến trên khoảng
 
;ab


;ab
+ Điều kiện cần và đủ để
 
y fx
nghịch biến trên khoảng
 
;ab

'
( ) 0fx
,
 
 
;x a b
đồng thời
'
( ) 0fx
chỉ cần xảy ra tại một số hữu hạn điểm
( , )ab
+ Nếu
()fx

đồng biến trên
 
;ab

thì
   
;;
( ) ( ), ax ( ) ( )

 
'
fx
đổi dấu (+) thành (

)

0
x
là điểm cực đại
+ Nếu qua điểm tới hạn

0
x
,
 
'
fx
đổi dấu (

) thành (+)

0
x
là điểm cực tiểu
Minh họa:
x





Quy tắc tìm cực trị:
+Tìm TXĐ
+Tính đạo hàm
+Tìm các điểm tới hạn. Giải phương trình
'
0y 

+Xét sự đổi dấu của
'
y

+Kết luận
- Dấu hiệu II:
Định lý:

 
y f x
có đạo hàm liên tục tới cấp II tại

0
x

+Nếu
 
 
'
0
''
0


()fx CT 9

+Nếu
 
 
'
0
''
0
0
0
fx
fx








0
x

y f x
mx n



với
2
,0
0
am
nn
a b c
mm





   
  
   

   


 
  
 
 
2

,xx

 
gx
có hai nghiệm phân biệt khác
'
0
0
g
n
n
m
g
m














+Kỹ năng tính nhanh cực trị


 
'
00
0
'
00
u x u x
yx
v x v x


Chứng minh
 
       
 
''
' 0 0 0 0
0
2
0
u x v x v x u x
yx
vx



         
' ' '
0 0 0 0 0
00y x u x v x v x u x   

'
0
0
g
n
g
m











khi đó
 
0gx
hay
 
'
0yx
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx

Đồng thời hàm số









 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'
11
1
11
'
11
'
22
2
22
'
22

ax b
y
v x m m
  

d. Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu. Vị trí tương đối của các điểm
cực đại, cực tiểu
Hàm số
 
2
ax bx c
y f x
mx n



với

2
,0
0
am
nn
a b c
mm









thì
 
 
 
 
 
'
00
0
'
00
u x u x
yx
v x v x



Áp dụng: Giả sử
'
0
0
g
n
g
m



 
2
u x ax bx c
v x mx n

  





do
 
 
'
1
'
2
0
0
yx
yx









v x v x m
u x u x
ax b
y y x
v x v x m


   






   




Hệ quả:
     
1 2 1 2
2
2 2 2 4
CĐ CT
a b bm an
y x y x xyy x
m m m

     

  


e. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số bậc hai trên bậc nhất
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Cho đồ thị
   
:C y f x
và điểm
 
 
0 0 0
;M x y C
. Viết phương trình tiếp
tuyến của
 
C
tại
 
0 0 0
;M x y

 Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Cho đồ thị
 
C
:
 
y f x
và một số

có hệ phương trình:
   
 
'
f x k x a b
f x k
  







có nghiệm
    
'
f x f x x a b   
(*)
Giải phương trình (*) suy ra nghiệm
 
0
; ; ; ;
in
x x x x

Phương trình tiếp tuyến tại
i
xx


Nắm được các bước khảo sát hàm số
Nắm được phương pháp làm các bài toán có liên quan.
Về kỹ năng: Biết cách khảo sát hàm số
Biết vận dụng các kiến thức đã học để làm các bài toán có liên quan
1.2.3. Những điều cần lưu ý khi giảng dạy học ứng dụng của đạo hàm để
khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan
a. Cần cho học sinh thấy được những vấn đề nghiên cứu về “ứng dụng của đạo
hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan”:
viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị,
biện luận phương trình bằng đồ thị…
Việc khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan cần sử dụng kiến thức đạo
hàm ở lớp 11 và kiến thức trong hình phẳng ở lớp 10.
b. Việc khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan trong
SGK chỉ được giới thiệu tổng quát mà chưa đi sâu vào vấn đề cụ thể. Vì đối với
học sinh các bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích
các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị… còn khó khăn và yêu cầu
các kiến thức ở lớp 10 và lớp 11.
Học sinh phải được rèn luyện trong các trường hợp khác nhau đều đưa về
các dạng bài tập cơ bản.

13

c. Phương pháp giảng dạy.
Cần cho học sinh thấy rằng để làm được các bài tập ứng dụng của đạo hàm
để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cần phải
thành thạo các thao tác: 6 bước khảo sát hàm số, sử dụng các tính chất của đạo
hàm, sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song
song….
1.3. Điều tra thực trạng dạy và học: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất
và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao.

