Phú Khánh và
Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 1

DẤU BẰNG
Lê Anh Dũng
(G/v THPT chuyên Huỳnh Mẫn ðạt – Kiên Giang)
Các em h/s và các bạn thân mến, trong các ñề thi TSðH thường có một câu V là câu
khó (ñể chọn các cao thủ võ lâm) câu này những năm gần ñây thường cho dưới dạng các
bài toán BðT. Và thường thì các sĩ tử không biết bắt ñầu từ ñâu ñể giải quyết nó. Bài viết
này tôi sẽ truyền ñạt cho các bạn một “tuyệt chiêu” võ công ñộc ñáo (chỉ cần một chiêu thôi).
Sau khi học ñược “tuyệt chiêu” này các bạn sẽ thấy các vấn ñề trở nên rất ñơn giản.
ðể lĩnh hội ñược “tuyệt chiêu” mà tôi tổng hợp từ vô số các chiêu thức của các môn
phái khác thì trước tiên các bạn phải nắm ñược một số “chiêu thức” bản ñã.
1. Bất ðẳng thức Côsi
(các chiêu này xem trong “ðại số 10”)
a. Bất ðẳng thức Cauchy cho 2 số :
Cho 2 số a, b
≥
0 .Khi ñó: a + b
≥
2
ab
. Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b.
b. Bất ðẳng thức Cauchy cho 3 số :
Cho 3 số a, b, c
≥
0 . Khi ñó ta có: a + b + c
≥

+ b
2
+ c
2

≥
3
1
(a + b + c)
2

≥
ab + ac + bc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
4. Với a, b > 0. Ta có : (a + b)(
ba
11
+
)
≥
4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b (hay :
ba
11
+
≥
ba
+
4
)
5. Với a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)(
cba

++

Dấu ‘=’ xảy ra khi
2
2
1
1
b
a
b
a
=
(Nếu bỏ dấu
thì cần thêm
≥
0 nữa)
TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ðẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ðOÁN
Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 2

b. Nhận dạng:
+ Tổng các cặp số có tích không ñổi.
+ Tổng bình phương bằng một số không ñổi.
c. Ứng dụng

+ Nhập các tổng bình phương thành một.
3. Khảo sát hàm số


π
)
2
≤
.
Vậy f(x)
max
= 2.
Nhận xét
: bài giải trên sai (bài giải ñúng xem ở dưới) do ñã vướng sai lầm trong tìm dấu
‘=’. f(x) không thể ñạt giá trị bằng 2 ñược vì ñể tới BðT cuối chúng ta ñã thực hiện 2 phép
biến ñổi :
+ lần 1: sin
5
x
≤
sinx ; dấu ‘=’ khi x = 0,
π
/2.
+ lần 2: 2sin(x +
6/
π
)
2
≤
; dấu ‘=’ khi x=
6/
π

Như vậy, khi thực hiện mỗi bước biến ñổi ta thường tự ñặt ra câu hỏi:

2
2
2
2
2
111
z
z
y
y
x
x
+++++
82≥

Phân tích:

B1. Dự ñoán dấu ‘=’: x = y = z = 1/3
B2. ðể làm mất dấu căn, ta có thể suy nghĩ theo 2 hướng: mất dấu căn ở từng số hạng
hoặc nhập dấu căn ở mỗi số hạng thành một.
1. Nếu suy nghĩ theo hướng mất dấu căn ở từng số hạng ta dùng BðT Bunhiacopxki:

+
2
2
1
x
x
+
ở dạng tổng hai bình phương

x(
9
91
1
22
2
2
+≥++
. Tương tự với y, z
và cộng lại, ta ñược: P.
zyx
999
82 ++≥
+ x+ y+ z.
+ Vế phải là tổng các phân sốquen (BðT Côsi )
→
zyxzyx ++
≥++
9111
. (Dấu ‘=’ vẫn ñảm bảo)
→

82
P
zyx
zyx
++
+++≥
81
t

1
) và
w
= (z ;
z
1
)
cùng hướng ñược tức ñẳng thức sau xảy ra ñược : P =
22
111
)
zyx
()xyx(wvuwvu
+++++=++≥++

+ Tới ñây thực hiện các bước phân tích như 1.
Khi thay dữ kiện x + y + z
1
≤
bằng dữ kiện khác, chẳng hạn: x + y + z
2
≤
thì vế phải bài
toán như thế nào ?
Thí dụ 2:
(DBðH - 2003)
Tìm GTNN, GTLN của : P = sin
5
x +
3

x, sin
4
x, . . . thì ñưa về t = cosx ñược). Phải ñánh giá như thế nào
ñể dấu ‘=’có ñược khi sinx = 0
→
sin
5
x
≤
sin
4
x
→
Khi ñó : sin
4
x = (1 – t
2
)
2

f(x)
≤
g(t) = (1 – t
2
)
2
+
3
t , t
∈

) > 0
⇒

g’(t) > 0,
];[t 11
−
∈
∀
. Suy ra : max g(t) = g(1) (vẫn ñảm bảo dấu ‘=’ như ở trên).
Thí dụ 3:
(ðH 2004-A)
Cho tam giác không tù ABC, thỏa mãn ñiều kiện: cos2A +
22
cosB +
22
cosC = 3.
Tính các góc của tam giác ABC.
Phân tích:

Bài toán yêu cầu tính 3 góc trong khi ñó chỉ cho một ñẳng thức ràng buộc như vậy chỉ có
cách dùng BðT ñể ñánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại.
+ Dự ñoán dấu ‘=’: B = C = 45
0
và A = 90
0
. (B, C ñối xứng nên dự ñoán B = C, hệ số cosB
là
2
từ ñây dự ñoán B = 45
0

