A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong một đề thi đại học, cao đẳng bất kể khối A, B hay D thì câu hình
học không gian thể tích là một trong những câu không thể thiếu ở phần chung,
để đạt được ít nhất 2 điểm hình trong đề thi đại học, học sinh nhất thiết phải làm
được câu hình thể tích. Để giải một bài toán hình học không gian đòi hỏi học
sinh phải có nhiều kỹ năng, không những nắm kiến thức về hình học không gian
thật vững mà học sinh phải có kỹ năng linh hoạt, có phương pháp giải phong
phú để ứng biến với mọi tình huống khó khăn.
Với một bài toán hình học nói chung và bài toán hình học không gian nói
riêng thì có nhiều cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp, phương
pháp vectơ hay phương pháp tọa độ, trong đó có một phần lớn các bài toán
hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa (PPTĐH). Với
những bài toán đó thì PPTĐH cho ta cách giải rất nhanh chóng và dễ dàng hơn
nhiều so với phương pháp tổng hợp. PPTĐH cho ta lời giải một cách chính xác,
tránh được các yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổng
hợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung
cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy
nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài
toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng
dạy cũng như bản thân muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu về giải quyết các
bài toán hình học không gian để phục vụ giảng dạy và giúp học sinh cảm thấy
thoải mái tiếp thu, có phương pháp tối ưu để giải quyết các bài tập hình học
không gian vốn phức tạp, tôi đã chọn chuyên đề : “ Giúp học sinh lớp 12 rèn
luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán
hình học không gian ”.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN :
Sự ra đời của cuốn “ La géometrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng
phương pháp tọa độ vào năm 1637 của nhà toán học thiên tài người Pháp Rene
Descartes đã đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Mặc dù đại số và

động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài
toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính
xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh.
Do đó kết quả không như mong đợi.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được
phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng
thú trong học tập .Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng
dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN :
1) Cơ sở lý thuyết :
a) Cho hai vectơ
( )
1 1 1 1
; ;u x y z=
ur
,
( )
2 2 2 2
; ;u x y z=
uur
và số k tùy ý, ta có :
•
1 2 1 2 1 2 1 2
, ,u u x x y y z z= ⇔ = = =
ur uur
•
1
u
ur

2
2 2 2
1 1 1 1
u u x y z= = + +
r ur
• Tích vô hướng của hai vectơ:
1 2 1 2 1 2 1 2
.u u x x y y z z= + +
ur uur
2
• Cosin của góc giữa 2 vectơ khác
0
r
:

( )
1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
os ;
.
.
u u x x x y y z z
c u u
u u
x y z x y z
+ + +

( )
; ;
B B B
B x y z
,
( )
; ;
C C C
C x y z
•
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur

•
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
uuur
• Tọa độ trung điểm của đoạn AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 

( )
·
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os ; os ;
.
a a b b c c
c d d c u u
a b c a b c
+ +
= =
+ + + +
r r
• Góc giữa mp(P) có vectơ pháp tuyến
( )
1 1 1 1
; ;n A B C=
ur
và mp(Q) có véctơ pháp
tuyến
( )
2
2 2 2
; ;n A B C=
r
là
( ) ( )

( )
·
2 2 2 2 2 2
sin ; os ;
.
aA bB cC
d c u n
a b c A B C
α
+ +
= =
+ + + +
r r
d) Các công thức về khoảng cách :
• Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 là :

( )
( )
0 0 0
2 2 2
Ax
,
By Cz D
d M P
A B C
+ + +

2
, có vectơ chỉ phương
2
u
uur
là:
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
; .
,
;
u u M M
d d d
u u
 
 
=
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
e) Các công thức tính diện tích, thể tích :
• Diện tích ∆ABC là :
1
;
2
ABC
S AB AC

′
=
 
uuur uuur uuur
f) Cách chứng minh quan hệ song song, vuông góc giữa các yếu đường
thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vectơ, tọa độ :
• Hai đường thẳng phân biệt d
1
và d
2
lần lượt có vectơ chỉ phương là
1
u
ur
,
2
u
uur

