Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân1
Chứng minh rằng :
3
4
4
3
4
1
2
2
6
0
1
1. dx
3 2 sin x 2
3 cotg 1
2. dx
12 x 3
1 1
3. dx
2 6
1 x
π
ππ
π
π
ππ
π


 
 
 

1
0
2
5 4 3
1
4. ln2 dx
4
1 x x
1
5. dx
x x 1 8
x
6. dx
18 x x x 3
9 3
π
ππ
π
< <
< << <
< <
+
++
+
π

Bài giải :
3 3 3 3
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2 2
2
2 2
3 1 1 1 1
1. x sinx 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1
4 4 2 2 3 2 sin x
2
1 1 1
dx dx dx dx
2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π
π ππ π
π π
−
−−
−
−
−−
−
π π

π π ππ π π
π π π
π
ππ
π
π
ππ
π






π π
π ππ π
π π






π π π π
π π π ππ π π π
π π π π





1
3. 0 x 1 0 x x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
2
1 1 1
1 dx dx
1 x 1 x 1 x
I
< < − − − − − − −
< < − − − − − − −< < − − − − − − −
< < − − − − − − −
− − −
− − −− − −
− − −
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒

            
   
Với
1
2
2
0
1
I = dx
1- x

t 0
1 sin t
6
π
ππ
π
= = =
= = == = =
= = =
π
ππ
π
−
−−
−
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
⇒

Vậy
1
2
6
0
1 1
dx
2 6
1 x
π

1 1 1
1 ; x 0,1
x 1 1 x
1 x x
+ +
+ ++ +
+ +
+
++
+
⇒ ∀  ∈

Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi :
x = 0
x = 1




(1) (1)
(1) (1)
VT VG
x
VG VP
∅
∅∅
∅
⇒

∈

0
1
dx
1 x 4
π
ππ
π
=
==
=
+
++
+
∫
∫∫
∫
Xem bài tập 5 .

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1 1

x tgt dx dt ( tg t)dt
cos t
= = = +
= = = += = = +
= = = +
2
2
1
1⇒

π π
π ππ π
π π
+ π π
+ π π+ π π
+ π π
= = = =
= = = == = = =
= = = =
π
ππ
π
+
++
+
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
4 4
2


(
((
( )
))
)
5 3
5 4 3 3 5 4 3 3
4 3
3 5 4 3 3 3 5 4 3 3
3 5 4 3 3
1 1
1
3 3
0 0
6. 0 1 0 2 3 3 3 3
0
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3 3
1
; Đặt
3 3 3 1







°
1 1 1
0 0 0
0
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
 
     
 
   
 
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
I dx dx x
x x
2
0 1
;( 0) 2
0

= == =
= =
3 2
0 1
3
0 1
⇒t
u t du t dt
u

π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
2

3
0
°
3
9 3

x
I
x
(tương tự) Vậy
( )
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
1
1 2
5 4 3
0
1
3
⇔

 
x
I dx I
x x x


)
2
4 4
0
12
1 1+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
sin .cos
sin cos

x x
dx
x x
π
ππ
π
π
ππ
π

2.Nếu
:
(
((
( )
))

π
thì :
(
((
(
)
))
)
2
3
3
3
4
+
++
+
 
  
 
+ >
+ >+ >
+ >
 
  
 
 
  
 
tg t tgt
tg t e

+ + +
= +
= += +
= +
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
4 4
4 4 4 4 4 4
3 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
⇒ 
x x
x x x x x x

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân3
sin .cos sin .cos sin .cos sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos
sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos
π π
π ππ π
π π
 
  

∫ ∫
2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
0 0
3 1 2 2
1 1 1 1 1 1 6 1 1
3 1 2 2
1 1 6 1 1
⇒ ⇒
⇒
 

x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
dx dx dx
x x x x
sin
Đặt sin sin
sin
π
ππ
π
π
ππ
π





π
ππ
π
π
ππ
π
⇒ = =
⇒ = =⇒ = =
⇒ = =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
0
2
0 1 4
1x
dt
J
t t

