Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
SÁNG KIN KINH NGHIM
" PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR
TRONG HÌNH HC GII TÍCH"

I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng thng, mt phng và
tìm đim là nhng bài toán chim mt v trí quan trng. Trong các đ thi đi hc luôn có vn đ
này, song bài toán liên quan đn vn đ cc tr li là vn đ khó vi hc sinh và đòi hi hc sinh
phi có t duy sâu sc. i vi hc sinh gii có th làm tt phn này, tuy nhiên cách gii còn ri
rc, làm bài nào bit bài đy và thng tn nhiu thi gian cho các bài tp khó. Trong sách giáo
khoa loi bài tp này không xut hin, trong các tài liu tham kho thì các bài tp này cha mang
tính h thng, cha phân loi và cha ch ra đc đng li gii cho loi bài toán này.
Trong hè nm 2008 và 2009, tôi đã có dp trao đi mt s ni dung vi lp Bi dng giáo
viên thì đây cng là vn đ khó đi vi c các thy cô giáo. Vi nhng lý do trên, tôi mun hoàn
thin mt lp các bài toán này nhm giúp các em hc sinh có cái nhìn tng quát và mang tính h
thng cho vn đ này. Qua đó giúp hc sinh không phi e s phn này và quan trng hn là khi
đng trc mt bài toán, hc sinh có th bt ngay đc cách gii, đc đnh hng khi làm bài,
t đó có cách gii ti u cho mt bài toán.
V vn đ này gn đây trong mt tp chí Toán hc tui tr cng có đ cp đn, nhng tôi
xin trình bày vn đ vi góc nhìn ca riêng tôi, mc dù vì điu kin thi gian, kinh nghim và
kin thc còn hn ch, có vn đ vic phát trin là cha nhiu, tôi s còn tip tc hoàn thin vn
đ này và có thêm nhng ý tng mi trong quá trình ging dy. Rt mong nhn đc s đóng
góp ý kin chnh sa đ đ tài này đc hoàn thin hn.

II - Ni dung nghiên cu


Phn I : Vit phng trình mt phng

C s lý thuyt:
 vit phng trình mt phng cn xác đnh hai yu t là mt đim thuc mt phng và
mt véc t pháp tuyn
ây cng chính là c s đ xây dng các bài toán.
Ta bt đu t mt bài toán rt đn gin

Bài toán 1:
Cho hai đim A, B. Xác đnh mt phng (P) đi qua A và cách B mt khong ln nht.

Phân tích:
Gi s mt phng (P) đã đc xác đnh. Bài toán hi đn
khong cách t B đn mt phng, đng nhiên ta phi xác đnh
khong cách t B đn mt phng (P).
 xác đnh khong cách ln nht ta dùng bt đng thc
đánh giá d(B, (P)) nh hn mt giá tr không đi và giá tr không
đi đó là giá tr đã bit AB.
B
AGii:
Gi H là hình chiu ca B trên (P) d(B, (P)) = BH ⇒
Ta có BH AB không đi . Du " = " xy ra ≤
⇔
H
≡
A

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Xác đnh khong cách t A ti (P) và so sánh vi
khong cách không đi. T đó liên h gia khong cách t
A ti , đa ti li gii sau: Δ
Li gii:
Gi H là hình chiu ca A trên (P), K là hình chiu ca A
trên
⇒ d(A,(P)) = AH. Ta có AH
Δ
≤
AK ( không đi)
Du "=" xy ra H
≡ K hay max AH = AK
⇔

F
H
K
A

⇔
H K hay (P), tc là véc t pháp tuyn ca (P). ≡ AK
uuur
⊥ AK
uuur
Do đó, mt phng (P) hoàn toàn đc xác đnh là mt phng qua mt đim bt kì ca
Δ

Δ== Δ=+
⎨
−
⎪
=−
⎩
1

Vit phng trình mt phng (P) qua
Δ
và cách
2
Δ
mt khong ln nht.
Li gii:

D thy , do vy, khong cách t
2
1
//ΔΔ
1
Δ
ti (P) bng khong cách t mt đim bt kì
ca ti (P). Ly A(-4; -1; 3) , bài toán tr v: " Xác đnh mt phng (P) qua
1
Δ
1
∈Δ
2
Δ

