1
CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT

STT Viết tắt Viết đầy đủ
1 CNTT Công nghệ thông tin
2 GV Giáo viên
3 HS Học sinh
4 GD&ĐT Giáo dục và đào tạo
5 SGK Sách giáo khoa
6 SBT Sách bài tập
7 PPDH Phương pháp dạy học
8 THPT Trung học phổ thông
9 MTĐT Máy tính điện tử
10 PMDH Phần mềm dạy học

15
1.5. Phần mềm dạy học (PMDH). 21
1.5.1. Phần mềm 21
1.5.2. Phần mềm dạy học 22
1.5.3. PMDH thông minh 24
1.6. Quan điểm hoạt động trong dạy học 24
1.6.1. Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực
và sáng tạo của hoạt động học tập
25
1.6.2. Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và
kiến thức sẵn có của người học
26
1.6.3. Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học 26
1.6.4. Dạy tự học trong quá trình dạy học 27
1.6.5. Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, uỷ 28 3
thác, điều khiển và thể chế hóa
1.7. Thực trạng việc ứng dụng CNTT vào dạy học bộ môn Toán bậc
THPT ở địa bàn tỉnh Lai Châu.
29
Kết luận chương 1 30
Chương 2: Khai thác phần mềm AutoGraph trong dạy học Toán ở trường
THPT
31
2.1. Khai thác AutoGraph hỗ trợ dạy học nội dung hàm số liên tục 31
2.1.1. Những thuận lợi, khó khăn của giáo viên và học sinh khi học tập
và giảng dạy nội dung hàm số liên tục
31
4
Kết luận chương 3 107
KẾT LUẬN 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO 109
PHỤ LỤC 112
hiện đại vào hoạt động dạy học là một hướng đang nhận được sự quan tâm của
Đảng, Nhà nước và của toàn xã hội. Việc đổi mới PPDH theo hướng trên sẽ góp
phần nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo, đặc biệt là giáo dục và đào tạo phổ
thông.
Với những lý do trên và qua thực tế giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT,
chúng tôi nhận thấy việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy là hết sức cần thiết. Vì
vậy đề tài được chọn là: “KHAI THÁC AUTOGRAPH HỖ TRỢ DẠY HỌC NỘI
DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM” 6
II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi nghiên cứu :
- Một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 và Giải tích 12 về vấn đề đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
- Một số bài toán nâng cao trong các tài liệu luyện thi Đại học.
2. Đối tượng nghiên cứu
- Vận dụng phần mềm AutoGraph vào thiết kế một số hoạt động hỗ trợ dạy
học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Xây dựng phương án ứng dụng CNTT vào dạy học một số chủ đề môn
Toán ở trường THPT nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy.
IV. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Sử dụng phần mềm Autograph là phần mềm được thiết kế chuyên dụng
dành cho GV giảng dạy môn Toán trên lớp học để thiết kế một số hoạt động hỗ
trợ dạy và học nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Điều này tạo nên sự
khác biệt so với hầu hết các phần mềm tương tự khác ở chỗ các phần mềm tương
tự khác đều được thiết kế cho người sử dụng vừa là GV vừa là HS.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

- CNTT giúp tạo ra những kênh thông tin đa dạng, phong phú tác động đến
tất cả các giác quan của người học nhằm kích thích hứng thú học tập cho HS.
CNTT còn tạo ra một môi trường thuận lợi chưa từng có để tổ chức các hoạt động
học tập hướng vào việc lĩnh hội tri thức và kỹ năng cho HS, trong đó việc xử lý
thông tin một phần được thực hiện nhờ MTĐT, vì vậy công nghệ và MTĐT đã
trở thành một bộ phận của bài học.
-Với các phần mềm vi thế giới, HS có thể tạo ra, tác động lên các đối tượng
để từ đó tìm tòi, phát hiện ra quy luật của các đối tượng hoặc sử dụng quan sát các
thí nghiệm ảo về sinh vật, hoá học, vật lý để rút ra được các nhận xét, kết luận
khoa học. Việc sử dụng CNTT để thực hiện các thí nghiệm ảo đã giúp nhà trường
tránh được những thí nghiệm nguy hiểm, vượt quá hạn chế về thời gian, không
gian hoặc chi phí- Đây là vấn đề khác biệt, vượt trội so với việc chỉ sử dụng các
phương tiện, đồ dùng dạy học truyền thống.
- Sự ra đời của Internet tạo ra một môi trường học tập mới. Việc tương tác
đa chiều giữa giảng viên, học viên, chuyên gia, việc trao đổi thông tin giữa GV và
HS, giữa HS với HS, giữa gia đình và nhà trường được thực hiện qua mạng và
Internet.
- Việc ứng dụng CNTT đã tạo ra khả năng xây dựng môi trường hoạt động
lý tưởng cho HS. Trong môi trường này HS là chủ thể của quá trình dạy học, tự 8
làm việc, tự phát hiện, tự kiểm tra đánh giá. HS rất hứng thú khi được học tập với
MTĐT vì vậy hiệu quả cao hơn hẳn việc học tập theo phương pháp truyền thống.
* CNTT góp phần đổi mới việc dạy
- CNTT hỗ trợ người GV gia tăng giá trị lượng thông tin đến HS, hình
thành nhiều kênh trao đổi thông tin hai chiều giữa GV và HS.
- CNTT đưa ra nhiều lựa chọn để GV chuẩn bị bài giảng và tiến hành lên
lớp sau cho phát huy cao nhất tính tích cực chủ động của HS.
- CNTT cho phép GV thực hiện việc phân hoá cao trong dạy học.