J dx u x du xdx
x

π
ππ
π
π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
2
2
0
0
2
0 1 4
⇒

1
x
du

x x
Vậy
sin .cos
( sin )( cos )
π
ππ
π
π
ππ
π
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
2
4 4
0
1 1 12

x x
dx
x x

2. Đặt
( )= = + =
= = + == = + =
= = + =
+

 
 
 
 
∫ ∫ ∫
Vì
( )
>
>>
>
0

I
t
nên
3
1 1 tgt-1
: - tg t-tgt- ln > 0
3 2 tgt+1
ln ln
 
  
 
 
  
 
 
  
 
+

tg t tg t tgt tg t e
tgt

2
n
x
1. I =
x +1
Chứng minh :
( )
≤ ≤
≤ ≤≤ ≤
≤ ≤
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
1
0
1 1
2 1 1
n
I dx
n n
và
lim
→+∞
→+∞→+∞

1
2
0
1

và
n
n
lim J dx
0
→+∞
=Bài giải
:
. +
++
+
+
++
+
1 1
1 0 1 1 1 2 1
2 1
⇒ ⇒
     
x x
x
;

+
++
++
++
+
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
1
1
1 1
0 0
0
0
11
1
2 1 1 1 1 1
1
⇒ ⇒
2 +1
   Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân


=



+
++
+



=
==
=



+
++
+



=
==
=



 +
 + +

) (
((
( )
))
)
0
1
0 0 0
1
1
2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2
2
0 1 2 0 1
1
− − −
− − −− − −
− − −
− −
− −− −
− −
−
−−
−
= + + +
= + + += + + +
= + + +
+ +
+ ++ +
+ +
+

−−
−
→∞ →∞
→∞ →∞→∞ →∞
→∞ →∞
= + =
= + == + =
= + =
+
++
+
n x
x e dx
n
lim lim
⇒
n nChứng minh rằng
:
2
2
3 4
4
2
1
0
4 6
0


cosx cosx cosx
f(x)
f(x)dx dx cosx( cosx)( cosx )dx
2 2 2
2 2 2
3
4 3 2 2
8
3
8 4 3 2 2 8
− − −
⇒ ⇒
cauchy


 
π π π
π π π
 
+ − + +
 
 
=
 
 
 
− + π
∫ ∫ ∫


 
 
− − −
∫ ∫ ∫3. Đặt
( ) sin ( sin )( sin )
1 2 5 3

f x x x x
= + −
;
sinx sinx sinx
f(x)
3
1 2 5 3
8
3
 
 
+ + + −
 
 
 
 
 

Đẳng thức
sinx sinx sinx

f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sinx)dx
3 3 3
4 4 4
2
8 8 1 2 5 3
3

π π π
π π π
π
⇒ < ⇒ < ⇒ + − <
∫ ∫ ∫

4. Đặt
f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)
1
7 4 4 7 4
4
= − = −

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân5
( )
( )
2
0 0 0

0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1
(2 2 cos )(1 cos ).cos .cos .cos
2
1 2 2 cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243
sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
 
− + − + + +
≤
 
 
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤∏
∫

2
3 cos sin
3.
4 4
4
x x
dx
x
∏ + ∏
−
+
∫
  Bài giải :
1. Đặt
2 2 2 2
( )
1 cos 3sin 1. sin 3cos
x
f x x x x
= + + +
( )
(
)
( )
( )
(

x
f x x
= + + −

( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2ln 4
4 3 2ln 5 2ln 4 1
x x
x
e e
e
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −
∫ ∫ ∫
( )
2 2 2

2
2 2 1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
(
)
( )
2
2
2
0 0 0
2 2
0 0
4 4
2
2 2
2 1
0 1 1
4 2 8
4 1
0
4
3 cos sin
3 cos sin
4 4 4 4 4
tg t
x dx
dt dt
x
tg t
ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ
CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Chứng minh rằng :
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
4
4
1. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 1
3.
1
xdx xdx
xdx xdx
x x
dx dx
x x
∏ ∏
∏
∏