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Li gii:
Gi s (P) đã đc xác đnh. Gi M là đim bt kì
và H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và
. Khi đó (
1
∈Δ
2
Δ
฀
฀
112
,(P)) MAH , ( ; ) = MAK
α
ϕ
Δ= =ΔΔ =
(là góc không đi)
Ta có:
MH MK
sin , sin = và MK MH
MK MA
αϕ
=≥

nên
sin sin
α

uuur
là véc t pháp tuyn ca (P), hay ta có th
thy mt phng véc t pháp tuyn ca (P) là
12
(; ) (P)ΔΔ ⊥ ⇒
12 2
;,nuuu
r
⎡
⎤
⎡⎤
=
⎣⎦
⎣
⎦
ur uuruur
1

Vy (P) hoàn toàn đc xác đnh.

Nhn xét:
1. ng thng khi đó là hình chiu ca
2
Δ
Δ
trên (P). Do đó bài toán có th đc phát
trin di dng " Xác đnh mt phng (P) sao cho
2
Δ
là hình chiu vuông góc ca

2
3. Nu ΔΔ : mt phng cha
Δ
hoc cha
1
Δ
hoc song song
1
Δ
thì góc
gia và (P) luông bng 0. Do đó bài toán không đc đt ra cho hai v trí trên.
1
Δ
4. Nu ct : mt phng cha
1
Δ
2
Δ
1
Δ
và hp vi
2
Δ
mt góc nh nht chính là mt
phng cha 2 đng thng .
12
,ΔΔ
12
,ΔΔ
Nu chéo nhau: Mt phng cha

2
Δ
và hp vi
1
Δ
mt góc ln nht.
Li gii

D thy chéo nhau. Ta ly đim A(2; -1; 1)
12
,ΔΔ
2
∈
Δ , qua A dng đng thng
có phng trình:
''
11
// ΔΔ⇒Δ
1
x- 2 y+1 z-1
==
32-
1
11 2 2
có vtcp (3; 2; 1), có vtcp (2;3; 5) uuΔ−−Δ −⇒
ur uur
.
Khi đó: và tr v bài toán trên.
'
12

1. Vi li gii ví d này, khi ta áp dng kt qu bài toán trên thì không nht thit phi xác
đnh song đ trình bày li gii c th mt bài toán khi xut hin đc lp ta phi ch ra đy đ
c s nh bài toán trên thì phi vit phng trình
'
1
Δ
'
1
Δ
.
2. Vi bài toán này, khi ging dy các thy cô giáo có th đt ra rt nhiu bài toán c th
t hai đng thng ct nhau hoc chéo nhau.

Bài toán 4:
Cho đng thng và mt phng (P) ct nhau. Xác đnh mt phng (Q) cha và hp vi
(P) mt góc nh nht.
Δ Δ

Phân tích:
Vì theo mt giao
tuyn. Vn theo ý tng đu tiên, ta xác đnh góc gia
(P) và (Q) và so sánh vi góc không đi trong bài toán
này là góc gia và (P).
( ) (Q) (P)PAΔ∩ = ⇒ ∩
Δ
Li gii:
Gi
A (
; M là đim bt kì trên
P)=Δ∩

và MA ≥ MK
sin sin
α
ϕ
⇒≥
. Vì hàm sin đng bin trên
0;
2
π
⎡
⎢
⎣⎦
⎤
⎥
nên
α
ϕ
≥ (không đi).
min khi K A
ϕ
α
⇒= ≡
, hay d
⊥
Δ . Suy ra, mt phng (Q) ct (P) theo mt giao tuyn vuông
góc vi
Δ thì góc
ϕ
là góc nh nht.
Gi véc t pháp tuyn ca (P) là

Li gii:
Áp dng bài toán trên, ta gi vtcp ca
là uΔ
r
(2; -1;3), véc t pháp tuyn ca (P) là
P
n
u
ur
(1; 1;1)
thì giao tuyên d ca (P) và (Q) có véc t ch phng là
d
u=[u;n]
P
u
urruur
= ( -4; 1; 3)
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) là
Qd
n=[u;u]
u
ur u urr
= (6; 18; 2) chn véc t pháp tuyn là
(3; 9; 1). Mt phng (Q) qua M(3; 0; 1)
⇒
1

Phn II: Bài toán vit phng trình đng thng

Bài toán 5:

Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đim B không thuc (P). Tìm đng thng
Δ

nm trong (P), Δ qua A và cách B mt khong ln nhât, nh nht.

