www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
LỜI MỞ ĐẦU
  
Các bạn học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm căn thức ở chƣơng
trình toán lớp 9. Bên trong dấu căn có thể là biểu thức chứa số hoặc là chứa
chữ hoặc có mặt cả số lẫn chữ. Các biểu thức này gọi chung là căn thức và
chúng thƣờng xuất hiện trong nhiều dạng bài tập về bất đẳng thức, giải
phƣơng trình - bất phƣơng trình, giải hệ phƣơng trình - hệ bất phƣơng trình,
rút gọn căn thức…Chính vì sự phong phú đó nên chúng thƣờng đƣợc chọn
làm đề thi trong các kì thi tuyển sinh quan trọng.
Trong tài liệu nhỏ này tôi đã tổng hợp các bài tập căn thức từ các đề ôn
luyện tuyển sinh lớp 10 của nhiều trung tâm luyện thi có uy tín và tổng hợp
từ các trang web toán học nổi tiếng tại Việt Nam kết hợp với chút ít kinh
nghiệm giải toán của bản thân để mạnh dạn giới thiệu cùng bạn đọc bài viết
“ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ”. Nội dung
chính của bài viết đƣợc chia thành ba phần nhƣ sau:
PHẦN 1: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI
PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN CĂN BẬC BA
PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC
Trong từng đề toán của bài viết, ngoài việc xoáy sâu vào lời giải chi
tiết, tôi còn cố gắng trình bày con đƣờng tìm đến những lời giải đó, những lời
giải khiến bạn phải trăn trở nhiều đêm suy nghĩ!
Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Phan Văn Xạ, anh Nguyễn Anh
Duy đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báu. Mặc dù đã dùng rất nhiều
thời gian và công sức để biên soạn tài liệu nhƣng sai sót là điều không thể
nào tránh khỏi. Vì thế mọi ý kiến đóng góp và thắc mắc xin bạn đọc liên hệ
qua địa chỉ mail: để bài viết ngày càng
hoàn thiện về nội dung
www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom

35
C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC BA 45
PHẦN 3: TRAO ĐỔI CÙNG BẠN ĐỌC 48
LỜI KẾT

www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 1
PHẦN 1
CÁC BÀI TOÁN
CĂN BẬC HAI
www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 2

A. BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CÓ DẠNG
2AB

I.Các biểu thức có dạng
2AB
đƣa về bình phƣơng một tổng
VD1:
 

2 5 7 10 2 7 5 2 2( 5 2)
57
2
2 2 2 2

   
     

Các ví dụ trên ta thấy các biểu thức trong căn muốn đưa về dạng bình phương một tổng thì
thiếu đi hằng số 2 do đó ta phải làm xuất hiện số 2 bằng cách nhân tử và mẫu với
2

III.Áp dụng công thức căn phức tạp để rút gọn biểu thức dạng
2AB

Áp dụng công thức căn phức tạp rút gọn biểu thức:
VD1:
22
3 3 8 3 3 8 3 1 3 1
3 2 2 3 8 2 1
2 2 2 2
     
        

VD2:
22
2 2 3 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2( 3 1)


22
()
22
AA
A B A A B      


B

B

đpcm
IV.Kết luận:
Biểu thức
2AB
có thể đưa về dạng bình phương một tổng nếu viết được như sau:
2 2 .A B m n m n   
trong đó
.
m n A
m n B





(A ; B ; m ; n  
Theo như định lí Vi-ét đảo thì m, n là nghiệm của phương trình:
2


Mail: Trang 4

2/ B =
7 2 10 7 2 10     
22
5 2 5 2 5 2 5 2          
5 2 5 2 2 2     

Trong ví dụ B cũng có thể dùng công thức căn phức tạp để giải quyết (bạn đọc tự giải)
nhưng nếu lưu ý thấy
7 2 10. 7 2 10 3  
thì còn một số cách làm khác như sau:
 Bình phương hai vế và rút gọn:

2
B 7 2 10 7 2 10 2. 7 2 10. 7 2 10      

2
B 14 2.3 8 B 2 2     

Nhưng do B < 0
B
22

22

Một bài toán căn thức có thật nhiều cách tiếp cận phải không các bạn, hãy bình tĩnh quan
sát và ứng dụng các phương pháp giải toán đã học nhé!!!
3/ C =
10 2 17 4 9 4 5  

Bài toán trên thoạt nhìn thật khủng khiếp, có đến ba lớp căn thức, bạn không biết phải
xoay sở như thế nào??? Nhưng hãy lưu ý
 
2
9 4 5 5 2 5 2    
. Đó là mấu chốt
để giải quyết vấn đề, hãy thử tiếp tục phá bỏ các lớp căn thức còn lại.