>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫

Bài giải :
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 1
1. 0; 2sin .cos 2cos
0 cos 1
4
sin2 2cos sin2 2 cos
x
x x x x
x
x x xdx xdx

≤ ≤
 

∏

 

x x xdx xdx

≤
 

∏

 
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤


 
≤
 


⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫[
]


3. 1;2
x
∀ ∈
Xét hiệu :

2

∏
0
∏
∏
∏
∏0
2
2
2
sin sin( ) sin
2
( )
0
2
1 1
0 0
2
x
x u x
dx du dx
x u x
u
x x x
x x
∏−
⇒ = − =
∏− ∏−

⇒ >
∫ ∫5. Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)
2
cũng liên tục trên [1,2]
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<
∫ ∫

    
∈ 

Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x
0
= 1⊂
⊂⊂
⊂ [1,2]

0
1
0
1
8
25
3
0
3
1. 2 4 5
1 1
2. 1
2
1
1 1
3.
26
26 2
1
dx
dx
x
x
dx
x
+
+
+
∫
∫

4
x
x x
dx
x x
e x
dx
e
x
dx
x x
−
−
+
+
− −
∫
∫
∫

0



 

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân


0 0 0 0
8 8
2. 0 1 0 1 1 1 2
1 1
0 1 2 1
2
1
1 1
1
2 2
1 1
x x x
x
x
dx dx
dx dx
x x
≤ ≤ ⇒ + ⇒ +
⇒ ⇔
+ +
⇒ ⇒
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
310 10
3
25 25
25

[ ]
sin
;(1) 0,1 .
1 sin 1
x x x
x
x x x∀
+ +
 ∈

Giả sử ta có : (1).
[ ]
(1) ⇔ ∀ ⇔
1 1 1 1
1 1 ; 0.1
1 sin 1 1 sin 1
x
x x x x x x
− −
+ + + +
 

⇔ ⇔
1 1 .sin (1 sin ) 0
x x x x x
+ + −


1 .sin
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
dx x x
x x
x x
dx
x x
 


= −




 
+ + +
− + = −
+
−
+
∫ ∫ ∫
∫
∫

x
e x
x
e x dx dx
dx I I
e e
x x x
−
−
−

< =

 
⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <

 
+
+

< <

⇒ < < = =
+ + +
∫ ∫ ∫


∈

Đặt

dt dt t
tg t
t
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = = =
∏ ∏
+
∫ ∫

4

Vậy
2
1
3
sin
0
12
1
x
e x
dx
e
x
−

⇒
− − − −
⇒ = =
− − − −
∫ ∫ ∫

     
 
 
 
 Đặt
2sin 2cos
x t dx tdt
= ⇒ =( )
2
0 0
6 6
0 1 2 cos
6
0
4 2sin
6
x tdt
I dt

2 8
4 2 2 sin
tdt
J
t
∏
∏
∏
⇒ = = =
−
∫

1
0
2 3
2
6 8
4
dx
x x
∏ ∏
⇒ ≤ ≤
− −
∫
Chứng minh rằng :
2
2

4
0
1 6
3. 1 sin .
2 2 4
1
4. 0.88 1
1
x dx
dx
x
∏
∏ ∏
≤ + ≤
< <
+
∫
∫

Bài giải :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân10
( )

  
2
°
°x

Từ (1) và (2) suy ra
2
: 1
x x
e e
− −

 

2 2 2
1 1 1 1
0 0 0 0
1
1
x x x
e
e dx e dx dx e dx
e
− − −
−
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
   
