A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hình học không gian (HHKG) là một môn học tương đối khó đối với học
sinh THPT nói chung và học sinh lớp 11 nói riêng, nhất là đối với các học sinh
có học lực trung bình khá trở xuống. Những nội dung các em học sinh lớp 11
thường gặp khó khăn trong khi giải các bài toán HHKG đó là các nội dung liên
quan đến tính toán, chẳng hạn: tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng, tính
góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi là “Các
bài toán định lượng trong hình học không gian”.
Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ,
tôi nhận thấy để có được kết quả tốt trong giảng dạy nội dung HHKG ở trường
THPT thì phải tạo ra tâm lý “thích học hình không gian” của học sinh, nhất là
học sinh lớp 11; phải tìm cách tiếp cận HHKG đơn giản, dễ hiễu và có “thuật
giải” rõ ràng để có thể áp dụng cho nhiều bài tập, tránh trường hợp mỗi bài vận
dụng mỗi cách khác nhau gây tâm lý hoang mang cho học sinh khi mới tiếp cận
HHKG; phương pháp giải phải gần gũi với các nội dung đại số, phương trình,
hệ phương trình – là các nội dung được học rất nhiều trong chương trình THPT
và có thể nói là nội dung “sở trường”, là điểm mạnh của đại đa số học sinh.
Phương pháp véc tơ đáp ứng được các yêu cầu nói trên. Tuy nhiên trong
chương trình SGK Hình học lớp 11 NC, phương pháp véc tơ chỉ được đề cập ở
hai bài đầu tiên của Chương III với thời lượng 4 tiết là quá ít so với nội dung đồ
sộ của phần HHKG. Chính vì vậy Phương pháp véc tơ đôi khi bị xem nhẹ, trang
bị không đầy đủ, thiếu tính hệ thống làm cho học sinh không biết vận dụng vào
giải quyết các bài toán hình học.
Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN mang tên “ Rèn luyện kỹ
năng giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng
phương pháp véc tơ cho học sinh lớp 11 THPT” với mục đích trang bị cho
học sinh các kiến thức và kỹ năng vận dụng phương pháp véc tơ vào giải toán
HHKG, hình thành cho học sinh phương pháp tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo,
1
tạo tâm lý hứng thú khi học HHKG, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
HHKG ở trường THPT nói chung cũng như Trường THPT Triệu Sơn 3 nói

làm tư liệu phục vụ cho quá trình dạy và học HHKG. Các bài tập nêu ra cũng
phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG và thi ĐH-CĐ.
b) Đối với học sinh khi được triển khai áp dụng:
Thứ nhất: Được trang bị đầy đủ, có tính hệ thống về phương pháp véc tơ và
thuật giải một số dạng toán cơ bản trong HHKG lớp 11.
Thứ hai: Biết vận dụng thành thạo và có sáng tạo phương pháp véc tơ trong
quá trình học tập môn HHKG, có tâm lý tự tin và hứng thú khi giải các bài tập
về HHKG.
Thứ ba: Hình thành và phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo.
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài:
Để có cơ sở đánh giá về hiệu quả của việc áp dụng đề tài vào thực tế dạy
học, tôi chọn 2 lớp theo ban KHTN của Trường THPT Triệu Sơn 3 năm học
2012-2013, cụ thể: lớp đối chứng: 11G2, lớp thực nghiệm:11G7.
Các lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương
đồng nhau về tỉ lệ giới tính, kết quả và ý thức học tập của học sinh, đặc biệt là
năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán trước khi tác động.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Thực trạng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung và trường THPT
Triệu Sơn 3 nói riêng thể hiện ở một số điểm sau:
Thứ nhất: Đối với giáo viên, việc dạy HHKG thường mất nhiều thời gian
và công sức, đồng thời nội dung HHKG trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi
đại học, đề thi HSG thường là những nội dung khó, có tính chất phân loại cao và
chỉ chiếm tỉ lệ từ 10%-15% số điểm của toàn bài thi, do đó có tâm lý “xem nhẹ”
nội dung này trong quá trình dạy học, ôn tập.
Thứ hai: Đối với học sinh, để học tốt môn HHKG thì cần phải nắm vững
kiến thức về hình học phẳng ở chương trình THCS, đồng thời phải có tư duy
3
trừu tượng, khả năng đoán nhận tốt. Thực tế điều này lại là điểm yếu của không
ít học sinh THPT nói chung và học sinh THPT Triệu Sơn 3 nói riêng, kể cả học
sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý “sợ” học HHKG, “ngại” học HHKG.

,
c
r
không đồng phẳng
Bước 2: Biểu diễn các véc tơ theo
a
r
,
b
r
,
c
r

4
Bước 3: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng
của ba véc tơ để lập một hệ phương trình đại số.
b) Một số định lí cơ bản của véc tơ trong không gian:
Định lí 1.1. Cho hai véc tơ
a
r
và
b
r
(
a 0≠
r r
). Khi đó hai véc tơ
a
r

r r r
. Hơn nữa các số m, n là duy nhất.
Định lí 1.3. Trong không gian, cho ba véc tơ
a
r
,
b
r
,
c
r
không đồng phẳng. Khi đó
với véc tơ
d
r
tùy ý, tồn tại các số thực m, n, p sao cho
d ma nb pc= + +
r r r r
. Hơn
nữa các số m, n, p là duy nhất.
c) Bài tập minh họa:
Bài 1.1. Cho hình hộp ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc

MN MA AA A N= + +
uuuur uuuur uuuur uuuur
=
( ) ( )
y x a yb 1 x c− + + −
r r r
(1)
và
1
BD a b c= − + +
uuuur r r r

+) Vì MN//BD
1
nên tồn tại số thực k sao cho
1
MN kBD ka kb kc= = − + +
uuuur uuuur r r r
(2)
5
A
a
r
D
1
N
M
A
1
C

Bài 1.2. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các
cạnh BC, BD, AC sao cho
BC 4BM,BD 2BN,AC 3AP= = =
. Mặt phẳng (MNP)
cắt đường thẳng AD tại Q. Tính tỉ số
AQ
AD
.
Lời giải Bài 1.2.
+) Chọn hệ véc tơ
a AB,b AC,c AD= = =
r uuur r uuur r uuur
+) Ta có
( )
1 1
BM BC b a
4 4
= = −
uuur uuur r r
,
1 1
AP AC b
3 3
= =
uuur uuur r
,
( )
1 1
BN BD c a
2 2

So sánh (1) và (2) ta có hệ:
4
3 1
m
m n 0
5
4 2
1 1 1 6
m n n
12 3 3 5
1 3
n x x
2 5


= −
+ =




 
+ = ⇔ =
 
 
 
= =
 



và

1
a.b b.c c.a
2
= = =
r r r r r r
+) Giả sử
AP xAB=
uuur uuur
và
DQ yDN=
uuur uuur
Khi đó ta có
1 1
CM CA AM a b c
2 2
= + = − +
uuur uuur uuuur r r r
PQ PA AD DQ= + +
uuur uuur uuur uuur
( )
1
xAB AD y DA AC AD
2
= − + + + −
uuur uuur uuur uuur uuur
=
( )
1

=
− =




 
= − ⇔ =
 
 
 
− =
= −
 


+) Khi đó
2
2
1 2 1 1 2 1 3
PQ a b c PQ PQ a b c
3 3 3 3 3 3 3
 
= − + − ⇒ = = − + − =
 ÷
 
uuur r r r uuur r r r
.
Bài 1.4. Cho hình lập phương ABCDA
1

a
r
b
r
Q
P
N
M
D
B
C
A
b) Gọi E và F lần lượt là các điểm thỏa mãn
AE mAP=
uuur uuur
,
CF nCI=
uur uur
sao cho O, E,
F thẳng hàng. Tìm các số m, n và độ dài EF.
Lời giải Bài 1.4.
+) Chọn hệ véc tơ
1
a BA,b BB ,c BC= = =
r uuur r uuuur r uuur
.
Khi đó:
a b c 2= = =
r r r
và

( ) ( )
1
1 1
1
MK xPC yPD x PB B C y PB BC CD= + = + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )
b b x y
x b c y c a ya b x y c
2 2 2 2
   
 
= − + + + − + + = + − + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
r r
r r r r r r r
(2)
So sánh (1) và (2) ta có hệ
( )
17
x
k y
25
1 11
1 k x y y
2 25