Nhân
15
7
6
2

15

4
11 Nhận xét: Qua bảng điều tra ta thấy phần lớn giáo viên được đào tạo chính quy
chuẩn đại học, có tuổi nghề còn trẻ đa số giáo viên dạy khá, giỏi. Một số giáo
viên đã có thâm niên lâu năm nên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, do đó
về trình tự các bước lên lớp và phương pháp giảng dạy bộ môn đều nắm vững.
Tuy nhiên tuổi nghề giáo viên còn trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy,
vì vậy chất lượng đào tạo còn chưa cao.
Bảng 2: Đánh giá về nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm
số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan ”

Trường
Số
lượng
Nội dung
chương trình
Mức độ kiến thức
Khả năng vận dụng
vào giảng bài tập
của học sinh

cho ban nâng cao là tương đối phù hợp, phân bố hợp lý, mức độ kiến thức trong
chương trình là tương đối phù hợp với học sinh.
Bảng 3:

Nội dung
Tần suất
(%)
Chức năng của giáo
viên khi dạy học
bài tập toán
Giải bài tập cho học sinh chép
20
Hướng dẫn học sinh giải bài tập
50
Tạo câu hỏi kích thích tư duy học sinh
20
Phương pháp khác
10
Việc vận dụng PPDH
giải bài tập toán vào
dạy học kiến thức ứng
dụng của đạo hàm để
khảo sát hàm số dạng
bậc hai trên bậc nhất
và các bài toán có liên
quan đối với giáo viên
Khó
30
Bình thường
40

3

của trường
THPT Hưng Nhân – Thái Bình. Bảng 1:
Trường
Lớp
Tổng
số
Học lực
Giỏi
Khá
TB
Yếu
kém
THPT
Hưng Nhân
12
1


42
5
33
3

12
1


12
2


12
3


Độ khó của
môn toán
Rất khó
12
14
17
Khó
15
13
18
Bình thường
12
8
7
Dễ
3
5
4

trên bậc nhất
và các bài toán
có liên quan”
Vận dụng làm bài tập
7
5
11
Chưa biết cách làm bài tập về
“ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát hàm số bậc 2/ bậc 1 và các bài
toán có liên quan”
20
19
22
Chưa định hình phương pháp cụ
thể cho từng dạng
15
16
13
Phương pháp
học tập
Nắm vững từng dạng bài và cách
giải cụ thể của dạng đó
20
17
19
Nắm vững lý thuyết về khảo sát
hàm số và các bài toán có
liênquan
15

SÁT HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ
LIÊN QUAN
2.1. Ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số
a. Phương pháp
Hàm số
 
y,f x m+ Bước 1: TXĐ:
DR

+ Bước 2: Tính
'
y

+ Bước 3: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên R
 
''
0, 0yy  

 Cách 1: Sử dụng tam thức bậc 2
 Cách 2: Phương pháp hàm số: Cô lập tham số m
+ Bước 4: Kết luận
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số:
2
23
1
x x m

 
\1DR

+ Bước 2:
  
   
2
2
'
22
4 3 1 2 3
2 4 3
11
x x x x m
x x m
y
xx
    
  


 
 
2
1
gx
x







 
gx

có đồ thị
1
x

2
x 
gx
có hai nghiệm phân biệt:
12
3xx


Cách 1:

   
'
0
1


    





Kết hợp với điều kiện
 

ta có:
9m

Vậy để hàm số đồng biến trên
 
3;
thì
9m

 Cách 2:
1 2 1 2
3 3 3 0x x x x      

Đặt
12
3 3 0x t x t t t       

     
2
2 3 4 3 3g t t t m     



  



Kết hợp với điều kiện
 

ta có:
9m

+ Bước 4: Kết luận: Vậy để hàm số đồng biến trên
 
3;
thì
9m

Ví dụ 2: Cho
 
2
3xx
y Cm
xm



. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên

2 3 3
23
x x m x x g x
x mx m
y
x m x m x m
   

  
  

+ Bước 3: Để hàm số đồng biến trên


1; 

thì
   
'
0 0, 1 1y g x x m       

Ta có:
'2
3
g
mm  

'
0 0 3
g

x mx m u x m
x

     

 


1;
ax
x
M u x m
 


Ta có:
 
       
2
2
'
2 2 2 2
39
2
2 6 1 9 1 9
22
10
22
3 2 3 2 2 3 2 3 2
x

 


10m  

+ Bước 4: Kết luận: Vậy để hàm số đồng biến trên


1; 

thì
01
10
m
m



  


c. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho
 
2
2
2
x x m
y Cm
x

2

 



2.2. Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số bậc hai trên bậc nhất
a. Phương pháp: Cho hàm số
 
y f x

Cách 1: Sử dụng qui tắc I
+ Bước 1: TXĐ:
DR

+ Bước 2: Tính
'
y
. Giải phương trình
'
12
0,y x x
…
+ Bước 3: Lập bảng biến thiên

20

+ Bước 4: Kết luận
Cách 1: Sử dụng qui tắc II
+ Bước 1: TXĐ:





Giải
 
2
1
1
xx
y f x
x




+ Bước 1: TXĐ:
 
\1DR

+ Bước 2:
  
   
2
2
'
22
2 1 1 1
2
11


       





+ Bước 3: Bảng biến thiên:
+ Bước 4: Kết luận
Hàm số đạt cực đại tại
0x 


Đ

1

Hàm số đạt cực tiểu tại
2x 
3
CT
y

Ví dụ 2: Sử dụng quy tắc II để tìm cực trị của hàm số
 
2
21
 3