1 3 1 6
1 sin 1 sin .
2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx
∏ ∏ ∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏
⇒ + ⇒ +
∫ ∫ ∫ ∫     
   4.
Cách 1:
(
)
0,1
x∀
∈
thì
4 2 4 2
4 2
1 1
1 1
1 1
x x x x

x x
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
∫Vậy :
1
4
0
1
0,88 1
1
dx
x
< <
+
∫Chú ý : học sinh tự chứng minh
2 2
2 2
1
ln
dx x x a C
a x
= + + +
+
∫

x
=
+
∫Đặt
( )
2
2
1
1
cos
x tgt dx dt tg t dt
= ⇒ = = +

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân11
(
)
( )
4 4
4
2
0 0
2
Đặt
0
4
sin cos
0
t
u t du tdt
u
∏
= ⇒ =
1
2

( )( )
2
0 0 0
1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2 1 2 1
du u u
I du du
u u u u u

1
0
+
= > ⇒ >
−
+
∫

Mặt khác
4
4
1
:1 1 1
1
x
x
+ > ⇒ <
+( )
4
1
1 2
1
dx dx
x
1 1
0 0
⇒ < =

2. ln 2
1
.sin
3.
1 12
x
x tgx dx
nx
dx
x
e x
dx
x e
∏
−
∏
< <
+
∏
<
+
∫
∫
∫


( )

n n
x
∏
∏
−
− −
∏
<
+
∏
   
− −
   
− −
   
+
∫
∫
∫

 Bài giải :
1. 0 0 1 0 1 0
4
x tgx tgx x tgx x


∏
< <


= = + +
∫ ∫ ∫ ∫



Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân12
Ta có :
4 4
4 4
4
0 0
0 0
2
0
0
0 0
0
0
32
x tgx dx xdx

 

 

Chú ý :
(
)
[
]
, ,
a b
α β
⊂
thì
( ) ( ) ( ) ( )
b b
x x x x
a b
f dx f dx f dx f dx
α β
α β
= + +
∫ ∫ ∫ ∫Tuy nhiên nếu :
( )
x
m f M
 

< <
∫ ∫ ∫

(Đây là phần mắc phải sai lầm phổ biến nhất )Do chưa hiểu hết ý nghóa hàm số
( )
x
f
chứa
(
)
,
α β
liên
tục
[
]
,
a b
mà
(
)
,
α β
⊂
[
]
,
a b
)


1
3 3 3
2 2 2
1 1
1
3. 1 3
sin 1
1
.sin .sin
1 1 1
x
x x
e e
e
x
x
e x e x
e
dx dx dx
x x x
− −
− −

=

⇒



⇒

I dx
x
=
+
∫

Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +

(
)
3 3
4 4
2
2
1
1 3
1 12
4 3
tg t
x
dt dt
tg t
t
∏ ∏
13
1
1
, 1, 3
sin 1
sin 1
x
x
e e
x x
x
x
− −
=

=

 
⇔ ⇒ ∅ ∀
 
 
=
=


∈ ∈

Vậy

− − −
+ + +
∫ ∫ ∫

 

Do
x
y e
−
=
giảm
( )
1
1
max
x
e e
e
− −
⇒ = =3 3
2 2
1 1
cos 1 1
1 1 12
x
e x

 
 
=
=


∈ ∈

Vậy
3
2
1
cos
1 12
x
e x
dx
x e
−
∏
<
+
∫
5. Đặt
2
1
1

100 100
100
cos 1 sin
sin
cos 1 1 1
200
x x
dx x dx
x x x
x
dx dx
x x x
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒ = +
⇒ = − =
∏
∫ ∫
∫ ∫


Vậy
200
100

0
0 0
1
6. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
.
1 1
1
x
x
n n n
x
n n n
n n
x
n
e e
x e e
x x x
e
dx dx e dx
x x x
x x
e
dx e
n n
x

x
− −
   
− − >
   
− −
   
+
∫

 

Bài toán này có thể giải theo phương pháp nhò thức Newton .