Phân tích:
Vn ý tng t bài toán hi khong cách t B ti
, ta xác đnh khong cách t B ti
Δ
Δ
và so sánh vi
khong cách không đi. Trong bài toán này có 2
khong cách không đi là d(B,(P)) và BA.
Li gii:

Gi H, K tng ng là hình chiu ca B trên (P) và
Δ

⇒ d(B, (P)) = BH và d(B, ) = BK. Δ
F
H
D
A

đng thng đi qua A và song song vi (P), vit phng trình đng thng d sao cho khong
cách t B đn d là nh nht.
Phân tích:
Rõ ràng t ý tng ca bài toán trên cùng vi bài toán qua 1 đim tn ti duy nht mt
mt phng song song vi mt phng cho trc, ta đã đa đn mt bài toán c th và ít tng
minh hn.
Li gii:

Gi (Q) là mt phng song song vi mt phng (P) và qua A
⇒ (Q) có phng trình :
x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 x - 2y + 2z + 1 = 0
⇔
Áp dng kt qu bài toán trên, gi H là hình chiu ca B trên (P).
D dàng tính toán đc H
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
9
7
;
9
11
;
9
1
⇒ AH

Cho đng thng và hai đim A(2; -1; 1), B(0; 1;2).
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−=
=
Δ
tz
ty
tx
2
1
2
:
Vit phng trình đng thng d qua A, vuông góc vi
Δ
và cách B mt khong ln
nht, nh nht.
Phân tích:
Mt phng (P) chính là mt phng qua A và vuông góc vi
Δ
. Khi đó bài toán tr v bài
toán 5. Áp dng bài toán trên, ta có li gii.
Li gii.
Gi (P) là mt phng qua A và vuông góc vi
Δ
⇒ (P) có phng trình:

4
1y
3
2x
−
−
=
+
=
−

2, BK
≥ BH (không đi) ⇒minBK = BH khi K
≡
H hay d là đng thng qua A và H
Gi
Δ
là đng thng qua B và vuông góc vi (P).
1 1
Δ
có phng trình:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
−=
=
tz

=
=
⇔
=−+−
+=
−=
=
6/17
6/1
3/5
6/5
06zyx2
t2z
t1y
t2x
z
y
x
t

⇒ H
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
17
;

1y
3
2x
−
−
=
−
+
=
−

Ví d 3:

Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đng thng d có phng trình .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+−=
−=
tz
ty
tx
2
2
1
Trong các đng thng qua A và ct d, vit phng trình đng thng cách B mt khong
ln nht, nh nht.

=
]n;AB[
P
= (-4; 16; 12)
Chn
1
u
(-1;4;3) là véc t ch phng ca
Δ
(
1
u
không cùng phng u )
ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình :
Δ
3
2z
4
4y
1
1x −
=
−
=
−
−

2, ng thng cách B mt khong ln nht
Δ
⇔

⎪
⎨
⎧
=−+−
+=
−=
+−=
07z3yx5
t34z
t2y
t51x
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
⇒ H
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
35
146
;
35
68
;
7

19
2z
18
4y
15
1x
−
−
=
−
=
−Bài toán 6:
Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đng thng d ct (P). Xác đnh đng thng
Δ

nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht.