* Sử dụng MTĐT xây dựng các mô hình trực quan để sử dụng trong quá
trình dạy học toán
Để nghiên cứu một đối tượng toán học nào đó trước hết người ta tìm cách
xây dựng một vài mô hình tương ứng với các trường hợp cụ thể. Trên cơ sở các
kết quả làm việc với mô hình sẽ cho phép ta đi đến việc chứng minh hoặc lời giải
trong trường hợp tổng quát. So với các phương tiện đồ dùng dạy học truyền thống
thì MTĐT có khả năng giúp ta thể hiện các đối tượng toán học trong thế giới thực
bởi các mô hình trên giao diện đồ hoạ 2 chiều, 3 chiều. CNTT là công cụ tự nhiên
để diễn tả các mô hình toán học. Máy tính có thể giúp đỡ HS phát triển ý tưởng,
đưa ra cách tiếp cận hướng giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên
cứu các mô hình toán học. Điều này giúp GV trình bày các vấn đề của toán học rõ
ràng, sinh động và khám phá vấn đề từ những cái phức tạp trong cuộc sống để thu
cô đọng lại những gì tinh tế, sâu sắc rồi kết nối chúng lại để xây dựng các mô
hình toán học
* Sử dụng MTĐT và phần mềm toán học để phát hiện các, tính chất, các
mối quan hệ trong toán học
Ngoài việc đưa ra một mô hình trực quan, MTĐT còn hỗ trợ ta quan sát,
khám phá, xử lý các mô hình đó một cách thuận tiện bằng cách cho thay đổi một
vài thành phần và quan sát sự thay đổi trong các thành phần còn lại. Qua việc
quan sát và thu nhận thông tin phản hồi do MTĐT đưa ra sẽ giúp ta phát hiện ra
các tính chất của đối tượng toán học cũng như mối quan hệ giữa các đại lượng
toán học với nhau.
Các chuyên gia về giáo dục đã nhấn mạnh vai trò của CNTT trong việc hỗ
trợ HS tự khám phá và phát hiện vấn đề trong quá trình học toán và thông qua quá
trình này HS có điều kiện rèn luyện phương pháp nghiên cứu trong học tập, năng
lực tư duy sáng tạo.
* Dạy và học toán với các phần mềm động
Người học có thể sử dụng các phần mềm toán chuyên dụng trên MTĐT để
biểu diễn các biểu đồ, hình vẽ một cách sinh động. Mặt khác, chỉ cần một vài thao
tác đơn giản với chuột, ta có thể có được hình ảnh về đối tượng cần nghiên cứu