Chứng minh rằng : nếu f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục và x xác đònh trên [a,b] , thì ta có :
( ) ( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
. . .
b b b
x x x x
a a a
f g dx f dx g dx
∫ ∫ ∫




1 2

n
n
α
α α
β β β
= =

Thật vậy : phân hoạch [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia :
a = x
0
< x
1
< x
2
< …. <x
n
= b và chọn :
[ ]
1 1
, ,
i i
b a
x x i i n
n
ξ
−
−
= ∀

f dx f
n
b a
g dx g
n
ξ
ξ
→+∞
=
→+∞
=
→∞
−

=



−

=


∑
∫
∑
∫

⇔
−
 
 
 
∑ ∑
∑

Từ (4) ta cũng có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
. .
n n n n
i i i i
i i i i
f g f g
ξ ξ ξ ξ
= = = =
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∑
5



]
2
2 2 2
2 2 2
0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0
b b b
a a a
tf x g x t f x t f x g x g x
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
− = − +
⇒ = − +
∫ ∫ ∫


h(t) là 1 tam thức bậc 2 luôn không âm nên cần phải có điều kiện :
(
)
2
2
2 2
2
2 2
0
' 0
0
( ). ( ) ( ) . ( ) 0






Chứng minh rằng :
2
3
sin
5
1. 1
2
3
2.
2
x
x dx
e dx
+ <
∏
>
∫
∫
1
0
1
0
Bài giải :
1. Ta có
(
)
2
2 2
: ( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
∫ ∫ ∫


( đã chứng minh bài trước )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 2 2
1 1 1 1
3 2 2
0 0 0 0
( ). ( ) ( ) . ( )

1
2 2
3 2
5
1
2
x
x x
x dx x
x
x dx
 
 
+ < + =
 
− +
 
 
 
 
⇒ + <
∫
∫2 2 2
2
sin sin sin
0
2.


16

(
)
2
2
2 2
2 2 2
2
sin
sin sin
2
0 0 0
2 2 2
sin cos sin
0 0 0
2
t
x x
x x x
e dx e dx e dt
e dx e dx e dx
∏
∏
∏
∏
+
∏ ∏ ∏
⇒ = +

0 0
2 2
2 2 2 2
sin sin
0 0 0 0
2
sin
0
0
sin
0
.
1 3
;
2 2
3
2
x x
x x
x
x
e dx e dx
hay e dx e dx e dx e dx
e dx e e e
e dx
∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
∏
∏
∏

0 0
2
2 2
2
0 0 0
2
2 2
2
2
2
1
2
0
3.
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 1
1 1
2 2
1
1 (1)
2
x x
t
t t t t
x t t
t
t t t t t
b b b
a a a
x





Mặt khác
2
: ; 0
t t t
e e e t x
−
+ > ∀ < <2
0 0
1 (2)
x x
t t t x
e e dt e dt e
−
⇒ + > = −
∫ ∫Từ (1) và (2) suy ra
( )
2

x x
x x x
x x x x
dx dx dx
x x x
−
 
 
+ − + =
 
 
+ + +
− −
⇒
+ + +
∫ ∫ ∫

 

Đặt
(
)
2
1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân

+
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1
0 0 0
1
0

4

Chứng minh bất đẳng thức tích phân bằng phương pháp đạo hàm
.

Chứng minh rằng
:
(
)
(
)
( )
11
7
1
2
0
1. 54 2 7 11 108
4

∏ ∏
+
∏
>
∫
∫

 Bài giải
:
1. Xét
( )
(
)
(
)
[
]
7 11 ; 7,11
f x x x x= + + − −
∈

( ) ( )
11 7
' ' 0 2
2 11 7
x x
f x f x x

f x dx f x dx dx
x x dx
− − −
−
⇒ ⇒
⇒ + + −
∫ ∫ ∫
∫
   
 
2. Xét hàm số : f(x) = x(1-x
2
) ;
[
]
' 2
0,1 ( ) 3 - 4 1
x f x x x
∀ ∈ ⇒ = +

⇒
f’(x)=0
1
x x
1
⇔ = ∨ =
3

Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân18

4
0 ( )
27
f x⇒  

(
)
(
)
( )
(0) (1)
1 1 1
0 0 0
1 1 4
0, ; ,0
3 3 27
0
4 4
0 ( ) 0 ( )
27 27
x
x f
va
f f
f x dx dx f x dx