Phân tích:
T cách xác đnh góc gia hai đng thng trong
không gian là góc gia hai đng thng cùng đi qua 1
đim ta xác đinh d' qua A và song song vi d. Khi đó
(d, ) = (d', ). Vy phi xác đnh góc gia d' và
Δ Δ
Δ
,
sau đó liên h vi góc không đi là góc gia d' và (P).
Li gii:

ϕ
và MK ≥MH ⇒ sin
α
≥sin
ϕ
⇒
α
≥
ϕ

⇒ min
α
=
ϕ
khi H K hay là đng thng qua A và H. Khi đó, véc t ch phng ca ≡
Δ
Δ
là:
Δ
u
=
]n];n;u[[
PPd
. Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh qua A và có véc t ch phng
Δ
Δ
u
.
2,
α

−
và mt phng (P) : 2x + y + z +1 = 0. im A(0;2;1) thuc
(P). Vit phng trình đng thng
Δ
nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht,
nh nht.
Li gii:
d có véc t ch phng
u
(2;1;-3); (P) có véc t pháp tuyn n (2;1;1).
Theo kt qu bài toán trên:
1,
Δ hp vi d mt góc ln nht khi
Δ
vuông góc vi d véc t ch phng ca ⇒
Δ
là:
=
Δ
u ]n;u[
= (4; -8; 0). Chn
1
u
=(1;-2;0 ) là véc t ch phng ca
Δ
.
Ta có phng trình :
Δ
⎪
⎩

1z
1
2y
2
x −
=
−
=
−

Chú ý:
Nu d//(P) hoc d nm trong (P) thì đng thng nm trong (P), đi qua A và hp vi d
mt góc ln nht là 90
0
, góc nh nht là 0
0
.

Bài toán 7:

Cho mt phng (P) và đim A thuc (P). ng thng d ct (P) ti mt đim khác A.
Xác đnh đng thng nm trong (P), đi qua A sao cho khong cách gia và d là ln
nht.
Δ Δ

Phân tích:
T khong cách gia hai đng thng là khong
cách gia đng thng và mt phng cha đng
thng còn li và song song vi đng đng thng
xác đnh đng thng d' qua A và d'//d mt

B
K
làm véc t pháp tuyn.
Hoc gi I là hình chiu ca A trên d AI // BK
⇒ ⇒
AI là véc t pháp tuyn ca mt phng (Q)
(Q) hoàn toàn xác đnh là giao tuyn ca (Q) và (P) ⇒
⇒ ⇒ Δ
Δ
hoàn toàn xác đnh.

Ví d :
Cho mt phng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đng thng d :
1
z
2
1y
3
3x
=
−
+
=
−
. im
A(0;2;3) nm trong (P). Vit phng trình đng thng
Δ
đi qua A sao cho khong cách gia d
và là ln nht.
Δ

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
7
27
;
7
9
;
7
3

Chn véc t pháp tuyn ca (Q) là
Q
n (1; -3;9). Vì
Δ
là giao tuyn ca (Q) và (P) nên ⇒
véc t ch phng ca là: Δ
u
= ]n;[
Q
P
n =(-12; 19; 7)
⇒ Δ
qua A và có véc t ch phng ca
u
có phng trình:

"Cho đng thng và hai đim A,B. Tìm trên
Δ
Δ
đim M sao cho MA+MB đt giá tr
nh nht."
Li gii bài toán đc chia 2 trng hp:
TH1: A, B khác phía M = AB
Δ ⇒
∩
Δ
. Ta d dàng chng minh đc và xác đnh đc
M.
TH2: A, B cùng phia Gi A
Δ
⇒
1
là đim đi xng A qua
Δ
M = A⇒
1
B
∩
Δ
. Ta d
dàng chng minh đc và xác đnh đc M.
Tuy nhiên câu hi đt ra là ti sao ta đa đn vic ly đi xng. Câu tr li là d hiu vi
hu ht hc sinh đó là vic ta tìm 1 đim A
1
thay th vai trò ca A (
Δ∈

M
A
I
B
H
K
Li gii
Gi (P) là mt phng cha A và
Δ
; I là đim trong mt phng (P) sao cho IH
⊥
Δ
;
IH = BH và I khác phía vi A so vi đng thng
Δ
. Khi đó, ta d dàng chng minh đc
M = AI ∩ Δ
Tht vy: Gi M' là đim bt kì thuc
Δ
⇒ MB = MI và M'B = M'I
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Ta có: M'A + M'B = M'A + M'I AI mà AI = MA + MI = MA + MB ≥
⇒ M'A + M'B ≥ MA + MB
⇒ M đc xác đnh nh trên tha mãn bài toán : MA + MB nh nht.
Tuy nhiên vi cách gii trên khó khn trong vic tìm ta đ đim I khi thc hành
Ta chú ý: Gi K là hình chiu ca A trên
Δ