+ Song song với nhau khi
1
u
ur
và
2
u
uur
cùng phương
1 2
; 0u u

 
r r r
• Hai mặt phẳng phân biệt (P
1
) và (P
2
) lần lượt có vectơ pháp tuyến là
1
n
ur
,
2
n
uur

+ Song song với nhau khi
1
n
ur
và
2
n
uur
cùng phương
1 2
; 0n n
 
⇔ =
 
ur uur r

vuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hai mặt
phẳng vuông góc.
Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc
như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các
đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ.
4. Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa
độ hóa :
- Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp
- Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán
- Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ
- Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông
thường.
* Ví dụ về một vài cách chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa
độ:
- 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏa mãn
phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm kia hoặc 2 vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng
phương (
, 0AB AC
 
=
 
uuur uuur r
)
- 4 điểm A, B, C, D phân biệt đồng phẳng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏa

đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng AS
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A B a C b S h⇒
* Đáy ABC là tam giác vuông tại B
AB = a, BC = b
5
A
C
S
B
x
y
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng đi qua A và // BC
Oy
≡
đường thẳng AB
Oz

A B a
b b
C a S h
 
⇒ − −
 ÷
 ÷
 
 
−
 ÷
 ÷
 
* Đáy ABC là tam giác cân tại B
AB = a, AC = b
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng đi qua A và //
trung tuyến BN
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng AS
( )

x
A
B
S
N
C
x
z
y
A
C
S
B
y
z
x
Hướng dẫn:
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O là một đỉnh của tứ diện
Ox
≡
đường thẳng OA
Oy
≡
đường thẳng OB
Oz
≡
đường thẳng OC
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , ;0;0 , 0;2 ;0 , 0;0;3O A a B a C a⇒

r
( )
; .
2
,
2
;
u k AO
a
d AM OC
u k
 
 
⇒ = =
 
 
r r uuur
r r
Ví dụ 2: (Đề thi Tuyển sinh vào Đại học khối A, 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC =
2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC). Gọi M là
trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Hướng dẫn:
- Ta có:
( )SA ABC⊥
;

2
3
2 2
BCNM
BC MN BM
a
S
+
= =

3
.
1
. . 3
3
S BCNM BCNM
V SA S a⇒ = =
* Ta có :
( ) ( ) ( )
( )
0;0;0 , 0;2 ;0 , 2 ;2 ;0 , 0;0;2 3A B a C a a S a−

( ) ( )
( )
; ;0 ; 0;2 ;0 ; ; ; 2 3N a a AB a SN a a a⇒ − = = − −
uuur uuur
⇒
Đường thẳng AB: đi qua A, có vectơ chỉ phương là
( )
1

; .
2 39
,
13
;
u u AN
a
d AB SN
u u
 
 
⇒ = =
 
 
ur uur uuur
ur uur
Bài luyện tập :
Bài 1: ( Toán học & Tuổi trẻ, 2 / 2011 ) Cho hình chóp S.ABC có AB =BC =a;
·
0
90ABC =
; SA
⊥
(ABC); góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60
0
. Kẻ
AM
⊥
SB, AN
⊥

chữ nhật )
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AS
* Đáy ABCD là hình thoi
AC = 2a, BD = 2b
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc
O AC BD= I
Ox
≡
đường thẳng BD
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng đi qua O và // SA
8
A

Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AS
( ) ( ) ( ) ( )
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0;B a C a c b D c S h⇒ −
* Đáy ABCD là nửa lục giác đều :
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng qua A và // CD
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng AS
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học của Chuyên Đại học Vinh, lần 1, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có SC
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh

2 2 2
3 3 3 3 3 3
;0;0 , 0; ; ; ; ;
2 2 2 2 2
a a a
A B C
a a ah ah a
D S h AB AS
 
   
⇒ −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
   
 
 
− − ⇒ = − − −
 ÷  ÷
 ÷
 
 ÷  ÷
 
   
uuur uuur
⇒
2 mp(SAB) và (ABCD) lần lượt có vectơ pháp tuyến:
( )

z
x
( ) ( )
( )
·
2 2
3 2 3 3 3 3
os , 0; ; 0;3 ;
2 2 2 2 2
4 9
a a a a a
c SAB ABCD h S SA a
h a
   