= + ∀
   
   

∈
 ∈

⇒
f(x) là hàm số tăng
( ) ( )
( )
0
4
0,
4
x
x f f f
∏
∏
 
∀ ⇒
 
 
∈  ( )
4
0
2



⇒
hàm số f(t) đồng biến
0
t
∀


Vì x > 0 nên f(x) > f(0) = 0
(
)
1 0 1 1
x x
e x e x
⇒ − − > ⇔ > +Do vậy :
( ) ( )
2
sin 2
0, 1 sin (1)
x
x thi e x do∀ ∏ > +
∈( )
2

1
2
0
2 1
1.
5 1 2
3 sin 1
2.
4 2
3 1 2 3
3.
3 3
cos cos 1
x
dx
x
x
dx
x
dx
x x
∏
∏
∏
+
∏ ∏
+ +
∫
∫
∫

x x
x x dx
∏
∏
−
< <
+ −
< + + − <
∫
∫
∫
 

Bài giải :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân19
1. Xét :
( )
[ ]
2
; 1,2 .
1
x

]
( ) ( ) ( )
2 1
1,2
x
x f f f
∀ ⇒
∈  

2 2 2
2 2
1 1 1
2
2
1
1 1
1 2 1 2
2 1
5 1 2
x x
dx dx dx
x x
x
x
2 2
⇒ ⇒
5 + 5 +
⇒
+
∫ ∫ ∫

= − ⇒ = − < ∀
 
 
∈⇒
Z đồng biến trên
;
6 3
x
∏ ∏
 
∀
 
 
∈
và :

( )
( )
3
'
3 3
0 ; ;
6 6 3
0 ; ;
6 3
x
Z Z x

f’
(x) −f
(x)

3
3 3
2
∏
∏
ց
( )
3 3 33
6 6 6 6
3 3 3
2
3 3 sin 3
2
3 3 sin 3 sin 1
2 4 2
X
f

∈ ∈

và
( )
[
]
2
1; 1,1
t
f t t t
= + + −

∈

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân20
( ) ( )
' '
1
2 1; 0
2
t t
f t f t
= + = ⇔ = −
3
3 ; 1,1
4
t
f t
⇒ ∀ −
  ∈[ ]
2
2
2
2
0 0 0
2
0
3
cos cos 1 3 ; 0,
4
3 1 2
cos cos 1 3
2
3
cos cos 1
1 1 2
cos cos 1
3 3
3 1 2 3
3 3

2
0
3 1 2 3
3 3
cos cos 1
dx
x x
∏
∏ ∏
< <
+ +
∫
(học sinh tự giải thích vì sao)

( )
cot
4. ;
x
gx
f
x
=

liên tục
;
4 3
x
∏ ∏
 
∀

 

(
)
( )
(
)
3 4
x
f f f
∏ ∏
⇒
 

3 3 3
4 4 4
3
4
3 cot 4 cot 4
3 cot 1
12 3
gx gx
dx dx dx
x x
gx
dx
x
∏ ∏ ∏
∏ ∏ ∏
∏
x
-
∞
0
1
2
1 +
∞

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân21
f’
(x)

+
0
−

f
(x)

2 2
ր ց
9

2
x
x
f
f f

∃

⇒ < <

= =


∈

2
2
1 1 1
2
0 0 0
1
2
0
9 2 1 1
2 2
4 3
2
2
2 1 1
3

4 4
'
3 3
4 4
3 3
'
4 4
1 1 ; 1,1
1 1 1
4
1 1
0 1 1 0
x
x
x
f x x x
f
x x
f x x x
= + + − −
 
 
= −
 
+ −
 
= ⇔ − = + ⇔ =
∈

Mặt khác :

4 4
2 2
ր ց
2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
4
4
4
1 1
1 1 1 1
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
2 2
-1, 0 ; 0,1
2 2
2
2 1 1 2 2 2 1 1 4
x
x
f

