27

Bài V:Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và
đồ thị hàm số.

Lƣu ý trƣớc khi giải đề thi:
Các bài toán dạng này là câu chiếm 1 điểm, thƣờng nằm ở câu thứ 2 sau phần khảo sát hàm số trong đề
thi đại học. Muốn giải đƣợc dạng toán này ta cần nắm vững các lí thuyết về sự tăng, giảm hàm số, các
vấn đề về cực trị, sự tƣơng giao giữa hai đồ thị (điều kiện tiếp xúc của hai đƣờng cong)… Các ví dụ dƣới
đây sẽ trình bày một cách có hệ thống các vấn đề nêu trên và cách giải đơn giản và dễ hiểu nhất. Các
bạn tham khảo các ví dụ sau đây:

I: SỰ TĂNG GIẢM CỦA HÀM SỐ:
Nhắc lại kiến thức:
Cho hàm số
 
y f x
có đạo hàm trên miền I
 
0;f x x I  
 Hàm số tăng
 
0;f x x I  
 Hàm số giảm

VD 1.
Cho hàm số:
 
 
3 2 2

b. Ycbt 
 
 
2
2
' 0 0
20
1
' 2 0
3 2 0
y
mm
m
y
mm



  

  


  





Vì

2
m
y m m
m
S







    








Vậy ycbt 
 
;7
2
m
m

  



e. Ycbt

 
 
2
2
'0
2
'0
20
2
' 4 0
9 14 0
21
' 2 0
3 2 0
42
42
2
m
m
m
y
mm
m
y
mm
S
m


  






  
  





VD 2.
Cho hàm số
 
2
2 2 2
1
33
m
y x mx m m x

    
tìm m để hàm số:

' 0 0
0
1
' 2 0
5 4 0
y
mm
m
y
mm



  

   


   





c. Giảm trên
 
6; 29







Vậy YCBT
 
0
4
0;4
m
m
m


  




d. Tăng trên đoạn có độ dài bằng 2
12
2'
2 2 2 2 1x x m m
a

        

e. Giảm trên 2 khoảng








Tóm lại: ycbt 
0
14
m
m






II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Nhắc lại kiến thức:

X X
0

Y’ + 0 -
Y
Cực Đại
g. Hàm số đạt CĐ và CT tại x
1
;x
2
sao cho
 
33
12
xx
nhỏ nhất
Giải:
MXĐ: D=R
22
' 2 2 1y x mx m   

2
'1m   

'0
:
X

X
1
X
2



Y’ + 0 - 0 +




b. Ycbt :
 
2
2
1
10
'0
0
' 1 0 2 2 0
1
1
1
1
2
m
m
m
y m m
m
m
S
m






1
1
'0
0
' 1 0 2 2 0
1
1
1
1
2
m
m
m
y m m
m
m
S
m













2 6 8 0
23
23
2
m
y
m m m
m
y
m m m
S
m








   


     


   


  

m
m
S
m
  






  








        
  

  







12
xx
nhỏ nhất
Ycbt
   
3
1 2 1 2 1 2
'0
3 minP x x x x x x





    


(1)
Với
2
12
12
21
2
x x m
x x m






  


2
2
2
' 12 6 ' 0
2
2
m
P m P
m




      





Bảng biến thiên:

X

-1
2
2

biểu thức y’ và dấu của nó. Lúc này, tất cả yêu cầu bài toán (ycbt) liên quan đến cực trị đều nằm ẩn dƣới
những dấu + - của y’. Và trực quan hơn nữa, ta thấy đƣợc hƣớng đi của mình qua bảng biến thiên. Tôi sẽ
minh họa kĩ câu d của ví dụ trên đây:
Ycbt : Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ nằm trong [-2;3]

32

- Để có cực đại và cực tiểu  y’=0 có hai nghiệm
'0  

- Vẽ bảng biến thiên:
X

-2 X
1

2
S
X
2
3


Y’ + 0 - 0 +
Y
CĐ

CT

Từ đó ta có

1
;X
2
của phƣơng trình y’=0 hay bằng
2
b
a

. Rõ ràng nếu X
1
;X
2
nằm
trong [-2;3] thì
2
S
cũng phải nằm trong đoạn này. Vì
2
b
a

là giá trị có thể rút ra dễ dàng từ
phƣơng trình gốc nên ta chọn giá trị trung bình này làm điều kiện. Nút thắt thứ 3 đƣợc gỡ
bỏ.
- Lời khuyên đó là: khi gặp những dạng toán nhƣ trên học sinh hãy vẽ bảng biến thiên nhƣ
trên ra giấy nháp sau đó tùy theo câu hỏi mà điền các thông số thích hợp vào bảng. từ đó
mọi hƣớng giải đều đƣợc phơi bày!
Tôi có tham khảo qua một vài tài liệu của các thầy cô giáo thì thấy phần lớn các sách đều trình bày lời
giải một cách máy móc, không trực quan, nhiều lúc có thể coi là luẩn quẩn. . Ví dụ: tìm m để hàm số
y=f(x) tăng trên (1;+

a x b x c



. Trong trƣờng hợp này, tùy biểu thức ở mẫu có nghiệm hay
không ta đặt thêm trƣờng hợp. Vì mẫu thức

0 nên khi xét dấu ta chỉ cần xét dấu tử số tƣơng tự
nhƣ các ví dụ trình bày ở trên.

Dạng hàm số này đã không còn thông dụng ( chỉ giới thiệu sơ lƣợc trong sách giáo khoa) nên xu
hƣớng ra đề chỉ xoay quanh 3 hàm là: bậc 3, trùng phƣơng và
''
ax b
y
a x b



.
Bài 2: Cho (Cm):
 
32
3 3 1 4y x mx m x    

Định m để:
a. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB thẳng hàng với C(1;-1)

33


21y x x m cx d ax b ax b         

 
2
2 1 ( 1) 2 5y x x m x mx m        

 
 
2
2 1 0 1
2 5 2
x x m
y mx m

   



   



C(m) có hai cực trị  (1) phải có 2 nghiệm phân biệt
'0  

0ma. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB thẳng hàng với C(1;-1)
(2)

25AB x x y y     

2
1
16 4 20
5
4
m
mm
m



   



So sánh đk


1m 

c. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB cách đều
:2y

Ycbt
   
;;d A d B   
với
:2y

2 5 2 5 4 2 2 10 4mx m mx m m x x m              

2 .2 2 10 4 1m m m      Bài 3: Cho (Cm):
 
32
3 3 1y x x m x   

Định m để:
a. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho
OAB
vuông tại O
b. C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm khác phía với trục Ox
c. C(m) có hai điểm cực trị A;B cùng phía với trục Oy
d. C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm cách đều đƣờng thẳng y=5