www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 5

C =
10 2 17 4 9 4 5  
=
 
10 2 17 4 5 2 10 2 9 4 5     

=
     
22














 
2 2 2 2 2
2( ) 2( )
D2
()
2
22
u v u v u v u v
uv
u v u v uv
uv
uv
   
     

  


Mail: Trang 6

5/ E =
44
4
8 2 1 8 2 1
8 2 1
    


Cách 1: (ẩn phụ)
Đặt
22
4
4
4
28
8 2 1
. 2 1
8 2 1
uv
u
uv
v
uv




  

2

Cách 2: (bình phƣơng tử thức)






2
4 4 4 4 4
8 2 1 8 2 1 2 8 2. 8 2 1 . 8 2 1

          





4 4 4
2 8 2. 8 ( 2 1) 2 8 2 2 1 2 8 2 1         





2
44
2
4

5 2 3
là dạng
2AB
nhưng không thể đưa được về
bình phương một tổng, vì vậy ta tính F
2
rồi suy ra F (lưu ý F > 0)
2
F 3 5 2 3 3 5 2 3 2. 3 5 2 3. 3 5 2 3          



6 2 3 5 2 3 . 3 5 2 3 6 2 9 (5 2 3) 6 2 4 2 3               
22
6 2 3 1 6 2( 3 1) 4 2 3 3 1         

F 3 1  

Cách 2: (ẩn phụ)
Đặt





3 9 (5 2 3) 3 9 (5 2 3)
3 4 2 3 3 4 2 3
3 5 2 3
2 2 2 2
     
   
        
22
3 3 1 3 3 1
4 3 2 3
2 2 2 2
   

   www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 8

Tương tự:
4 3 2 3
3 5 2 3
22


74
2
2 2 2 2

   
      

Trong ví dụ trên biểu thức G chứa số hạng có dạng
2AB
nhưng lần này việc đưa
biểu thức thoát khỏi căn thức khó nhìn hơn các bài tập trước. Tuy nhiên tích
2. 7 4
là
dấu hiệu và mấu chốt để giải bài này. Ngoài ra còn một số bài toán ta không dễ nhìn được
dạng
2AB
mà phải thông qua các phép biến đổi mới đưa về được dạng chuẩn tắc.
Xét các ví dụ dưới đây:
8/ H
4 3 6 3 15 3 2,5     

Bài toán trên có dáng dấp của biểu thức H và ta hãy lưu ý mối liên hệ giữa các biểu thức
trong căn thức đầu tiên
6 3 15 3(2 3 5)  
mà
3 (2 3 5) 8 2 3 2(4 3)     
kết hợp
với
5
2,5


Với bài toán trên nếu
5 5 11
mà phân tích được thành tích của hai thừa số nào đó có
tổng là 1 thì bài toán được giải quyết, thế thì ta phải tìm các số m và n sao cho:
1
. 5 5 11
mn
mn









theo Vi-ét đảo m và n là nghiệm của phương trình:
2
5 5 11 0xx   

Ta có:
 
2
2
1 4(5 5 11).1 45 20 5 5(9 4 5) 5 5 2          


35
, n
52

Ta viết lại I như sau:
I =








22
3 5 2. 3 5 . 5 2 5 2 5 2       



2
3 5 5 2 5 2 3 5 5 2 5 2            
2
51


Thay ngược
5t 
vào biểu thức trên ta có:
5 5 11 (3 5).( 5 2)   

www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 10

10/ J
1 2 27 2 38 5 3 2
3 2 4
   



Ta tìm hai số m và n sao cho:
1
. 27 2 38
mn
mn






2
1 (9 6 2)
6 2 8
3 2 4
2 2 2
b
x
a

   
    

Chọn m
5 3 2
, n
3 2 4

Ta viết lại J như sau:
J








22

32
92
t
t
t










www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 11

-Nếu
2t 
có thể biểu thức
27 2 38

sẽ phân tích được thành tích hai số có tổng bằng 1
nhưng các hướng biến đổi khá phức tạp
-Nếu
92t 


phải là một bình phương đủ nếu không bài toán
sẽ rất khó khăn trong quá trình tìm lời giải
b/ Nếu các bạn tinh ý sẽ thấy các biểu thức mà chúng ta vất vả tìm kiếm với rất nhiều phép
toán lại xuất hiện ngay trong đầu bài, cụ thể:
+ Trong ví dụ 9, đề bài xuất hiện biểu thức
52