Chứng minh rằng
:
2
2
2
2
4
0
200
-
100
100
1
10
1. 2. 2
2. 0,005
9
3. 90 ln10 90 ln10
200
x x
x
x
e e dx e
e dx
e dx
− −
≤ ≤
<
− ≤ < + +
∫

x
∏
∏
+
 
− ≤
 
 
∏
≥ +
<
∫
∫
∫


Bài giải :
1. Đặt
( )
[
]
2
; 0, 2
x
f x x x
= −
∈

+
0
−

f
(x)

0 2
−
ր ց
1

4 ( )
2 2
2
2
2 2 2
1
2 2
4 4
4
0 0 0
2
2

2
2
2
4
0
2. 2.
x x
e e dx e
− −
< <
∫

2. Trước hết ta chứng minh :
( )
2
2
1
; 1 0
x
e x
x
−
≤ ≠Đặt
2
; 0 0
t x x t
= ≠ ⇒ >

Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân23
( )
t
f
⇒
luôn đồng biến
0
t
∀ >

và
( ) ( )
0
1 0
t
f f
= >
( )
2 2
2 2
1 1
0 , 0

−
− − + ∀ >
 

Đặt
1
; 0 0
t x t
x
= − > ⇒ <

( ) ( )
2
1
1 1 1 ; 2 0
2
t
t e t t t
⇔ + + + <
 

Xét hàm số
( ) ( )
2
1
1 ; 1 ; 0
2
t t
t t
f e t h e t t t
( )
0 ;
1 0 ; 0
t
t
f
hay e t t
⇒ > ∀τ < 0
− − > ∀ <(
)
1 ; 0 3
t
t e t
⇒ + < ∀ <( )
'
• 1
t
t
h e t

hay e t t
⇒ < ∀ <
< + + > ∀ <
Từ (3) và (4) suy ra :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân24
2
1
2
100 100 1001
2
10 10 10
1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1 ; 0
2
1 1 1
1 1
2
t
x

* Là bài toán khó , hi vọng các em tìm điều thú vò trong bài toán trên – chúc thành công .

4. Xét
( )
4
4
3
2 ; 0,
cos 3
x
f tg x x
x
∏
 
= −
 
 
∈

Đặt
[ ]
2
2
1
1 ; 0, 1; 4
cos 3
t tg x x x t
x
∏
 

tg x dx
∏
⇒ = + − ⇒ = + > ∀
⇒ ⇒ 3
⇒ ≤
 
⇒ −
 
 
∫ ∫ ∫
∫∈
   

 5. Xét hàm số
( )
1 ; 0
x
x
f e x x
= − − ∀


có
( ) ( )

1
1 ; 0
1
1 1
1 1 *
1 1
x x
x
x
x
f f e x e x x
e x
x
e dx dx dx
x x
+
+
⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀
⇒ + ∀
+
 
⇒ + = +
 
+ +
 
∫ ∫ ∫   
 

=

+
=

∏

⇒ ⇒ = =
 
∏
=
+ +
=



∫ ∫

Từ (*) suy ra :
2
1
1
1
4
x
e dx
+
∏
+
∫

x
f tg x
x
∏
 
=
 
 
∈

( )
'
2 2
sin
2 .cos
2
x
x x
f
x
x
−
=

Đặt
sin ' 1 cos 0 , 0,
2
Z x x Z x x
∏
 

+
f
(x)

2
∏
−∞
ր
( )
2 2 2
0 0 0
2 2
2
2
2 2
1
x
x
tg
f
x
x x
tg tg
dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏
⇒ < ⇒ <

n
x e dx
x x x dx
xtg xdx
n
∏
∏
+
∏ ∏
> +
+ + + + −
∏
 
 
+
 
∫
∫
∫

Bài giải :
1. Trước hết ta chứng minh :
(
)

x
f
⇒
là hàm tăng
( ) ( )
'
0
; 0 0
x
x f f
∀ > ⇒ > =

( )
x
f
⇒
là hàm tăng
( ) ( )
0
; 0
x
x f f
∀ > ⇒ >