⇒ = = ⇒ = ⇒ − ⇒ = −
 ÷  ÷
   
+
uur
3
.
1 1 3 3
. . .
3 6 4
S ABCD ABCD
a
V SC S SC AC BD⇒ = = =
* Đường thẳng SA đi qua A, có vectơ chỉ phương là :
( )
0;2; 1u = −

0
. Chứng minh (SBM)
⊥
(SAC) và tính thể tích khối tứ diện SABM.
Hướng dẫn: Ta có :
( ) ( )
( )
·
·
0 0
, 60 .tan 60 3 6ABCD SBC SBA SA AB a= = ⇒ = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
A
≡
gốc O
Ox
≡
đường thẳng AB
Oy
≡
đường thẳng AD
Oz
≡
đường thẳng AS
( )
( ) ( )
( )
( )
0;0;0 , 3 2;0;0 , 3 2;3 ;0 ,
3 2

1 2
6; 3; 2 , 6;2 3;0n n= = −
ur uur

( ) ( )
1 1
. 0n n SBM SAC⇒ = ⇒ ⊥
uurur
*
3
1
; . 9 3
6
SABM
V AB AM AS a
 
= =
 
uuur uuuur uuur
Bài luyện tập :
Bài 1: (Đề thi thử Đại học của THPT Mai Anh Tuấn, Thanh Hóa, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB
= 3a, AD = CD = SA = 2a, SA
⊥
(ABCD). Gọi G là trọng tâm ∆SAB,
mp(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.CDMN và
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM, BC.
Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa, 2013)
10
y

3
3
a
, mp(BCM) cắt cạnh SD tại N.Tính thể tích khối chóp
S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC.
NHÓM 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN (HOẶC MẶT CHÉO)
VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
*Hình chóp tam giác S.ABC có (SAB)
⊥
(ABC), đáy ABC là tam giác đặc biệt
Hạ SH
⊥
AB
⇒
SH
⊥
(ABC)
Tùy theo tính chất đặc biệt của ∆ABC mà chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho hợp lý
*Hình chóp tứ giác S.ABCD có (SAB)
⊥
(ABCD), đáy ABCD là tứ giác đặc
biệt
Hạ SH
⊥
AB
⇒
SH
⊥
(ABCD)
Tùy theo tính chất đặc biệt của ∆ABC mà chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho hợp lý

+ Oy
≡
đường thẳng OA
+ Oz
≡
đường thẳng đi qua O và //SH. Đặt SH=h
( )
;0; , 0; ;0 , 0; ;0 , 2 ; ;0
2 2 2
a a a
S a h A B C a
     
⇒ −
 ÷  ÷  ÷
     
( )
2
, ;0;AB AS ah a
 
⇒ = −
 
uuur uuur
⇒
2 mp(SAB) và (ABC) lần lượt có vectơ pháp tuyến là :
( )
;0;n h a= −
r
,
( )
0;0;1k =

V SA SB SC
 
= =
 
uur uur uuur
;
( )
3
; ; ; 0; ;0
2 3
a a
SC a AB a
 
= − = −
 ÷
 ÷
 
uuur uuur
* Đường thẳng SC đi qua C, có vectơ chỉ phương là :
( )
6;3; 2 3u = −
r
Đường thẳng AB đi qua O, có vectơ chỉ phương là :
( )
0;1;0j =
r
( )
; .
,
;

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn:
+ Gốc O
≡
H
+ Ox
≡
đường thẳng qua H và // BD
+ Oy
≡
đường thẳng AC
+ Oz
≡
đường thẳng HS
2 2 2
0; ;0 , ; ;0 ,
4 2 4
3 2 14
0; ;0 , 0;0;
4 4
a a a
A B
a a
C S
   
⇒ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
 ÷  ÷

B
D
C
S
A
y
z
x
M
H
Bài 1: (Toán học & tuổi trẻ, 12/2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a, ∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB. Tính thể tích khối
chóp S.ABMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP theo a.
Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a
2
, ∆SAB cân tại S, (SAB)
⊥
(ABCD), góc giữa (SAC) và (ABCD) bằng 60
0
.
Gọi H là trung điểm của AB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAHC theo a.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC =
2 3a
, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với
mp(ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) bằng
3
4

