SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên sáng kiến: NHỮNG KỸ NĂNG GIÚP HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Ở MỘT TIẾT LUYỆN TẬP HÌNH
HỌC LỚP 9.
Tên cá nhân: NGUYỄN THỊ HỒNG THU
Thời gian thực hiện: Năm học 2011-2012
I. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN:
Trong các môn học ở trường phổ thông môn Toán là một bộ môn không
phải dễ học đối với đa số học sinh, vì thế đòi hỏi người giáo viên dạy toán luôn
phải tìm tòi những phương pháp nào tối ưu nhất để truyền đạt hết nội dung kiến
thức cho học sinh một cách nhẹ nhàng và dễ hiểu.
Vì vậy, là giáo viên dạy Toán lúc nào tôi cũng mong muốn tất cả học sinh
của mình sau một tiết học trên lớp em nào cũng hiểu và làm được tất cả các bài
tập đã cho. Nhưng thực tế học sinh ở trường THCS Lê Hồng Phong sau khi học
xong một tiết Toán nói chung và đặc biệt là tiết hình học không phải em nào
cũng hiểu được nội dung bài học và làm được tất cả các bài tập mà giáo viên yêu
cầu, nhất là đối với học sinh lớp 9, mà chủ yếu là các em mất gốc và thiếu đi một
số kỹ năng cơ bản trong quá trình lĩnh hội kiến thức. Do đó, các em thiếu tự tin
trong quá trình làm bài tập và việc nắm bắt kiến thức chậm so với yêu cầu của
từng bài học.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa số học sinh khối lớp 9 rất ngại khi
giáo viên gọi lên giải những bài toán của phân môn hình học. Thật vậy, hình học
đã trừu tượng khó hiểu, khó áp dụng giữa lý thuyết vào giải các bài tập, chứng
minh hình học, hơn thế nữa các bài toán về cực trị hình học lại càng khó hơn các
em không biết bắt đầu từ đâu để làm dạng bài này, từ thực tế trên tôi thấy đa số
học sinh lớp 9 trường THCS Lê Hồng Phong khi giải các bài toán về cực trị
trong hình học chỉ vài em làm bài theo cảm tính, các em giải không được đầy đủ,
không theo logíc toán học mà chỉ trình bày theo ý hiểu của các em.
Để giúp các em giải quyết những khó khăn nêu trên với những năm kinh
nghiệm trong công tác và sự tìm tòi của bản thân tôi đã thử nghiệm một số kỹ
năng trong việc giải các bài toán về cực trị hình học để phần nào giúp các em tự

VD: Cho đường tròn (O, R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = a.
Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
Bước 3: Cung cấp cho học sinh cách trình bày bài toán cực trị hình học:
Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài chỉ ra một hình, rồi chứng
minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc
lớn hơn) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra.
Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực trị thành một đại lượng khác tương
đương (nếu được) rồi từ đó dùng kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của A (A là một đại lượng nào đó như góc, đoạn thắng …)
a) Ta chứng minh được A
≥
m ( m không đổi)
Có một hình sao cho A = m thì giá trị nhỏ nhất của A là m.
b) Ta chứng minh được A
≤
m (m không đổi)
Có một hình sao cho A = m thì giá trị lớn nhất của A là m.
Từ đó xác định được vị trí của các điểm để đạt cực trị.
Bước 4: Cung cấp các kiến thức cần thiết để giải bài toán cực trị:
a. Quy tắc các điểm:
- Với A, B, C bất kỳ ta có BC
≤
AB+AC. Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi A
thuộc đoạn BC.
b. Bất dẳng thức trong tam giác:
Trong tam giác ABC ta có:
ACAB −
<BC < AB+AC;
A
ˆ

a
b
b
a
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.
- Nếu a
≥
0;b
≥
0 mà a+b là hằng số thì a.b đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ
khi a= b.
- Nếu a
≥
0;b
≥
0 mà a.b là hằng số thì a+b đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ
khi a= b.
e. Các bất đẳng thức đường tròn gồm các định lý sau:
1. Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.
2. Trong 2 dây của 1 đường tròn.
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
3. Trong 2 cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc
ở tâm lớn hơn.
4. Trong 2 cung nhỏ của một đường tròn.
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
3. Các ví dụ minh hoạ:
3.1. Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC vuông ở C, D là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Gọi

MN = CD (t/c hình chữ nhật).
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi CD nhỏ nhất.
Kẻ CH
⊥
AB, CD
≥
CH, CD nhỏ nhất khi và chỉ khi
CD = CH
HD
≡⇔
(quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
Vậy MN nhỏ nhất khi D là chân đường vuông góc hạ từ C xuống cạnh AB.
3.2. Ví dụ 2:
Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox,
điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Kẻ tia Om nằm ngoài góc
xOy sao cho góc xOm = góc AOy. Trên tia Om
lấy điểm D sao cho OD = OA.
Ta có: AB + BD ≥ AD (dùng quy tắc các
điểm) ⇒ AC + AB ≥ AD
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi B ∈ AD
Giải:
O
y
A
C
B
D
m
x

(Vận dụng các bất đẳng thức đại số)
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích
lớn nhất.
b. Các hình chữ nhật có cùng diện tích nghĩa là x.y không đổi thì tổng
(x+y) nhỏ nhất khi x = y (Vận dụng các bất đẳng thức đại số)
Suy ra C =2.( x+y) nhỏ nhất khi x = y.
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi
nhỏ nhất.
3.4. Ví dụ 4:
Cho nửa đường tròn(O,R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx tại B của
(O).Gọi M là điểm di động thuộc nửa đường tròn (O) và AM cắt Bx tại N. Xác
định vị trí của M để 2AM +AN đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn: dùng bất đẳng thức Cô-si cho
2AM và AN ta có :
2AM+AN
≥
2
ANAM .2
.Dấu bằng xảy ra khi
2AM = AN từ đó ta xác định được điểm M.
Giải:
Ta có: góc AMB = 90
0
∆
ABN vuông tại B có đường cao BM nên:
AM. AN = AB
22
4R=
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2AM và AN ta có:

