LỜI MỞ ĐẦU
Tối ưu hóa trong các lĩnh vực là một việc tất yếu và rất cần thiết
nhằm mục đích đạt được kết quả cao, các bài toán tối ưu là một công
cụ hữu hiệu giúp chúng ta có những giải pháp đơn giản nhất để giải
quyết một vấn đề dù đơn giản hay phức tạp. Các bài toán tối ưu mà
bản chất là bài toán giải tìm cực trị của một hàm dưới những ràng
buộc nào đó nên có rất nhiều thuật toán thích hợp để giải.
Ngày nay, với sự phát triển của khoa học và kĩ thuật tin học,
phạm vi ứng dụng của tối ưu hóa ngày càng được mở rộng, các bài
toán tối ưu được giải quyết nhanh và chính xác hơn. Ngành Hệ Thống
Điện là một trong những lĩnh vực mà bài toán tối ưu hóa được ứng
dụng rất nhiều như: Tối ưu hóa công suất giữa các nhà máy, tối ưu
nhiên liệu phát, tối ưu truyền tải, phân phối… chính vì thế môn học: “
Tối ưu hóa trong Hệ Thống Điện” được chọn là một trong những môn
học chính được áp dụng cho sinh viên trong ngành này.
Với sự hướng dẫn của thầy Lã Minh Khánh, chủ nhiệm môn: Tối
ưu hóa trong Hệ Thống Điện, em cùng các bạn trong lớp đã hoàn
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
thành chuyên đề tối ưu hóa của mình. Chuyên đề của em làm là : Bài
toán tổng quát tối ưu hóa công suất giữa các nhà máy nhiệt điện với
phương pháp hệ số Lagrange.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của Thầy!

Hà nội, ngày ,tháng , năm2011
Sinh viên thực hiện
2
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA CÔNG SUẤT GIỮA CÁC NHÀ MÁY


a.Phương pháp toán học
Lời giải cho bài toán này là phải tìm toàn bộ các điểm P thuộc
g(x,y) = 0 mà khoảng cách d(M,P) từ M đến P cộng với khoảng
cách d(P,C) từ P tới C là tối thiểu. Vì địa hình coi là bằng phẳng
nên đường thẳng sẽ là khoảng cách ngắn nhất giữa 2 điểm. Điều
kiện ràng buộc ở đây là điểm P thuộc đường g(x,y) = 0 . Chính vì
thế chúng ta sẽ đặt ra một hàm tương đương là f(P) = d(M,P)

5
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
+d(P,C) và tìm cách để giảm thiểu hàm này với điều kiện ràng
buộc là g(P) =0.
b.Phương pháp hình học
Cách thứ hai để giải quyết vấn đề này là dựa trên chính hình vẽ
của đề bài: từ hai tiêu điểm M và C ta dựng được quỹ tích các
ellipse f(P) với độ lệch tâm khác nhau. Tiến hành tính tổng khoảng
cách từ 2 tiêu điểm M và C đến 1 điểm P nằm trên các ellipse. Có
rất nhiều đáp án cho việc M đi qua P và tới C với khoảng cách
ngắn nhất ( với P là điểm thuộc ellipse), nhưng bài toán bị ràng
buộc là điểm P thuộc đường cong g(x,y)=0. Với ràng buộc này để
tìm được những điểm P mong muốn trên g(x,y) = 0 đơn giản nhất
là tìm ra một ellipse nhỏ nhất tiếp tuyến với đường cong g(x,y) = 0
tại P (hình vẽ).
Cách giải quyết vấn đề này chỉ là trên lí thuyết, về thực tế bài
toán sẽ phức tạp hơn nhiều ( giả sử mô hình bài toán là không bằng
phẳng? ). Vậy để giải quyết cho một bài toán chung ứng dụng
được cả trong thực tế thì ta phải giải quyết như nào?
Chúng ta đưa ra phương pháp hệ số Lagrange.


g
1
(x
1
, x
2
,…x
p
,…x
n
)
≥
0
g
2
(x
1
, x
2
,…x
p
,…,x
n
)
≥
0
g
3
(x
1

Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
(2-1), (2-2) tuyến tính và x
1
≥
0 ta có thể dung thuật toán quy hoạch
tuyến tính để giải như phương pháp hình học, vận tải…
Ví dụ tìm các giá trị x
1
, x
2
sao cho
2 2
1 2 1 2
( , )F x x x x= + →
min
Thỏa mãn
1 2
1
2 3
x x
+ =
Lời giải
Từ
1 2
1
2 3
x x
+ =
suy ra
1

4
F
x
F
x x
x
∂
=
∂
∂
= − − =
∂
Giải rat a được
1
18 /13x =
và
2
12 /13x =
Xét đạo hàm cấp 2:
2
2
1
18 26
2 0
4 4
F
x
∂
= + = >
∂

, x
2
,…x
p
,…,x
n
) = F(x
1
, x
2
,…x
p
,…,x
n
) +
1 2
1
. .(x , x , , x )
m
i i n
i
g
λ
=
∑
(2-3)
Trong đó
i
λ
i =

1
, x
2
,…x
i
,…,x
n
) và (
1
λ
,
2
λ
,………
m
λ
) sao cho

1
( )
( ) ( )
. 0
m
j
i
i
j j j
g X
L X F X
x x x

.
Để xác định hàm L(X) đạt cực tiểu hay cực đại ta cần phải xét thêm
đạo hàm cấp 2 của hai hàm L(X) và F(X) tại các điểm dừng đã giải
ở trên.
Nếu
2
0d L <
thì hàm F(X) hoặc L(X) đạt cực đại và ngược lại nếu
2
0d L >
thì hàm mục tiêu sẽ đạt cực tiểu.
b.Hệ ràng buộc là các hàm tương quan
Trong trường hợp hàm đạt mục tiêu F(X) và các ràng buộc g(X)
là những phiếm hàm ( tồn tại tương quan giữa các hàm) khi đó tìm
cực trị của các phiếm hàm phải sử dụng các bài toán biến phân.Ví
dụ như trường hợp tính phân bố tối ưu công suất trong nhà máy
thủy điện vì khi đó phải xét cả chu kì điều tiết.
Bài toán được phát biểu như sau
Cần phải xác định các ẩn số x
1
, x
2
,…,x
p
,…,x
n
của thời gian t sao
cho hàm mục tiêu là phiếm hàm đạt cực trị
1
0

2
,…x
j
,…,x
n
) =0
g
3
(t,x
1
, x
2
,…x
j
,…,x
n
) =0
(2-7)
………………………
g
m
(t,x
1
, x
2
,…x
j
,…,x
n
) =0

V F t x dt= →
∫
min(max)
(2-10)
*
1
( , ) ( , ) ( ). ( , )
m
i i
i
F t x F t x t g t x
λ
=
= +
∑
(2-11)

11
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
Các giá trị với x
j
(t) với j =[1 n] và các hệ số nhân
( )
i
t
λ
với i
=[1 m] có thể nhận được bằng cách giải hệ phương trình đạo hàm
riêng của hàm Lagrange và viết trong dạng hệ phương trình Euler
như sau

− =
 
 
(2-12)
Trong đó
*
*
( )
j
i
F
f x
x
∂
=
∂
;
1,j n=
(2-13)
*
* '
'
( )
j
j
F
f x
x
∂
=

Áp dụng vào bài toán ở ví dụ trên theo phương pháp Lagrange
Thành lập hàm Lagrange
1
1 2 1 2 1 2
1
2 2
1 2
1 2 1 2
( , ) ( ) . ( , )
( , ) . ( 1)
2 3
m
i i
i
i i
L x x F x x g x x
x x
L x x x x g
λ
λ
=
=
= + +
= + + + −
∑
Xác định các điểm dừng bằng cách giải các phương trình
1
1
1
1

1
18
13
x =
và
*
2
12
13
x =
Và khi đó giá trị của hàm mục tiêu là
*
36
13
opt
F =
kết quả nhận được bằng với phương pháp thế.
PHẦN II.ÁP DỤNG CHO BÀI TOÁN PHÂN BỐ TỐI ƯU
CÔNG SUẤT GIỮA CÁC NHÀ MÁY NHIỆT ĐIỆN.
I.Bài toán tổng quát

13
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
Có n nhà máy nhiệt điện cung cấp cho phụ tải tổng hợp P
pt
cố
định. Biết những số liệu về đặc tính tiêu hao nhiên liệu ở từng nhà
máy. Cần phải xác định công suất phát tối ưu của mỗi nhà máy P
j
với j=[1 n], sao cho chi phí nhiên liệu tổng trong hệ thống đạt cực

= + + + + + − ∆ − = − ∆ − =
∑
Với
0
j
P ≥

1, ;j n P= ∆ =
const;
pt
P =
const
Ta giải bằng phương pháp Lagrange
Thành lập hàm Lagrange
( ) ( ) ( )L P B P g P
λ
= +
Điều kiện để hàm số L(P) đạt cực trị