0; ;0 , ; ;0 ,
3 2 6
3
; ;0 , 0;0;
2 6
a a a
A B
a a
C S h
   
⇒ −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
−
 ÷
 ÷
 
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm
O, SO = h
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O
AC BD= I

Ox
≡
đường thẳng AC
13

a a
A B
a a
C D S h
   
⇒
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối B, 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng
minh SC
⊥
mp(ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a
Hướng dẫn :
- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
+ Gốc O là tâm tam giác đều ABC
+ Ox
≡
đường thẳng qua O và // BC
+ Oy
≡
đường thẳng AO
+ Oz

 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
uuur uuur uuur uuur
SC AB
⇒ ⊥
, mà SC
⊥
AH
( )
SC ABH⊥
(đpcm) .
Gọi D là trung điểm của AB
2
. 11 1 11
.
4 2 8
ABH
SO CD a a
DH S AB DH
SC
⇒ = = ⇒ = =
3
2 2
.
7 1 7 11
.
4 3 96
S ABH ABH
a a

H
I•
Gốc O
≡
H
AC BD= I

Ox
≡
đường thẳng AC
Oy
≡
đường thẳng BD
Oz
≡
đường thẳng HS
( )
( )
2
2 2
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2
2 2 2 2
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 0;0; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 2
a a
H A B
a a h ah ah a
C D S h I SB SC
   

26 26 3 3
2 4
S ABCD ABCD
a ah a a
d I SBC h a V h S
h a
= ⇔ = ⇔ = ⇒ = =
+
Bài luyện tập :
Bài 1: (Đề thi thử Đại học của Boxmath, 2012)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng a,
góc tạo bởi AB và (SBC) bằng 30
0
. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung
điểm của SM Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh
SC
⊥
mp(ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA, BN theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của SA, CD. Biết đường thẳng IJ tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Triệu Sơn 4, 2012)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy
góc 60
0
. Mp(P) chứa AB và tạo với đáy một góc 30
0

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :
Gốc O
AC BD= I
Ox
≡
đường thẳng BD
Oy
≡
đường thẳng AC
Oz
≡
đường thẳng OO'
Với O'
A C B D
′ ′ ′ ′
= I
* Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đặc biệt
Làm tương tự hình chóp tam giác có 1 cạnh bên vuông góc với đáy ở nhóm 1
* Lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đặc biệt
Làm tương tự hình chóp tứ giác có 1 cạnh bên vuông góc với đáy ở nhóm 1
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối D, 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có
đáy là hình vuông, ∆A'AC vuông cân, A'C = a. Tính thể tích khối tứ diện
ABB'C' và khoảng cách từ điểm A đến mp(BCD') theo a.
Hướng dẫn:
- Phân tích đề bài:
∆A'AC vuông cân tại A
2
2
2

   
′ ′ ′
⇒
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
   
     
*
3
1 2
, .
6 48
ABB C
a
V AB AB AC
′ ′
 
′ ′
= =
 
uuur uuur uuuur
16
A'
C
B
x
y
z
B'

 ÷
 
 ÷  ÷
 
   
uuur uuuur uuuruuuuur
⇒
Mp(BCD') đi qua B và có vectơ pháp tuyến
( )
2;0;1n =
r
⇒
Phương trình mp(BCD'):
2 2 2 2 0x z a+ − =

( )
( )
6
;
6
a
d A BCD
′
⇒ =
Ví dụ 2: (Toán học & tuổi trẻ, 5/2012) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C',
đáy ABC là tam giác vuông có CA = CB = a, góc giữa đường thẳng BA' và
mp(ACC'A') bằng 30
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh A'B'. Tính khoảng cách từ
điểm M đến mp(A'BC).

