Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
A.Tên đề tài : SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG.
B.Đặt vấn đề:
Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng
tầm giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở
dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ
tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp
dạy học .
Là giáo viên giảng dạy nhiều năm ở bộ môn toán trung học phổ thông,
chúng tôi đã gặp nhiều trắc trở trong công tác giảng dạy nhiều dạng toán ở
bậc phổ thông trung học. Vì mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, mỗi
cách giải thể hiện khái niệm toán học của nó. Trong các cách giải khác nhau
đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính
sáng tạo của toán học. Trong đề tài này, chúng tôi giải một số bài toán bằng
“con mắt” của lượng giác .
Từ những bài toán không chứa những yếu tố của lượng giác, bằng phép
đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương
pháp lượng giác hóa. Do đó, qua công tác giảng dạy, đúc kết những kinh
nghiệm nhiều năm của bản thân và việc học tập nghiên cứu khoa học, thử
nghiệm trực tiếp nhiều năm trong công tác giảng dạy, chúng tôi mạnh dạn
trao đổi cùng đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân.
C. Cơ sở lí luận:
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến
lượng giác hóa, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản
dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp
nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc
lượng giác hóa?
Những kiến thức liên quan
a) Các hàm số cơ bản, miền giá trị:
+ y = sinx , y = cosx : Miền xác định R

π
b) Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giá trị:
+ A = sinx + cosx =
)
4
cos(2
π
−
x
=
)
4
sin(2
π
+
x
, -
22
≤≤
A
+ B = cosx – sinx =
)
4
cos(2
π
+
x
=
)
4

M
);(
2
yxMR
⇒∈
Nếu M
∈
C(O;R) thì x
222
Ry
=+
phép đổi biến là



=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
Ry
Rx
Nếu M
∈
hình tròn C(O;R) suy ra x
222
Ry
=+
, phép đổi biến là

Ryx
222
phép đổi biến là





=
=
=
zz
Ry
Rx
ϕ
ϕ
sin
cos
Nêú M nằm trong hình trụ (H) :



=
=+
zz
Ryx
222
phép đổi biến là



Rzy
=++
phép đổi biến là





=
=
=
ϕ
γϕ
γϕ
sin
sincos
coscos
Rz
Ry
Rx
D. Cơ sở thực tiễn :
Trong trường trung học phổ thông hiện nay có nhiều đối tượng học sinh,
do đó công việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng
giải toán không phải là công việc đơn giản của mỗi giáo viên .
Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, chúng tôi đã thực
hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể
thiếu phương pháp giảng dạy khoa học logic, tạo động lực để học sinh say
mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học người thầy đã gieo. Trong các
biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà chúng tôi đang trình bày
và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi,

. Đặt x = cos
α
, y = sin
α
, u = cos
ϕ
, v = sin
ϕ
.
Ta có :
2)()(
≤++−
yxvyxu⇔
2)sin(cossin)sin(coscos
≤++−
ααϕααϕ

2)sin.coscos.(sin)sin.sincos.(cos
≤−++⇔
αϕαϕαϕαϕ

2)sin()cos(
≤−+−⇔
αϕαϕ2)

1
()
1
2
(
2
2
2
≤
+
−
+
+
≤
nn
a
a
a
a
Vì
1)
1
1
(
)1(
214
)
1
1
()

a
a
.
Đặt
αα
sin
1
1
,cos
1
2
2
2
2
=
+
−
=
+
a
a
a
a
Khi đó ta cần chứng minh : -1
1sincos ≤+≤
αα
nn
. ( luôn đúng )
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
Nếu

(sin
22
≤+⇔
nn
αα
. ( luôn đúng ) .
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : với mọi a, b . Ta có
2
1
)1)(1(
)1)((
22
≤
++
−+
ba
abba
(1)

