SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH
CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC"

1

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT chính vì vậy
trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường ngại làm những bài tập dạng này.
Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình học thì trước hết phải làm cho học
sinh thấy được một số bài toán cực trị hình học thực chất là những bài toán hình học
phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập
phức tạp trừu tượng khó giải quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học
sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực
trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đường
thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quan
đến khoảng cách. Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trị
hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính
chất hình học vào giải toán. Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách
giải.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong hướng giải
quyết và ngại học phần này.
2. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp.
3. Đối tượng.
ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba

.
+ MA nhỏ nhất bằng MH khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng
∆
.
Đó là hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M;
∆
)
≤
MA.
2. Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng
Cho đường thẳng
∆
và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên
∆
. Điểm H được xác định
như sau:
Cách 1:
. +Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
∆
.
+Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và
∆
chính là điểm H cần tìm.

3
A
M
∆


∆
và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho vectơ
MBbMAau +=
(a+b
0≠
) có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp: Chọn điểm I sao cho
0=+ IBbIAa
suy ra điểm I cố định.
Ta có
MIbaIBMIbIAMIaMBbMAau )()()( +=+++=+=

MIbau +=⇒
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên
đường thẳng
∆
.

4

Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
∆
: x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0). Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng






−
=
=
⇒



=−−
=−+
2
1
2
3
02
01
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
2
1
;

.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là: (x-
5)+2(y-8)=0
0212 =−+⇒ yx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ phương trình:







=
=
⇒



=+−
=−+
5
43
5
19
012
0212

thẳng d sao cho vectơ
MCMBMAu 2++=
có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =++ ICIBIA
⇒
điểm I cố định.

6

Ta có :
MIMCMBMAu 42 =++=
MIu 4=⇒
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường
thẳng
∆
.
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n

n
thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A
1
, A
2
, , A
n
.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do M thuộc
∆
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó
u
là biểu thức bậc hai theo biến
đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của
u
và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi
khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và
trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải
toán.
*Các bài tập tương tự.
Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3). Tìm các điểm M, N, E, F sao cho các
vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

7MBMAu 52 −=

NCNBNAu 32 +−=


MBbMAaIBbIAaMIMIba
+++=
+++++=

Do các điểm A, B, I cố định nên giá trị của biểu thức X phụ thuộc vào MI
Suy ra :
+)Nếu a+ b > 0 thì biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình
chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
+)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình
chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Ví dụ minh hoạ:

8

Ví dụ 1: Cho đường thẳng
∆
: 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2). Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng
∆
sao cho biểu thức
22
2 MBMAX +=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =+ IBIA








=
=
⇒



=−+
=−−
5
7
5
6
042
012
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
5
7

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ :

.
2
3
2
13
0213
023







−
=
−
=
⇒



=++
=+−
y
x

Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0
Chọn điểm I sao cho
0=++ IMIGIA
⇒
I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM).
Ta có :
2222222
3 IMIGIAPIPMPGPAX +++=++=
.

10

Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài PI nhỏ nhất
hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là:
09520)1(5)2(2 =−+⇒=−+− yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ:








Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n
)1, >∈ nN
và đường thẳng
∆
.
Tìm điểm M thuộc
∆
sao cho biểu thức
2
1
2
11
MAaMAaX
n
++=
đạtgiá trị nhỏ nhất (nếu
0
1
>
∑
=
n
i

, , A
n
.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do M thuộc
∆

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó X là biểu thức bậc hai theo biến
đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên

11

cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ
tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả
năng tìm tòi sáng tạo cho học sinh khi giải toán.
*Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2). Tìm các điểm M, N, E, F sao cho
các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a.
22
1
2MBMAX +=
b.
222
2
23 NDNCNBX +−=
c.
2222
3
32 EDECEBEAX +++=
Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2). Tìm các điểm I, K, F sao cho các

M
∆

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với
∆
thì MA+ MB
AB≥
.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M =
∆∩
AB
.

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với
∆
Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Ta có MA= A
1
M
⇒
MA+ MB = MA
1
+ MB
BA
1
≥

BA
1
≥
. Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A
1
B
khi M =
∆∩BA
1
.

13
1
A
A
M
B
∆

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng
∆
là: 4(x-1)
+ 3(y-2) = 0
⇒
4x + 3y - 10 = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ :
)
25

=+−
=−+
.
Do H là trung điểm của AA
1
nên A
1
(
25
18
;
25
49
).
Phương trình đường thẳng A
1
B là: 9x - 37y + 9 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=
−
=
⇒

14

Gọi O
1
là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d. Ta có MO= MO
1

⇒
MA+ MO =
MO
1
+ MA
AO
1
≥
. Suy ra MA + MO nhỏ nhất bằng O
1
A khi M =
dAO ∩
1
.
Phương trình đường thẳng d
1
đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d là:
x + y = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm O trên đường thẳng d là nghiệm của hệ :

)2;2()1;1(
1
1



=
−
=
⇒



=+−
=−+
3
4
3
2
02
022
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
3
4
;
3
2−
) là điểm cần tìm.
*Các bài tập tương tự.

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với
∆
gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Ta có MA = A
1
M
⇒
BAMBMAMBMA
11
≤−=−
.
Suy ra
MBMA −
lớn nhất bằng A
1
B khi M =
∆∩BA
1
.
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)
Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đường thẳng
∆
: 2x- y- 1 = 0.
Tìm toạ độ điểm N trên
∆


.
19
9
012
0725



−=
−=
⇔



=−−
=+−
y
x
yx
yx
Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3). Tìm điểm M thuộc
đường thẳng d sao cho
MBMA −
lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d
Gọi A
1

)2;1(=
d
u
là một vectơ chỉ phương của d)
Do H là trung điểm của AA
1
nên A
1
(
5
12
;
5
1
).
Phương trình đường thẳng A
1
B là: 3x + y- 3 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=
=
⇒

lớn nhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng CD sao cho
NBNA −
nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1). Gọi H, K lần lượt là chân đường cao, chân
đường phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC.
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AC sao cho
MKMH −
lớn nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng BI sao cho
NKNH −
lớn nhất.
DạngII: Viết phương trình đường thẳng
1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm A sao
cho khoảng cách từ B đến
∆
là lớn nhất.
Phương pháp:
Gọi H là hình chiếu của B trên
∆
.
Ta có:
ABBHBd ≤=∆);(

Suy ra
);( ∆Bd
lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
A trùng với H hay đường thẳng

Phương trình đường thẳng
∆
là: 2x - y = 0.
Vậy đường thẳng
∆
: 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu.
Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đường thẳng
m
∆
: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0
và điểm A(2;3).
a.Chứng minh rằng
m
∆
luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
m
∆
là lớn nhất.
Giải
a.Giả sử
m
∆
luôn đi qua điểm cố định M(x
o
;y
o
) với mọi m.
Khi đó: (m-2)x
o

yx
yx
myxmyx
.
Vậy
m
∆
luôn đi qua điểm cố định M(1;-3) với mọi m.
b.Gọi H là hình chiếu của A trên
m
∆ 19

Ta có :
AMAHAd
m
≤=∆ );(

Suy ra
);(
m
Ad ∆
lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay
m
AM ∆⊥
Lại có
)6;1(−=AM
,

Giải
Nhận thấy điểm A nằm trong đường tròn (c) nên đường thẳng
∆
đi qua A luôn cắt (c) tại
hai điểm phân biệt.
Đường tròn (c) có tâm I(
)1;
2
9−
, bán kính R=
2
107
Gọi H là trung điểm của MN thì
MNIH ⊥
. Ta có MN= 2MH= 2
22
IHR −
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất.
Mà
IAIH
≤
nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay
IH
⊥∆
.
Suy ra phương trình đường thẳng
∆
là : 7x - 2y + 7 = 0.
Vậy đường thẳng
∆

∆
) lớn nhất.
Phương pháp:
Xét hai trường hợp:
+)Nếu B, C nằm về hai phía so với
∆
.
Gọi M = BC
∆∩
.
Ta có : d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.
Gọi N là trung điểm của BC.

21
B
∆
N
C

+)Nếu B, C nằm về hai phía so với
∆
.Gọi M=BC
∆∩
.
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(3;4)
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)=
NANd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
∆⊥


22

Giải:
Xét hai trường hợp:
+Nếu B, C nằm về hai phía so với
∆
.Gọi M=BC
∆∩
.
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(5;6)
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆

∆
) lớn nhất.

Giải:
Chọn hai điểm N
1
, P
1
sao cho:
MPMPMNMN 3,2
11
==
.

23⇒
N
1
(-3;2), P
1
(5;9).
Ta có d(N
1
;
∆
)= 2d(N;
∆
), d(P

;
∆
) lớn nhất.
Xét hai trường hợp:
+Nếu N
1
, P
1
nằm về hai phía so với
∆
.
Gọi I = N
1
P
1
∆∩
.
⇒
d(N
1
;
∆
)+ d(P
1
;
∆
)
1111
PNNPIN =+≤
.

)
≤

JAJd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi JA
∆⊥
.
Ta có N
1
P
1
=
113
, AJ=
2
137

⇒
N
1
P
1
< 2AJ.
Suy ra d(N
1
;
∆
)+d(P
1

1
∆
J

Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết. Cách trình bày đơn giản
về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong tư duy.
Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đưa về tìm giá trị lớn nhất
của hàm số.
*) Bài toán tổng quát:
Cho 3 điểm A, B, C. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A sao cho biểu thức ad(B;
∆
)+ bd(C;
∆
) đạt giá tri lớn nhất (a > 0, b > 0).
Hướng dẫn:
Chọn hai điểm B
1
, C
1
thỏa mãn :
ACbACABaAB ==
11
,
Suy ra: ad(B;
∆
)+ bd(C;
∆
)= d(B

điểm của AB, BC, AC.
a,Viết phương trình đường thẳng
1
∆
đi qua điểm M sao cho biểu thức
d(N;
1
∆
)+ 2d(P;
1
∆
) đạt giá trị lớn nhất.
b,Viết phương trình đường thẳng
2
∆
đi qua điểm A sao cho biểu thức 2d(N;
2
∆
)+ 5(P;
2
∆
)
đạt giá trị lớn nhất.

25