- Với những dịch vụ phong phú mà CNTT cung cấp, người GV có điều
kiện để lựa chọn PPDH theo nội dung, sở trường, đối tượng HS, sao cho tối ưu
nhất.
7. Giới thiệu tổng quan về phần mềm AutoGraph
Autograph là phần mềm hỗ trợ học tập và giảng dạy Toán do một nhóm các
giáo viên và chuyên gia tin học Anh quốc thiết lập từ năm 2000. Phần mềm này
đã được rất nhiều giải thưởng là phần mềm dùng trong nhà trường tốt nhất tại
nước Anh và nhiều quốc gia EU khác. Autograph được thiết kế chuyên dụng cho
giáo viên giảng dạy môn Toán trên lớp học kết hợp với máy chiếu (projector).
Phần mềm hỗ trợ giảng dạy môn Toán phần Đại số (đặc biệt là đồ thị và hình học
giải tích trên mặt phẳng và không gian), Xác suất thống kê, bao phủ hầu hết các
module kiến thức môn Toán từ các khối lớp THCS đến THPT và các năm đầu của
chương trình đại học. Các đặc điểm nổi bật nhất của phần mềm là: 11
- Khả năng thể hiện các đồ thị hàm số đẹp với nhiều tuỳ biến động cho các
tham số.
- Có khả năng tạo các hiệu ứng animation tự động hoặc bằng tay ngay trên
màn hình rất sinh động.
- Thực hiện được hầu hết các tính toán tự động với đồ thị hàm số như tiếp
tuyến, tiệm cận, giao cắt, tích phân, đạo hàm.
- Trên mặt phẳng (hoặc không gian) tọa độ có thể thực hiện được rất nhiều
các thao tác hình học như tạo điểm, đường tròn, vector, đa giác, các phép biến đổi
trên các đối tượng hình học này.
- Khả năng cho phép người dùng (giáo viên) vẽ (viết) trực tiếp trên màn
hình tương tự như đang làm việc với một bảng đen trong lớp học.
Tất cả các chức năng trên đã tạo cho Autograph trở thành một công cụ lý
tưởng cho việc giảng dạy môn Toán trên lớp học. Với phần mềm này các tiết học
và dạy Toán trên lớp sẽ trở nên sinh động, đẹp mắt, chính xác.

tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho cũng gặp nhiều khó khăn.
- Không lưu ý đến các tính chất đặc biệt của một hàm số để vẽ chính xác đồ thị:
chẳng hạn đối với hàm số bậc 3 có tâm đối xứng là điểm uốn ( tức là điểm có hoành độ
là nghiệm của phương trình
'' 0
y

), hàm số bậc 4 trùng phương có trục đối xứng là trục
tung.
- Ít chú ý đến độ dốc của các nhánh của đường cong. Đa số HS khi vẽ những
cung đặc biệt ( có cực trị, có cung lồi, lõm, có điểm uốn…) thì phần kéo dài của các
cung ở phần ngoài thường vẽ tùy tiện.
- Thiếu thận trọng khi điền các dữ liệu vào bảng biến thiên, đặc biệt là phần điền
các kết quả giới hạn
- Kỹ năng tìm tiệm cận xiên còn chưa tốt.
- Khi giải các bài tập liên quan đến khảo sát hàm số như biện luận theo tham số
số nghiệm phương trình, viết phương trình tiếp tuyến, tính diện tích hình phẳng, tính thể
tích khối tròn xoay … nếu có hình vẽ động thì việc tiếp thu kiến thức của HS sẽ tốt hơn.
2. Nguyên nhân của thực trạng trên:
- Tư duy trực quan trừu tượng của HS còn chưa tốt;
- Đặc thù của môn Toán là “khô khan”, “logic”, “trừu tượng”, thiếu tính sinh
động và hấp dẫn nên học sinh ít có hứng thú trong giờ học môn toán, đặc biệt là đối với
đối tượng học sinh yếu.
- Ở phần ứng dụng của đạo hàm, SGK chương trình mới đã bỏ phần tính lồi lõm,
điểm uốn của đồ thị nên HS gặp rất nhiều khó khăn khi hiểu các khái niệm tiếp tuyến
của đồ thị, khái niệm tiệm cận và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba đặc biệt là đối với những
đồ thị hàm số bậc ba ở dạng đơn điệu hoàn toàn.
- Ở phần tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, HS cần phải có tư
duy trừu tượng cao mới có thể hiểu được bản chất thực sự của vấn đề…
III. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ



'
M
y x
=?
HS:


'
M
y x
= 3
GV mở phần mềm
AutoGraph, thực hiện thao tác
vẽ đồ thị của hàm số
3
y x

;
xác định điểm M có hoành độ
bằng 1 và điểm N bất kỳ trên
đồ thị (C); dựng đường thẳng
MN.
GV thay đổi hoành độ của N bằng
công cụ View\Animate Object và yêu cầu
HS quan sát sự thay đổi của cát tuyến MN trên màn hình. Chọn View\Status Box, hộp
thoại Status Box hiện ra cho phép ta thấy được sự thay đổi của hệ số góc k.
GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết khi nào thì cát tuyến MN trở thành tiếp tuyến
của đồ thị (C)?
Hình 1 14
Ví dụ 2: Cho hàm số
3
1
y x kx k
   
có đồ thị là (C
k
), k là tham số.
1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C
-3
) với k = -3.
Với k = -3, ta có
3
3 2
y x x
  

HS thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
GV dùng Auto Graph để vẽ đồ thị hàm số: nhập hàm số
3
1
y x kx k
   
và chọn k = -3. Ta được đồ thị (C

Chú ý: Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm phía dưới trục hoành nên diện
tích cần tìm là 6,75. Đây là một trong những hạn chế của AutoGraph, vì vậy GV và HS
trong khi dạy và học không nên phụ thuộc quá nhiều vào phần mềm.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C
-3
) biết tiếp tuyến đi qua điểm


1; 5
A


*Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên
GV: Yêu cầu HS nhắc lại phương pháp giải bài tập dạng viết phương
trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
y f x

biết tiếp tuyến đi qua
điểm


0 0
;
A x y

GV: Phương trình đường thẳng qua


1; 5

2
3
3 2 5 0
2
v
3 15
3 3
4
x
x x mx m x
m
x m
m




     

 

  
 
 







)
+ Xác định điểm


1; 5
A

trên mặt phẳng tọa độ.
+ Chọn Enter Equation và nhập phương trình
- - 5
y mx m


+ Chọn View\Constart Controller. Hộp thoại Constart Controller xuất hiện. Ta chọn
3
k
 
để xác định (C
-3
), chọn m để xác định cát tuyến AM.
+ GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào
của m thì cát tuyến trở thành tiếp tuyến.
HS: Với
15
4
m

(Hình 4) và
3
m

GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị các hàm số
3
3
y x x
 
và
y m
 

+ Xác định giao điểm của (C) và ().
+ GV thay đổi các giá trị của m bằng chức năng View\Constart Controller và yêu cầu
HS quan sát, nhận xét vị trí tương đối của () và đồ thị (C) ứng với sự thay đổi của m
(Hình 6) Hình 5 16

GV: Dựa vào đó kết quả trên, hãy biện luận số nghiệm của (*)?

GV: Để xác định số nghiệm của (*), ta sử dụng phương pháp đồ thị giống như ví trên.
Vậy ta cần phải làm những gì?
HS: B1: Chuyển (*) về dạng
3
3 (**)
x x m  
.
B2: Vẽ đồ thị các hàm số
3
3
y x x
 
và
y m
 

B3: Dựa vào đồ thị hai hàm số trên để chỉ ra số nghiệm (**).
GV: Quy trình vẽ đồ thị hàm số


y f x

khi đã biết đồ thị hàm số
( )
y f x

?
HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị.
GV: Tuy nhiên, ở đây ta có thể rút ngắn được thời gian vẽ đồ thị


6. Tìm các giá trị của k để (C
k
) tiếp xúc với đường thẳng (d):
1
y x
 
.
Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên
Hình 6
Hình 7
m > 2
m = 2
-2 < m < 2
m = - 2
m < -2
2
17
GV: (C
k
) tiếp xúc với đường thẳng (d):
1
y x
 
khi nào?
HS: Khi (d) là tiếp tuyến của (C).
GV: Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)?
HS: Hệ phương trình sau có nghiệm:

);
1
y x
 
(d). Xác định giao điểm của (C
k
) và (d).
GV thay đổi các giá trị của k bằng chức năng View\Constart Controller. Yêu cầu HS
quan sát và cho nhận xét vị trí tương đối của (C
k
) và (d). Từ đó HS rút ra kết luận của
bài toán.
HS: (C
k
) tiếp xúc với đường thẳng (d) khi
2
k
 
(hình 8) và
1
4
k

(hình 9)

+Xác định điểm cực trị trên (C
k
): Dùng chức năng View\Constart Controller và thay
đổi k để nhận được (C
k
) có cực trị
+ Kích chuột phải vào (C
k
) và chọn Solve f’(x)=0. Lúc này trên (C
k
) sẽ xuất hiện hai
điểm cực trị. Xác định tọa độ các điểm cực trị bằng cách: kích chuột phải vào một điểm
Hình 8Hình 9