+ Trong ví dụ 10, đề bài xuất hiện đồng thởi 2 biểu thức
5 3 2
và
3 2 4

c/ Nắm bắt được ý đồ ra đề của tác giả, ta sẽ giải nhanh các bài toán có dạng như vậy
Xét ví dụ tiếp theo:
11/ K
11 6 3 2 52 3 90 2 3 3
7 4 3
    



Giả sử phân tích được
 
2
11 6 3 2 52 3 90 mn    
. Đến đây ta sẽ dự đoán
2 3 3n 
và
11 6 3 (2 3 3) 14 8 3m      

Mail: Trang 12

Thật đơn giản và nhẹ nhàng phải không các bạn! Trong ba ví dụ trên các bước mò mẫm,
dự đoán chúng ta chỉ cần hiểu và thực hiện trên nháp. Khi làm bài ta trình bày như sau:
K




22
14 8 3 2. 14 8 3. 2 3 3 2 3 3 2 3 3
7 4 3
       





2
14 8 3 2 3 3 2 3 3
14 8 3 2 3 3 2 3 3
7 4 3 7 4 3
    
    




   
22
2 2 2 2
2.( ). 2 2 2a b c a b c a b c a b c ab bc ac            

Vậy
Công thức bình phương một tổng ba số hạng tương đối cồng kềnh và dài dòng nhưng với
cách làm trên ta chỉ cần thuộc một hằng đẳng thức đơn giản là có thể nhớ được một công
thức khó “xơi” . Tiếp theo ta sẽ bàn tới ứng dụng của nó trong các bài toán rút gọn căn
thức.
II.Rút gọn biểu thức dƣới căn đƣa đƣợc về dạng bình phƣơng một tổng ba số hạng
1/ A =
10 60 24 40  

Thoạt nhìn thấy bài toán thật là đáng sợ, không sử dụng được công thức nào đã học để rút
gọn nhưng chúng ta hãy bình tĩnh phân tích các căn thức và lưu ý những điểm sau:
 
 
 
60 2 15 2. 3. 5 2. .
40 2 10 2. 5. 2 2. .
24 2 6 2. 3. 2 2. .
ab
bc
ac
  
  
  

Từ đó ta có suy nghĩ tách:

2 2 2 2
3 2. 3. 2 2 2 5( 3 2) 5 3 2 2.( 3 2). 5 5

          

 
2
2 3 5 2 3 5     

Cách trình bày thứ hai như trên luôn luôn tồn tại song hành với cách thứ nhất!

2/ B
18 4 6 8 3 4 2   2(9 2 6 4 3 2 2)   

Phân tích căn thức:

   
22
2 2 2 2
2 6 2.( 6).1( 2. . )
4 3 2.( 6). 2( 2. . )
2 2 2. 2.1( 2. . )
9 6 2 1 ( )
ab

B
2( 6 2 1) 2 3 2 2     

Trong ví dụ trên, ta có thêm bước chứng minh
6 2 1
là để xét dấu biểu thức B sau khi
đưa B ra khỏi căn bậc hai.
www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 15

3/ C
25 4 10 4 15 2 6   

Phân tích căn thức:
   
   
   
     
2 2 2
4 10 2. 2 5 . 2
4 15 2. 2 5 . 3
2 6 2. 2 . 3
25 2 5 2 3
  
  
  
    

D
 
2
2 3 2 3 6 6 2 2 2 3 2 6 2 3 1 2 3 1             

Nhưng
2 1 1 1 1 1 2 4 3 2 1 3 0           


D
2 1 3 2( 2 1 3)
2
2
   


Cũng tương tự như rút gọn căn thức dạng
2AB
, một vài bài toán đôi khi ta phải nhân
và chia
2
để làm xuất hiện dấu hiệu tách bình phương đủ một tổng của ba số hạng. www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 16


        






Biểu thức E có thể đưa về dạng bình phương một tổng ba số hạng nếu như biểu thức dưới
dấu ngoặc bằng 0 nhưng trong thực thế chúng ≠ 0 .Muốn vậy, phải làm xuất hiện dấu “

”
và ta hãy lưu ý một điểm quan trọng sau
 
2
2
xx

Viết lại E =
2 2 2
1 1 1
1 2013 2014
     
  
     
     2
2
2

2
1
4 2013.2014
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2013 2014 2013 2014 2013 2014





        



Vậy E =
11
1
2013 2014


Để rút gọn được biểu thức E chúng ta có rất nhiều cách ngắn gọn, các bạn có thể tìm thấy
ở những đầu sách tham khảo khác nhưng theo tôi ý tưởng cách làm trên là tự nhiên nhất.
www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 17