2
ˆ
2
ˆ
BC
>⇔
Gọi I là giao điểm của BE và CF.
Xét
∆
IBC, ta có: IB > IC
Trên tia IB, lấy đoạn ID = IC,
D nằm giữa I và B.
Dựng góc IDJ bằng góc ICA tức là bằng
2
ˆ
C
. DJ cắt AB trên đoạn BF:
⇒
DJ cắt CF tại K nằm ngoài C và F.
⇒
IK > IF
Do đó : IK + IB > IC + IF = CF (1)
Ta lại có:
∆
IDK =
∆
ICE (g.c.g)
⇒
IK = IE
Do đó: (1)

= 2AI
=> Max (AM + AN) = Max AI
Mặt khác góc OIA = 90
0
=> AI là dây cung của đường tròn (K) đường
kính AO.
Max AI <=> AI là đường kính của đường tròn (K)(áp dụng đường kính là
dây lớn nhất của đường tròn) <=> d qua O.
Vậy vị trí của đường thẳng d phải tìm để tổng AM + AN lớn nhất là đường
thẳng đi qua O.
3.8. Ví dụ 8:
Cho
∆
ABC nhọn. Điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P, Q là hình
chiếu của M trên AB, AC. Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
$
P
+
Q
ˆ
= 180
0

= > APMQ là tứ giác nội tiếp (O)
kẻ OH
⊥
PQ . Đặt góc BAC =
α

MCD
=
2
1
MC . MD
Đặt gócAMC = góc BMD =
α
.
Ta có :
MC =
α
Cos
MA
; MD =
α
Sin
MB

Nên: S
MCD
=
2
1
.
αα
CosSin
MBMA
.
.


MCD

≥
MA . MB
Dấu "=” xảy ra khi Sin
α
= Cos
α
<=> Sin
α
= Sin (90
0
-
α
) <=>
α
= 45
0
Vậy: Min S
MCD
= MA. MB khi các điểm C, D được xác định trên các tia
Ax , By sao cho AC = AM , BD = BM .
IV. KẾT QUẢ HIỆU QUẢ MANG LẠI:
1. Kết quả:
Những năm qua với sự nỗ lực của bản thân trong công tác giảng dạy, tôi
đã tìm hiểu những cái mới, cái hay để truyền thụ cho học sinh những kiến thức
cơ bản và dễ hiểu nhất với mục đích tạo nền móng vững chắc cho các em trong
môn toán nói chung và đặc biệt là phân môn hình học tìm cực trị nói riêng. Với
sự nỗ lực đó tôi đã thành công trong việc kích thích sự hứng thú học tập của học
sinh trong môn toán nói chung và phân môn hình học nói riêng. Ngoài ra, còn

lãnh đạo của nhà trường và sự tin yêu của các bậc phụ huynh và đây chính là
động lực giúp tôi phấn đấu hơn trong công tác giảng dạy, góp phần nâng cao
chất lượng giáo dục toàn diện trong nhà trường, đưa sự nghiệp giáo dục của địa
phương từng bước phát triển đi lên.
- Đối với học sinh: Giúp các em khắc sâu hơn kiến thức cơ bản ở các lớp
dưới; đồng thời tạo cho các em một niềm tin, sự hứng thú trong học tập, chất
lượng học tập ngày một được nâng lên.
- Đối với nhà trường: Phổ biến rộng rãi trong đội ngũ giáo viên để tạo sự
phấn đấu chung trong nhà trường; chất lượng giảng dạy của giáo viên ngày một
nâng lên, chất lượng giáo dục đại trà ngày một phát triển; là nơi tin tưởng của
các bậc cha mẹ học sinh và của toàn xã hội.
V. ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN:
- Ưu điểm:
Áp dụng đề tài này vào giảng dạy sẽ giúp các em mạnh dạn và tự tin hơn
trong quá trình học tập phân môn hình học góp phần nâng cao chất lượng học tập
của học sinh; sáng kiến này dễ áp dụng đối với các trường thuộc vùng sâu, vùng
xa, cho toàn thể cán bộ giáo viên giảng dạy bộ môn toán, đặc biệt là đội ngũ giáo
viên thường xuyên trong công tác ôn thi học sinh giỏi;
Các kỹ năng, nội dung này dễ áp dụng ít mất thời gian, có thể lồng ghép
vào các buổi sinh hoạt chuyên đề hoặc thao giảng.
Quá trình áp dụng sẽ tạo được sự húng thú, say mê trong học tập của học
sinh, giúp học sinh tự tin và yêu thích trong khi học môn toán nói chung và phân
môn hình học nói riêng. Từ đó, chất lượng giảng dạy và học tập ngày một nâng
lên, tạo được sự tin yêu trong phụ huynh.
- Hạn chế:
Tuy nhiên nội dung sáng kiến nằm trong phạm vi hẹp, mới áp dụng trong
1 năm, chỉ dành riêng cho giáo viên dạy toán ở khối 9, chỉ áp dụng trong việc
giải các tiết luyện tập * đối với phân môn hình học, học sinh phải nắm vững kiến
thức cơ bản trong phân môn hình học.
VI. KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT: