Giúp học sinh tự ôn tập môn Toán
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Bài toán 1: Cho đường thẳng
( )
:
1 1 1
x y z
d = =
và hai điểm
( )
0;0;3A
,
( )
0;3;3B
.
Tìm tọa độ điểm
( )
M d∈
sao cho:
1)
MA MB+
nhỏ nhất.
2)
2 2
2MA MB+
nhỏ nhất.
3)
3MA MB−
uuur uuur
nhỏ nhất.

Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 0 3 0 3 3P MA MB t t t t t t= + = − + − + − + − + − + −
2 2
3 6 9 3 12 18P t t t t= − + + − +
(
)
2 2
3 2 3 4 6t t t t= − + + − +
( ) ( )
2 2
3 1 2 2 2P t t
 
= − + + − +
 ÷
 
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3 1 0 2 2 0 2P t t
 
= − + − + − + −
 ÷
 
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm
( )

N H K Ox
′
⇔ = ∩
.
Đường thẳng
H K
′
có vecto chỉ phương
( )
1;2 2H K
′
=
uuuur
nên có vecto pháp tuyến
( )
2 2; 1n = −
r
và đi qua
( )
1; 2H
′
−
nên có phương trình tổng quát
( )
( )
2 2 1 1 2 0 2 2 3 2 0x y x y− − + = ⇔ − − =
.
Tọa độ giao điểm
N
của đường thẳng

 
−
 ÷
 
.
Vậy
( )
2
2
min 3 3. 1 2 2 3 3P H K
′
= = + =
.
Đạt được khi
( )
3 3
;0 ;0
2 2
N t N t
 
≡ ⇔ =
 ÷
 
.
Soạn: Đỗ Cao Long 1
Giúp học sinh tự ôn tập môn Toán
Suy ra
MA MB+
nhỏ nhất bằng
3 3

t t
− −
′
= +
− + − +
( )
( ) ( )
2 2
1 2
0
1 2 2 2
t t
f t
t t
− −
′
= ⇔ = −
− + − +
( )
( )
( )
2 2
2
1
1 2
2 2
t
t
t
t

g u u u
u
u
u
 
′
= + − = >
 ÷
 ÷
+
+
 
+
nên hàm số g đồng
biến trên
¡
.
• Do đó từ (*) ta có
( ) ( )
3
1 2 1 2
2
g t g t t t t− = − −  ⇔ − = − + ⇔ =
 
Bảng biến thiên của hàm số f :
t
−∞
3
2
+∞

3 3 3
; ;
2 2 2
M
 
 ÷
 
.
2). Làm tương tự câu 1), ta tính được
( )
2 2 2 2
2 3 6 9 2 3 12 18Q MA MB t t t t= + = − + + − +
2
9 30 45t t= − +
.
Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số
9 0a
= >
nên đạt giá trị nhỏ nhất khi
30 5
2.9 3
t
−
= − =
. Tức là
5 5 5
; ;
2 2 2
M
 

.
( ) ( )
2 2
2 2
2 6 3 3 18 45MA MB t t t t t⇒ − = + − + − = − +
uuur uuur
( )
2
2 3 3 18 18 3 2MA MB t⇒ − = − + ≥ =
uuur uuur
.
Dấu “=” xảy ra
3 0 3t t
⇔ − = ⇔ =
hay
( )
3;3;3M
.
Vậy
min 2 3 2MA MB− =
uuur uuur
đạt được tại
( )
3;3;3M
.
Nhận xét: nếu không phân tích được
( )
2
2 3 3 18MA MB t− = − +
uuur uuur

.
Bài toán này vô nghiệm vì
||KH Ox
.
Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1 → Hàm số không có GTLN.
Bài toán 2: Cho mặt phẳng
( )
: 4 0P x y z+ + − =
. Tìm điểm
( )
M P∈
sao cho:
1).
MA MB+
nhỏ nhất, biết
( )
1;0;0A
,
( )
1;2;0B
.
2).
MA MB−
lớn nhất, biết
( )
1;2;1A
,
( )
0;1;2B
.

( )
0;1;2B
,
( )
0;0;3C
.
Hướng dẫn – Cách giải:
1). Cách giải
• Xét vị trí tương đối của A, B so với (P).
Đặt
( )
; ; 4f x y z x y z= + + −
.
Thay tọa độ của A, B vào và tính
( ) ( )
; ; . ; ;
A A A B B B
f x y z f x y z
.
- Nếu
( ) ( )
; ; . ; ; 0
A A A B B B
f x y z f x y z <
thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn
cách bởi (P).
- Nếu
( ) ( )
; ; . ; ; 0
A A A B B B

( )
min MA MB A B
′
⇒ + =
đạt được khi
( )
M A B P
′
= ∩
♣ Tính tọa độ
A
′
:
- Viết phương trình đường thẳng
( )
d
qua
A
và
( ) ( )
d P⊥
- Giải hệ
( ) ( )
{ }
;d P
tìm được tọa độ của
( ) ( )
H d P= ∩
là hình chiếu vuông góc của A
trên (P).

A
′
đối xứng với A qua (P).
Khi đó
MA MA MA MB MA MB A B
′ ′ ′
= ⇒ − = − ≤
Cách làm mỗi trường hợp như câu 1.
3). Xét điểm I tùy ý, ta có
( )
2
2 2 2
2
2 .MA MA MI IA MI IA MI IA= = + = + +
uuur uuur uur uuur uur uuur uur
( )
2
2 2 2
2
2 .MB MB MI IB MI IB MI IB= = + = + +
uuur uuur uur uuur uur uuur uur
Suy ra
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 . 2 2 .MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB+ = + + + + +
uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur
( )
2 2 2
2 2


+ +

= = =

+

+ +

= = =

+

. Hay
1 4 5
; ;
3 3 3
I
 
 ÷
 
Soạn: Đỗ Cao Long
A
B
M
A’
B
M
A
H

nhỏ nhất
M⇔
là hình chiếu của I trên (P).
• Đường thẳng
( )
d
qua
1 4 5
; ;
3 3 3
I
 
 ÷
 
và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến
( )
1;1;1n =
r
của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình
( )
1
3
4
:
3
5
3
x t
d y t
z t

; ;
9 9 9
M
 
 ÷
 
4). Làm tương tự câu 3)
5). Cần rút gọn tổng
3 4MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
thành một vecto
MH
uuuur
.
Khi đó
3 4MA MB MC MH MH+ + = =
uuur uuur uuuur uuuur
nhỏ nhất
M
⇔
là hình chiếu của H trên (P).
Làm như câu 3).
Bằng cách phân tích
( ) ( )
3 4 3 4MA MB MC MI IA MI IB MI IC+ + = + + + + +
uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur
8 3 4MI IA IB IC= + + +
uuur uur uur uur
Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm
I

z z z z

= + +



= + +



= + +


.
Soạn: Đỗ Cao Long 5