6/ F

 
2
2 2 2
2 2 2a b c a b c ab bc ac       

Nếu nghịch đảo toàn bộ số hạng của hằng đẳng thức trên ta được một đẳng thức mới
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
a b c a b c ab bc ac
   
       
   
   
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
abc
a b c a b c abc


       



Trong đẳng thức mới trên nếu ta gán cho
0abc  
thì được:



Đây chính là đẳng thức sử dụng trong biểu thức E và F. Từ các khai triển một số đẳng
thức quen thuộc như là: (a + b + c)
2
, (a + b - c)
2
, (a - b + c)
2
, (a - b - c)
2
, (a + b + c)
3
,
(a + b - c)
3
, (a - b + c)
3
, (a - b - c)
3
…nếu ta gán thêm các điều kiện hợp lí thì sẽ sáng tạo
được nhiều bài toán hay và khó!
www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 18

C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI:
Ngoài cách đưa về dạng bình phương đủ ta còn có một số phương pháp khác để rút gọn


Trong ví dụ trên ta đã khéo léo nhóm các số hạng rồi mới thực hiện phép nhân phân phối.
2/ B
3
6
6 10 19
3 2 2 5
2

  

Cách 1: Vì
3 2 2 5
nên:
B
 
2
6
66
6
6 10 19 6 10 19
3 2 2 5 38 12 10
22

       6
66
6

2 (3 10).(3 10) 1 1
2
        

www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 19

Trong bài toán trên, cách làm đầu tiên là đưa toàn bộ biểu thức về căn bậc sáu (căn bậc
chẵn) nên phải chú ý đến dấu của
 
2
6
3 2 2 5
, còn cách thứ hai tránh được điều đó!
3/ C
( 14 10).(6 35). 6 35   

Cách 1:

Viết lại C
2.( 7 5). 6 35. 6 35. 6 35     
2
( 7 5). 2. 6 35. (6 35).(6 35)
( 7 5). 12 2 35.1 ( 7 5). 7 5

     
       
     

     

    
    
7.2.4
56



www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 20

Ví dụ trên thoạt nhìn thật phức tạp nhưng nếu các bạn làm nhiều bài tập về dạng rút gọn
căn thức sẽ nghĩ ngay đến các biểu thức liên hợp với các biểu thức
31
và
51
. Thật
may mắn là tích số
( 15 1)(7 2 3 5)  
lại chứa đựng điều mà ta cần tìm. Vì vậy có thể
trả lời nhanh kết quả các dạng toán như trên.
D

   


6/ F
 
24 4 3
47
7 1 3 7 7 2

   

  
 
 
 
24( 7 1) 4(3 7) 3( 7 2)
47
( 7 1)( 7 1) (3 7)(3 7) ( 7 2)( 7 2)
24( 7 1) 4(3 7) 3( 7 2)
47
6 2 3
4( 7 1) 2(3 7) ( 7 2) 4 7
(4 7)(4 7) 9

  
   



     
     


www.MATHVN.com
FB.com/mathvncom
ĐI TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CĂN THỨC CHỨA SỐ

Mail: Trang 21

Mấu chốt trong ba bài toán trên chính là tử thức có thể lược giản cho mẫu thức sau khi
nhận lượng liên hợp. Vì vậy bài toán trở nên đơn giản và không còn dạng phân thức.
8/ H
1 2 3 4
3 2 7 5
7 2 10 10 2 21
   

   
22
3 2 2( 7 5) 3 4
( 3 2)( 3 2) ( 7 5)( 7 5)
5 2 7 3
3 2 2( 7 5) 3 4
3 2 7 5
5 2 7 3


  

Ta cố gắng tìm mối liên hệ giữa các đại lượng có mặt trong biểu thức trên!
Thật vậy:
       
2
3 5 2 2 5 14 6 5 2 2 5 12 4 5 4 3 5             
2
2 2 5 3 5 4 3 5     

Đến đây nếu đặt
35a 
rồi thay vào biểu thức I được:
I








 


2 2 2



2
4 4 4 4
5 1 5 1 5 1 1 5 1 1
35
4 3 5 4 3 5
5 1 1 5 1 1 5 1 5 2
95
3 5 3 5
a a a
a a a

     

         

     
     


     

   

   
        
   



400
4 3 5 I 40.I.(3 5) 400 0 I 10.I 0
4(3 5)
I 10.I 25(3 5) 0
         

    

Ta có:
''
25 25(3 5) 25( 5 2) 5 5 2         

I
1



5 5 5 2 5 1 5 2     


I
2


5 5 5 2 5 1 5 2     

Mặt khác:
20
3 5 2 2 5 3 2 2 2.1 7 5 I < 4
5