vectơ chỉ phương là
( )
; ;u BA a a h
′
= = −
r uuur
( )
( )
·
2 2
.
1
sin ; 2
2
.
2
j u
a
BA ACC A h a
j u
a h
′ ′ ′
⇒ = = = ⇒ =
+
r r
r r
( )
( )
( )
2 2

d M A BC
′
⇒ =
Bài luyện tập :
Bài 1: ( Toán học & Tuổi trẻ, 1 / 2013 ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C',
đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, AC = 2a, AC' tạo với mặt phẳng
(BCC'B') một góc 60
0
. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với B'C cắt BC tại H,
cắt CC' tại E. Tính thể tích khối chóp A'HAE.
Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Hoàng Lệ Kha, Thanh Hóa, 2013)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Mặt phẳng (A'BC) tạo với
đáy một góc 30
0
và ∆A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C'.
17
A'
C
B
y
z
B'
C'
z
A
x
Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Đoàn Thượng, Hải Dương, 2013)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C,
AB = 2a,

Sau giờ dạy tiến hành bài kiểm tra 15 phút và so sánh kết quả bài kiểm tra của
hai lớp đồng thời có sự quan sát về hứng thú học tập, mức độ tham gia vào giờ
học của học sinh ở hai lớp.
Kết quả bài kiểm tra thu được ở lớp thực nghiệm và đối chứng được thống kê
trong bảng sau
Bảng kết quả bài kiểm tra 15 phút: sau bài dạy “ Sử dụng phương pháp tọa độ
hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian”
Lớp Số
HS
Điểm X
i
Điểm
TB
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12A12 46 0 0 0 0 2 4 6 8 9 9 8 7,67
12A2 45 0 0 2 3 5 6 6 9 4 5 5 6,42
* Những đánh giá qua bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm:
18
+ Số lượng HS yếu, kém, trung bình của lớp TN thấp hơn lớp ĐC
+ Số lượng HS khá, giỏi của lớp TN cao hơn lớp ĐC
+ Điểm trung bình các bài kiểm tra của lớp TN cao hơn lớp ĐC
+ Học sinh của lớp thực nghiệm vẽ hình rõ ràng, có lập luận chặt chẽ. Điều đó
chứng tỏ học sinh đã hiểu được bản chất của hình học trong không gian.
+ Hầu hết học sinh lớp thực nghiệm chọn được hệ trục tọa độ; biểu diễn được
các điểm, đường thẳng, mặt phẳng qua hệ trục tọa độ đó
+ Không khí học tập ở lớp thực nghiệm sôi nổi hơn, học sinh có thể tự học -
tự làm việc độc lập. Hơn thế nữa, học sinh có hứng thú hơn trong các giờ học
môn Hình không gian.
Như vậy, khi hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp tọa độ hóa để
giải quyết một số bài toán hình học không gian tôi đã thu được nhũng kết quả

+ Kỹ năng lập phương trình mặt phẳng.
+ Kỹ năng lập phương trình đường thẳng.
+ Kỹ năng lập phương trình mặt cầu.
+ Kỹ năng chuyển hóa các phương trình đường thẳng.
+ Kỹ năng kết hợp giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích.
+ Kỹ năng chuyển hóa bài toán.
2. Kiến nghị và đề xuất
Qua quá trình nghiên và thực hiện đề tài, tôi mạnh dạn đưa ra một số ý kiến sau:
- Các trường học và ở các bộ môn học cần có những nghiên cứu về việc rèn
luyện các kỹ năng cho học sinh.
- Trong quá trình dạy học toán cần phát huy cao độ việc rèn luyện kỹ năng vận
dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian
lớp 12, từ đó giúp học sinh thấy được sự hấp dẫn, thú vị trong việc kết hợp giữa
hình học và đại số, khắc phục những khó khăn và sai lầm của học sinh, nâng cao
chất lượng dạy và học.
Lời kết: Tôi đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài và rất mong
nhận đươc những lời nhận xét, góp ý chỉ dẫn của các thầy cô giáo, các nhà
khoa học và bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn
thiện hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết SKKN :
Đỗ Thị Thủy

20


góc với đáy 11
- Nhóm 3: Hình chóp đa giác đều 13
- Nhóm 4: Lăng trụ đứng 15
IV. Thực nghiệm sư phạm 18
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19
1. Những kết quả đạt được từ đề tài nghiên cứu 19
2. Kiến nghị và đề xuất 20
Tài liệu tham khảo 21
22
23
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH LỚP 12 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA ĐỂ
GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: THPT Lê Lợi
SKKN : Môn Toán
THANH HÓA NĂM 2013