18
cực trị bất kỳ rồi chọn Text box. Hộp thoại Edit TextBox hiện ra và bấm OK. Lúc này
Auto Graph cho ta tọa độ của hai điểm cực trị trên màn hình. ( Hình 10)
+ GV thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS
quan sát sự thay đổi trên màn hình.
GV: Với giá trị nào của k thì (C
k
) có hai cực trị?
HS: Với
0

; , ;
x y x y
khi đó ta có

1
1 1
1 1 1 1
'( ) 0
2
1
1 2
3
'( ) 1
3 3
y x
y kx k
y x y x kx k



   

   



và
2
2 2
2 2 2 2

  

GV minh họa bằng AutoGraph như sau:
+ Vẽ đồ thị hàm số:
2
1
3
y kx k
  
bằng AutoGraph
+ Thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS
quan sát màn hình.
GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết với giá trị nào của k thì đồ thị (C
k
) có hai cực
trị và đường thẳng
2
1
3
y kx k
  
có vị trí như thế nào đối với hai điểm cực trị?
Hình 10
Hình 11 19
HS: Với
0
k

1
y x kx k
   

+ Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart
Controller xuất hiện. Ta chọn Option, hộp thoại Edit Constant
Options xuất hiện. Ta chọn Family Plot và trong Comma
Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Chọn OK để Auto Graph vẽ một số đồ thị ứng
với các giá trị k đã nhập ở Comma Separated. Kết quả nhận được là hình 12
GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy nhận xét về điểm cố định của họ đồ thị (C
k
)?
HS: Điểm cố định của họ đồ thị (C
k
) là điểm (-1; 0).

Ví dụ 3: Cho hàm số
4 2
2
y x mx m
   
có đồ thị (C
m
)
1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C
-2
) với m = -2
Với m =-2 ta có:
4 2
2


.
* Vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số
4 2
2
y x x
 

GV: Nhắc lại quy trình xác định đồ thị hàm số


y f x

khi đã biết đồ thị hàm số
( )
y f x

?
HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị.
Hình 12 20
GV: Hãy xác định đồ thị (C) của hàm số
4 2
2
y x x
 
?
Ta có:

 
. HS quan sát thấy ngay đồ thị (C)
trên màn hình.
GV: Nhận xét gì về đồ thị của hàm số
log
y a

?
HS: Vì
a
là hằng số nên với
0
a

thì đồ thị hàm số
log
y a

là một đường thẳng song
song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm
log
a
.
GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số
log
y a

; xác định giao điểm của hai đồ thị trên.
+ GV thay đổi các giá trị của a bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS
quan sát sự thay đổi của đồ thị hàm số

GV: Dựa vào đồ thị trên, hãy đưa ra lời giải của bài toán?
HS: Đường thẳng
log
y a

cắt đồ thị (C) tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi
0 log 1 log1 log log10 1 10
a a a
       3. Tìm m để hàm số có 3 cực trị

GV: Điều kiện gì để hàm số có 3 cực trị?
HS: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi
' 0
y

có ba nghiệm
phân biệt và
'
y
đổi dấu khi đi qua ba điểm đó
2
2 (2 ) 0
x x m
  
có 3 nghiệm phân biệt
0
m

HS: Thực hiện tính toán theo phương pháp đã biết. Kết quả
diện tích hình phẳng cần tìm là:
3
2
S

(đơn vị diện tích)
* Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph
+ Xác định giao điểm của (C
-2
) và trục hoành
Trong hộp Results box có thể thấy tọa độ ba điểm đó là:
Solution: x=-1,414; y=0,0001916
Solution: x=0,0001206; y=0
Solution: x=1,414; y=0,0001552
+ Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C
-2
) và trục hoành. Chọn (C
-2
) và kích
chuột phải, chọn Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện yêu cầu, ta chọn chức năng
Simson’s Rule để tính chính xác diện tích. Nhập: Start Point: -1,414 End Point:
1,414 Division: 1000 và chọn OK. Khi đó Auto Graph sẽ vẽ miền cần tính diện tích và
trong hộp Result Box cho ta kết quả
1,508

. Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm
phía dưới trục hoành nên diện tích cần tìm là:
1,508


chọn “Plot as 2D” sau đó chọn OK.
+ Tạo ra miền hình phẳng cần quay: Kích chuột vào đồ thị 
chuột phải  Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện ta chọn
một trong 4 cách tìm diện tích là: Retange(-), Retange (+),
Trapedium Rule và Simpson’s Rule. Nhập Start Point:
2