14
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( )
0

( ) ( ) ( )
0

Giả thiết :
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
n
B P B P B P B p= + + +
Khi đó
1 2
( )

j j
n
j
j j j j j j
B B
B
B BB P
P P P P P P
ε
∂ ∂
∂
∂ ∂∂
= + + + + + = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Với giả thiết
0;
k
j
B
k j
P

=
= + + + + − ∆ − = − ∆ − =
∑
Ta tính được
1 2
1 1 1 1
( )
( )
1
pt
n
n
P P
P
P Pg P
P P P P P
∂ + ∆
∂
∂ ∂∂
= + + + − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Tổng quát

15
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
1 2
( )
( )
1
j pt j

P P P
λ ε λ
λ ε λ
λ ε λ
∂ ∂ ∂

= + = + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= + = + =

∂ ∂ ∂



∂ ∂ ∂

= + = + =

∂ ∂ ∂

Do đó điều kiện cực trị là
1 2
0
n n
ε λ ε λ ε λ ε λ
+ = + = = + = = + =

( thực tế như vậy) ta có thể

16
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
chứng minh hàm mục tiêu B(P) đạt cực tiểu bằng cách xét thêm các
đạo hàm cấp 2 và có được
2
2
( )
0
j
L P
P
∂
≥
∂
hay
2
( ) 0d L P ≥
Nếu xét tổn thất công suất phụ thuộc vào công suất phát
j
P
nghĩa là
1 2
( , , , )
n
P P P P P∆ = ∆
Điều kiện cực tiểu của hàm Lagrange có thể viết
1
1 1 1 1

n
P
P








∂∆

− =

∂

Khi đó nguyên lí phân bố công suất tối ưu là
1 2
1 2

1 1 1
n
n
P P P
P P P
ε
ε ε
= = =
∂∆ ∂∆ ∂∆

liệu
ε
. Suất tăng
ε
thể hiện nhịp độ tiêu tốn nhiên liệu khi tăng
công suất P phát ra. Vì vậy theo nguyên lí phân phối trên đây để đạt
cực tiểu nhiên liệu tiêu hao trong toàn hệ thống, nhà máy có
ε
sẽ
nhận phát nhiều công suất và nhà máy có
ε
lớn( nghĩa là làm việc
không kinh tế) sẽ phát ít công suất. Nguyên lí này thể hiện tính cân
bằng trong phân phối tối ưu .
2.Cần phải phân biệt rõ suất tăng tiêu hao nhiên liệu
ε
và suất tiêu
hao nhiên liệu
γ
.Ứng với mỗi nhà máy nhiệt điện có thể xây dựng
được đường đặc tính tiêu hao nhiên liệu B phụ thuộc công suất phát
ra P như hình 2. Giả sử tổ máy đang làm việc tại điểm a:
a
a a
a
B
tg
P
γ
= =

Từ O vẽ tiếp tuyến Ob, điểm b gọi là điểm làm việc kinh tế,tại
điểm làm việc này công suất phát là P
kt
ứng với chi phí nhiên liệu
là B
kt
. Khi P>P
kt
thì theo đặc tính ta thấy suất tăng tiêu hao nhiên
liệu tăng nhanh, càng tiêu hao nhiều nhiên liệu. Vì vậy theo quan
điểm kinh tế để tiết kiệm nhiên liệu chỉ vận hành với P<P
kt
. Tại
điểm làm việc kinh tế ta có
( )
( )
kt
kt
kt
B P
dB
P
dP P
=
nghĩa là suất tiêu hao
nhiên liệu bằng suất tăng tiêu hao nhiên liệu.
Phụ tải hệ
thống
P[MW]
Tiêu hao nhiên

1070 1050
0,200
2600 2500
B
P
B
P
γ
ε
= = =
∆ −
≈ = =
∆ −
kg/kWh
3.Thủ tục phân phối công suất
Xét trường hợp tổn thất công suất là hằng số, không phụ thuộc vào
công suất phát của các nhà máy. Giả sử ta cần phân phối công suất
P
kt
cho n nhà máy, ta tiến hành như sau
-Với mỗi nhà máy ta xây dựng được mối quan hệ suất tăng tiêu
hao nhiên liệu phụ thuộc vào công suất phát
j
ε
=
( )
j j
P
ε
với j=[1 n]

Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
Và thỏa mãn điều kiện cân bằng công suất
* * * *
1 2

j n pt
P P P P P P+ + + + + = ∆ +
Ta nhận thấy rằng nhà máy nào có công suất tiêu hao nhiên liệu
càng nhỏ thì càng nhận nhiều công suất.

21
Báo cáo chuyên đề tối ưu hóa
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU

22