Ta có (
1)
)1)(1(
1
()
)1)(1(
2
22
2
22
=

2
1
)1)(1(
1
)1)(1(
2222
≤
++
−
++
+
⇔
ba
ab
ba
ba
12sin
2
1
2sin
2
1
2
1
cos.sin
≤⇔≤⇔≤⇔
αααα
( luôn đúng ) .
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng : với mọi x , y ta có :
1

, (
1)
1
1
()
1
2
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
y
y
y
y
.
Đặt cos
2
2
2
1
1
sin,
1

.
Khi đó ta chứng minh :
1sin.cossin.cos
≤+
αββα

1)sin(
≤+⇔
βα
(luôn
đúng )
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
4
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng

Ví dụ 6 : Cho
1;1
≥≥
ba
. Chứng minh rằng :
1
1111
222222
≤−+−
baabab
(1)
Ta có (1)
1
11
22

, (
1)
1
()
1
22
2
=+
−
bb
b
.
Đặt cos
aa
a 1
sin,
1
2
=
−
=
αα
,
cos
bb
b 1
sin,
1
2
=

22
22
2
22
=
+
−
+
+
ax
xa
ax
ax
và (
1)()
2
2
22
22
2
22
=
+
−
+
+
by
yb
by
by

=
+
=
ββ

Như vậy ta cần chứng minh :
1cossinsincos
≤+
βαβα

1)sin(
≤+⇔
βα
( luôn đúng ).
Ví dụ 8: Cho
0
>≥
ax
,
0
>≥
by
.
Chứng minh rằng :
xybaayabxb
≤−+−
22222222
(1)
Ta có (1)
xybyaaxb

y
by
Do đó đặt : cos
x
a
x
ax
=
−
=
αα
sin,
22
cos
y
b
y
by
=
−
=
ββ
sin,
22
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
5
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
Khi đó (2)
1cos.sinsin.cos
≤+⇔

+
=
++
−
=
αα
cos
))((
sin,
))((
22222222
byax
xyab
byax
aybx
++
−
=
++
+
=
ββ
.
Như vậy ta phải chứng minh :

4
1
sin.sin.cos.cos
≤
βαβα

với






−
∈
2
;
2
,
ππ
βα
. Khi đó
(1)
2)cos.cossin.(sin3cos.sincos.sin
≤−++⇔
βαβααββα
2)sin()cos(3
≤+++⇔
βαβα
(luôn đúng )
Ví dụ 11 : Chứng minh rằng :

2222222
))1)(1(()11( khbaabkabbah
+≤−−−+−+−
Với cách đặt như ví dụ 10 thì ta cần chứng minh


5)1cos2(4cos1cos6
22
≤−+−⇔
ααα

52cos42sin3
≤+⇔
αα
(luôn đúng )
Ví dụ 13 : Chứng minh rằng :
2222
)12(12 khakaha
+≤−+−
Với cách đặt như ví dụ 12 ta có
Người thực hiện: GV Trương Quang Thành
6
Tên đề tài: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức và hướng mở rộng
222
2cos.2sin.)1cos2(sincos2 khkhkh
+≤+=−+
ααααα
Ví dụ 14 : Cho a > c , b > c > 0 .
Chứng minh rằng :
abcbccac
≤−+−
)()(
(1)
Cách 1: Từ giả thuyết ta có : 0 <
1,

bbabaacbccac
−+−=−+−
=
)cos.sincos.(sin
βααβ
+
ab
=
abab
≤+
)sin(
βα
(luôn đúng )
Cách 2: Từ (1)
1
)()(
≤
−+−
⇔
ab
cbccac
(2)
Vì
1)()(
22
=+
−
a
c
a

;
β
cos
=
b
c
với






∈
2
;0;
π
βα
Khi đó (2)
1cos.sinsin.cos
≤+⇔
αβαβ

1)sin(
≤+⇔
βα
(luôn đúng )
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : Nếu
11
≤≤

, A
222
RB
=+
, ĐẶT : A = R COS
ϕ
, B = R SIN
ϕ
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :
15493
2
≤+−
aa
(1)
Giả thuyết
⇒≤⇒
3a
đặt a = 3sin
α
với






−
∈
2
;