2
24
≥−
A
sin
.
ðây là bài toán một ẩn ta có thể
H1: ðặt t = sin
2
A
(t
];(
2
2
0
∈
) chuyển
f(t)=(2(2t
2
– 1)
2
–1) + 4
2
t –1= 8t
4
–8t
2
+4
2
t -1

Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên
Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 5

H2: ðánh giá cos2A ñể giảm bớt bậc, có thể phân tích theo hướng : cos2A = 2cos
2
A –
1.Với dự ñoán dấu ‘=’ khi A = 90
0
ở trên, ta có thể ñánh giá cos
2
A như thế nào?ðánh
giá :cos
2
A
≤
cosA (ñể ñảm bảo dấu ‘=’ xảy ra khi A = 90
0
)
+ Thu ñược : cosA +
03
2
24
≥−
A
sin

hay: –2sin

C
cos
B
cos
A
cos
2
2
1
2
2
1
2
2
1
−
+
+
+
+

Phân tích:

+ Dự ñoán ñiểm ñạt GTNN: thử một số giá trị ñặc biệt và dự ñoán A = B (A, B ñối xứng)
A , B

15
0
30
0

cos
A
cos
2
2
2
6
9
−++
≥
= Q
+ Mục tiêu bây giờ là ñi chứng minh:
R = cos2A + cos2B – cos2C
≤
3/2 (giá trị tại ñiểm dự ñoán, chiều
≤
ñể ñảm bảo Q
≥
6/5)
+ Biểu thức của R chứa tổng quen thuộc của tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A – B).cos(A
+ B) =
- 2cos(A – B). cosC và cos2C = 2cos
2
C – 1. Vậy :
R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos
2
C + 1
+ Tới ñây, có 2 suy nghĩ :
H1 : Khi A = B = 30
0

1
≤
. Nếu nhân cosC vào 2 vế ta gặp sai lầm vì chưa biết dấu
cosC. Ta tránh bằng cách :
Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên
Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 6

- cos(A – B).cosC
≤
Ccos)BAcos( − Ccos≤
(dấu ‘=’ ñạt ñược tại các ñiểm dự ñoán.). Vậy :
R
≤
-2cos
2
C + 2
Ccos
+ 1= -(
2
1
−Ccos
)
2
+
2
3
2

tích :
( 1- x
2
)(1 - y)
≥
0 (ñảm bảo dấu ‘=’ như dự ñoán) hay : x
2
y + 1 – x
2
– y
0
≥
. Thực hiện tương
tự trên ta có :
y
2
z + 1 – y
2
– z
0
≥
z
2
x + 1 – z
2
– x
0
≥

+ Nếu cộng 3 vế ta gần ñược bñt cần chứng minh, chỉ thay 2(x

≤
y và z
3

≤
z
2

≤
z. Cộng các bñt ta
ñược ñích cần phải tới.
Thí dụ 6:
(ðH- A- 2005)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng
:
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

Phân tích:

+ Dự ñoán dấu ‘=’ x = y = z = ¾
+ Với dự ñoán ñó thì 2x = y + z, x+ z = 2y, x + y = 2z ; mỗi phân số ở vế phải bây giờ giống

cộng các BðT này ta ñược ñpcm.
Thí dụ 7:

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
x y y z
x z
xy xz yz
+ + + +
+ +
+ + ≥

Phân tích:

+ Dự ñoán dấu “=” : x = = = z = 1
+ Với dự ñoán này thì 1 = x
3
= y
3
, ở mỗi phân số ta thấy ñều có dạng tổn chia tích, ta dùng
Côsi ñể ñánh giá tổng ñưa về tích:
3 3
3 3 3 3
3
1 3
3

của BðT Côsi, do ñó dùng BðT Côsi ta ñược: VT
3
3
3
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
( )
. .
xyz
xy yz zx xy yz zx
≥ + + ≥ = =

Qua các ví dụ trên chúng ta thấy ñược tầm quan trọng của việc ñánh giá, dự ñoán dấu
‘=’xảy ra ở các BðT.Ngoài việc tránh cho ta những sai lầm thường gặp trong quá trình tìm
GTNN, GTLN thì việc dự ñoán dấu ‘=’còn cho chúng ta ñịnh hướng ñược phương pháp
chứng minh(các cách ñánh giá là hoàn toàn tự nhiên chứ không phải ‘từ trên trời rơi
xuống’).Xin mời các em vận dụng vào các bài tập sau:
III.Bài tập ñề nghị:

1> Tính các góc của tam giác ABC biết rằng :
a. sin
2
A + sin
2
B + 2sinAsinB =
4
9
+ 3cosC + cos
2
C

≥
+
+
+
+
+
b
a
c
c
a
b
c
b
a

5>
Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh:
27
1
1
1
1
1
1 ≥






+
+
zx
xz
yz
zy
xy
yx

7>
(ðH – A- 2005)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn :
4
111
=++
zyx
. Chứng minh rằng :
1
2
1
2
1
2
1
≤
++
+
++
+
++

x*(1-x*x)
dung lien tiep
cac bdt Cauchy, cu the la:
1/ ap dung cho (1+1/cosA)

2/ ap dung tiep tuc
de
de
de
de
de
de
Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng – Kiên
Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 8

Quốc Luận ñã ñóng góp nhiều ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành bài viết này. Rất mong sự
trao ñổi của các bạn. ðịa chỉ E-mail :

Phú Khánh và Gởi tặng các em tài liệu của thầy Lê Anh Dũng –
Kiên Giang

.
LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ðẠT –RẠCH GIÁ KIÊN GIANG 9