Δ
∈
M và biu din M theo tham s ca Δ
Tính MA + MB theo công thc khong cách
Vit li MA + MB =
2
2
2
2
2
1
2
1
BABA +++
, sao cho B
1,
BB
2
luông là hng s, A
1,
A
2
ph
thuc t
Khi đó s dng bt đng thc véc t: vuvu +≥+ . Nh vy, đ du " = " xy ra thì các
véc t
v,u
phi tha mãn
vu +
không ph thuc t,

ty
tx
4
1
21
M
AMB+
uuur uuur
1. Tìm trên đim M sao cho
Δ là nh nht
2. Tìm trên đim I sao cho 2IAΔ
2
+ 3IB
2
là nh nht
3. Tìm trên đim N sao cho NA+ NB là nh nht Δ
4. Tìm trên đim K sao cho Δ
AKKB−

Li gii:

1. Ta có:
M
AMB+
uuur uuur
M
J
uuur
= 2 vi J là trung đim ca AB ⇒
M

M
AMB tt t+=− −−
uuur uuur
⇒
()()
22
2
14 2 1 4
M
AMB t t t+=−+−+
u
uur uuur

=
2
24 12 2tt
−
+

Xét hàm s f(t) = . Có f'(t) = 48t - 12
2
24 12 2tt−+
⇒
1
'( ) 0
4
ft t
=
<=> =


Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
2.
(
12;1 ;
)
I
Ittt∈Δ => + −
⇒ IA
2
= 4t
2
+ (1- t )
2
+( t+1)
2
= 6 t
2
+ 2.
IB
2
= (2t -1)
2
+ t
2
+( t -1)
2
= 6 t

;;
51010
I
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
tha mãn bài toán.
( Nhng vn đ đn gin, c bn trong khuôn kh bài vit đc b qua vic chng minh )
3. Tìm sao cho NA + NB nh nht
N ∈Δ
⇒ N( 1+2t; 1- t; t)
N ∈Δ
NA + NB
()() () ()
22 2
22
41121tt t t tt=+−+++−++−
2
122
6266ttt=++−+22
2
11

⎜⎟
⎝⎠
rr
ut
69
6
42
NA NB u v u v+=+≥+=+=
rr rr
⇒
Du "=" xy ra
u
và cùng hng ⇔
r
v
r
62 1
12
1
1
3
6
22
t
ttt
t
⇔

=
<=> = − <=> =

22
| KA KB| | 6t 2 6t 6t 2 |
−
=+−−+

2
2
11
6t 2 6 t
22
⎛⎞
+− − +
⎜⎟
⎝⎠
chn véc t
()
11
u6t;2;v6tt;
2
2
⎛⎞
⎛⎞
==−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
ur ur

=

1
t
6t
2
2
2
= <=> =
⎛⎞
−
−
⎜⎟
⎝⎠
t=1 K(3;0;1) tho mãn bài toán. ⇔ ⇒
Cách 2: (Phn 3) Theo kt qu bài toán trên
Gi H và I tng ng là hình chiu ca A và B trên ∆ ta d dàng xác đnh đc
11
I2; ;
22
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
;
H(1;1;0) ;
1
AH 2 ; BI
2
==

AH
KH KI

,,
α
βγ
cho trc sao cho
. Tìm đim M trên mt phng (P) sao cho
0α+β+γ≠
MA MB MCα+β+γ
u
uuuruuuuruuuur
đt giá tr nh
nht.
Li gii:
Xác đnh I sao cho
α+
⇒d dàng xác đnh đc đim I, khi đó
IA IB IC 0β+γ=
uur uuruuru
r
MA MB MC MIα+β+γ =α+β+γ
uuuur uuuur uuuur
(1) do đó MA MB MCα+β+γ
u
uuuruuuuruuuur
đt giá tr nh nht khi và ch khi
MI nh nht M là hình chiu ca I trên (P)
⇔
,,γ
Chú ý : Trong (1) ta s dng công thc thu gn véc t, đim I chính là tâm t c ca h 3 đim
A, B, C ng vi b 3 s
αβ

