SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH
Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ
bản của THCS. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng. Ta nhớ lại những điều
cần thiết :
* Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x
1
, x
2

là các nghiệm của phương trình.
* Các điều kiện quan trọng :
+) x
1
< 0 < x
2
tương đương P < 0
+) 0 = x
1
< x
2
tương đương P = 0 và S > 0
+) x
1
< x
2
= 0 tương đương P = 0 và S < 0
+) x
1
= x

- mx
2
+ 3m - 8 = 0 (3)
Lời giải : Đặt t = x
2
Δ 0 thì (3) trở thành : t
2
- mt + 3m - 8 = 0 (4)
Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu các nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào dấu của các biểu
thức :
Δ = m
2
- 12m + 32 ; P = 3m - 8 ; S = m
Ta lập bảng biện luận :
Bài toán 2 : Tìm m để phương trình x
4
- 2mx
2
+ m
2
- 3 = 0 (5) có đúng ba nghiệm phân biệt.
Lời giải : Đặt t = x
2
0 thì (5) trở thành : t
2
- 2mt + m
2
- 3 = 0 (6)
Phương trình (5) có đúng ba nghiệm phân biệt tương đương với phương trình (6) có nghiệm t
1

< 0 < t
2
hoặc t
1
= t
2
> 0
3. Phương trình:
Để không tầm thường ta giả sử k ≠ 0.
Đặt ẩn phụ :
thì (10) trở thành (2). Với mỗi giá trị t ≥ 0 cho ta một nghiệm duy nhất x = 1/k.(t
2
- n). Do đó số
nghiệm của phương trình (10) đúng bằng số nghiệm không âm của phương trình (2).
Bài toán 4 : Tìm m sao cho phương trình:
có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải : Đặt thì phương trình (11) trở thành t
2
- mt + 2m - 3 = 0 (12)
Phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt tương đương Phương trình (12) có hai nghiệm phân
biệt t
1
, t
2
thỏa mãn t
2
> t
1
≥ 0
Tương đương với Δ > 0 , P ≥ 0 và S > 0