,
End Point:
2
Chọn Division: 1000 và chọn OK
+ Tìm thể tích: Chọn Slow Plot, Auto Graph sẽ tạo ra khối tròn xoay một cách từ từ; chọn
miền hình phẳng cần giới hạnchuột phảiFind Volume. Khi đó hộp thoại Edit
Volume xuất hiện yêu cầu ta nhập trục mà miền hình phẳng quay quanh. Ta nhập phương
trình trục hoành là y = 0 rồi chọn OK. Khi đó trên thanh Status Bar cho kết quả thể tích có
dạng
1,149
V



6. Viết PT tiếp tuyến với đồ thị (C
-2
) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):
24 1
y x
 

GV: Phương trình đường thẳng song song với (d) có dạng như thế nào?
HS:

 

phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
24 40
y x
 

GV minh họa bằng Auto Graph như sau:
+ Dùng Auto Graph vẽ đồ thị các hàm số
4 2
2
y x x
 
;
24
y x m
 

+ GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào
của m thì đường thẳng
24
y x m
 
tiếp xúc với đồ thị (C
-2
)?
HS: Với
40
m
 

2 0
1 0
y x
x

  


 



Hệ trên vô nghiệm vì phương trình thứ 2 là vô nghiệm. Vậy (C
m
) không đi qua điểm cố
định nào.
* Hoạt động 2: GV minh họa cho kết quả trên bằng Auto
Graph
+ Dùng Auto Graph vẽ đồ thị hàm số
4 2
2
y x mx m
   
(C
m
)
+ Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart
Controller xuất hiện. Chọn Option, hộp thoại Edit Constant
Options xuất hiện. Chọn Family Plot và trong Comma
Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Chọn OK

m
) luôn đồng biến trên tập xác định khi nào?
HS: Khi và chỉ khi
' 0,
y x m
   

Ta có
2
2
2 2
'
( )
m m
y
x m
 


;
' 0
y m
 
vì
2
2 2 0
m m m
   

Kết luận:



+ GV thay đổi giá trị của
m
và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của đồ thị của đạo hàm
bậc nhất.
Hình 18 24
GV: Nhận xét gì về đồ thị của đạo hàm bậc nhất?
HS: Luôn nằm phía bên trên trục hoành
m


GV: Kết luận gì về dấu của
'
y
?
HS:
' 0
y m
 

GV: Kết luận gì về tính đơn điệu của hàm số
2 2
mx m
y
x m
 

- Chọn View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options
hiện ra. Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ
nhất và nhập các thông số Start: -10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ


m
P

với các giá trị của m từ -10 đến 10 với bước nhảy là 0,1. Khi đó AutoGraph sẽ cho ta
thấy đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị của m đó (Hình 20)
GV: Quan sát hình ảnh trên, có thể rút ra nhận xét
gì?
HS: Họ đồ thị


m
P
luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định và có thể thấy đường thẳng này đi qua
hai điểm (1;0) và (0;1).
GV: Có thể chỉ ra được phương trình của đường
thẳng cố định đó?
HS: Đường thẳng đó đi qua hai điểm (1;0) và (0;1)
nên suy ra phương trình của nó là
1
y x
 

GV: Từ kết quả đó, hãy đề xuất phương hướng giải bài toán trên? ( Dựa vào yếu tố cố
định của đường thẳng )

x m A x m B
       
có
nghiệm kép
m




2
4 1 2 4 5 0,
m A A A B m
         

2
1 0
1
1
2 4 5 0
A
A
B
A A B
 



 
 
 

phương trình là
2 2
(2 1) 1
y ax m x m
    
với
a
là hằng số. Khi
a
thay đổi thì liệu
rằng họ đồ thị


m
P
còn tiếp xúc với đường thẳng nữa hay không? Ta sẽ kiểm tra bằng
AutoGraph để tìm ra câu trả lời trên.
GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số
2 2
(2 1) 1
y ax m x m
    
. Chọn
View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options hiện ra.
Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ nhất và
nhập các thông số Start: -10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ


m
P


luôn tiếp xúc với một parabol nào đó.
GV: Tương tự phần trên, hãy tìm parabol đó?
HS: Gọi parabol cần tìm là
2
y Ax Bx C
  
. Làm tương tự như phần trên tìm được
1; 1; 1
A a B C
    
.
GV: Khi tham số
a
thay đổi thì họ đồ thị


m
P
luôn luôn tiếp xúc với Parabol
2
( 1) 1
y a x x
   
. Với
1
a

thì chính là kết quả của bài toán ban đầu.