42y93y42y3y0
62z63z22z33z 0
−
−−+−+−=
⎧
⎪
−−+−−−=
⎨
⎪
−
++ −− +− =
⎩

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian

____________________________________________________________________________
Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai
Gii h phng trình, tìm đc I
)
4
13
;
4
9
;
4
5
( −−
. Theo bài toán trên, ta có
2MA 3MB 2MC 3MD−+ +

Th ba: Khi áp dng xong đ tài này, kh nng v hình ca các em khá tt, trí tng tng
không gian phong phú, li t duy sâu sc to nn tng chc chn đ các em hc tip mng kin
thc khác.
Kt qu thu đc:  tài này đã đc tôi dn hoàn thin và áp dng qua nhiu nm hc:
Nm 2008: Lp 12 chuyên Toán và 12 chuyên Hoá trng THPT chuyên Tnh Lào Cai qua
2 ln kim tra chuyên đ hình hc gii tích, trc và sau khi áp dng có ni dung này.

Trc khi áp dng Sau khi áp dung
Lp
S hc sinh kim tra S hc sinh
làm đc.
S hc sinh kim
tra
S hc sinh làm đc.
12 Toán 35 6 35 29
12 Hoá 34 3 33 22

Nm 2009: Lp 12 chuyên Lý qua 2 ln kim tra chuyên đ hình hc gii tích, trc và sau
khi áp dng có ni dung này.

Trc khi áp dng Sau khi áp dung
Lp
S hc sinh kim tra S hc sinh
làm đc.
S hc sinh kim
tra
S hc sinh làm đc.
12 Lý 33 4 33 24

Nm 2011: Lp 12 A1 trng THPT s 3 TPLC qua 2 ln kim tra chuyên đ hình hc gii

chuyên đ này.
Mt s đ xut

Mi bài toán thng có nhiu cách gii, vic hc sinh phát hin ra nhng cách gii khác nhau
cn đc khuyn khích. Song trong nhng cách gii đó cn phân tích rõ u đim và hn ch t đó
chn đc cách gii ti u. c bit cn chú ý ti nhng cách gii bài bn, có phng pháp và có
th áp dng phng pháp đó cho nhiu bài toán khác. Vi tinh thn nh vy và theo hng này
các thy cô giáo và các em hc sinh có th tìm ra đc nhiu kinh nghim hay vi đ tài khác
nhau. Chng hn, các bài toán v ng dng phng pháp tìm giá tr ln nht nh nht theo bt
đng thc véc t vào bài toán tìm giá tr ln nht nh nht trong gii tích, gii phng trình hay
bt phng trình…
LI KT:
Trên đây là mt vn đ nh v ni dung bài toán cc tr hình hc mà tôi mun đ cp
đn. iu tôi mun làm  đây là mt s phng pháp tìm li gii cho bài toán, qua đó xây dng
các bài toán mi. T đó giúp các em hc sinh hiu sâu, hiu rõ vn đ và thy rng vic gii các
bài toán nh trên nh nhàng hn rt nhiu.
Qua đúc rút nhng kinh nghim trong ging dy các đi tng hc sinh, tôi đã áp dng và
đánh giá là hc sinh đã tip nhn nhng kin thc trên và đt kt qu nht đnh. Tuy nhiên cng
không tránh khi nhng sai sót, hn ch. Tôi rt mong nhn nhng đóng góp ca t chuyên môn,
các bn đng nghip và c các em hc sinh. Xin cm n mi ý kin phê bình và đóng góp.
Tôi s vn tip tc hoàn thin vn đ và s có thêm nhng ý tng mi.

ánh giá ca t chuyên môn Lào Cai, ngày 20 tháng 4 nm 2011
Ngi thc hin