25 CA CA 25
−
= ⇒ = = − =
b) Ta có
( )
( )
1 b m 1 1
OE OB BA AE b c a m a 1 m a b c
2 2 2 2
 
−
= + + = − + + + − = − + −
 ÷
 
r
uuur uuur uuur uuur r r r r r r r
(3)
8
b
r
c
r
a
r
B
1
E
F
O
P

 ÷
 
uuur uuur r r r
(4)
So sánh (3) và (4) ta có hệ
nk
1 m
n 2
2
m 1 k 2
m
2 2 3
1
1 1
k
k n
3
2 2


− =


=


−
 
= − ⇔ =
 

hình học.
2. Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
. Giả sử d
1
có véc tơ chỉ phương
1
u
r
, đi
qua A; d
2
có véc tơ chỉ phương
2
u
r
, đi qua B.
a) Thuật giải:
9
Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ
a
r
,
b
r
,

2
u
r
theo
a
r
,
b
r
,
c
r

* Để tính góc giữa d
1
và d
2
ta tiếp tục thực hiện theo hai bước sau:
Bước 3: Tính các giá trị
1 2 1 2
u , u ,u .u
r r r r
Bước 4: Sử dụng công thức tính góc:
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
u .u

r
,
c
r
(phụ thuộc vào x, y)
Bước 6: Giải hệ phương trình đại số
1
2
EF.u 0
EF.u 0

=


=


uur r
uur r
để tìm nghiệm (x;y)
Suy ra có sự biểu diễn
EF .a .b .c= α + β + γ
uur r r r
(các số
, ,α β λ
biết thông qua x,y).
Từ đó tìm được độ dài:
( )
( )
2

2
= −
uuur r r
,
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
BM BS BC b c a b a b c
2 2 2 4 4 2 2
 
= + = − + + − − = − − +
 ÷
 
uuur uur uuur r r r r r r r
+) Tính
( )
cos SA,BM
:
2
2 2 2
1 1
SA SA a c a c 2 3a
2 4
 
= = − = + =
 ÷
 
uuur r r r r
,
2
2 2 2 2

+) Tính khoảng cách
( )
d SA,BM
: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SA và
BM (
E SA,F BM∈ ∈
). Giả sử
EA x.SA,=
uuur uuur
BF y.BM=
uur uuur
. Khi đó ta có:
x y 1 1 y y
EF EA AB BF a b x c
2 4 2 2 2 2
     
= + + = − − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
uur uuur uuur uur r r r
x y 1 1 y y 1
EF.SA 0 a b x c a c 0 6x 3y 2
2 4 2 2 2 2 2
 
       
= ⇔ − − + − + − − = ⇔ − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
       
 

M
a
r
c
r
F
( )
2
1 1 1 1 2a 6
EF a c d SA,BM =EF= a c
3 3 3 3 3
 
= − − ⇒ − − =
 ÷
 
uur r r r r
.
Bài 2.2. Cho lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các mặt bên là hình vuông cạnh
bằng 1. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, A
1
C
1
, B
1

2 2 2
= + = +
uuur uuuur uuuur r r
1 1
1
DE DC CC C E a b
2
= + + = − −
uuur uuur uuuur uuur r r
+) Tính
( )
1
cos A F,DE
:
2
2
1 1
1 1 3
A F A F b c
2 2 2
 
= = + =
 ÷
 
uuur r r
,
2
2
1 5
DE DE a b

.
+) Tính khoảng cách
( )
1
d A F,DE
: Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của A
1
F và
DE (
1
I A F,J DE∈ ∈
). Giả sử
JE x.DE,=
uur uuur

1 1
A I y.A F=
uuur uuur
. Khi đó ta có:
1 1
y x y 1
JI JE EA A I x.a b c
2 2 2 2
   
= + + = − + − + −
 ÷  ÷
   
ur uur uuuur uuur r r r
1
y x y 1 1 1 3 3 3

c
r
y x y 1 1 5 3 1
JI.DE 0 x.a b c a b 0 x y
2 2 2 2 2 4 8 8
 
     
= ⇔ − + − + − − − = ⇔ − + =
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
ur uuur r r r r r
(2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được
1 9
x ,y
17 17
= =
. Do đó:
( )
2
1
1 4 4 1 4 4 17
JI a b c d A F,DE =JI= a b c
17 17 17 17 17 17 17
 
= − + − ⇒ − + − =
 ÷
 

b.c 0,=
r r

15
c.a
2
= −
r r
.
+) Ta có
MN MA AD DN= + +
uuuur uuuur uuur uuur

2 2 1
a b c
3 3 3
= − + +
r r r
+) Tính
( )
cos MN,AC
:
2 2 1
MN.AC a b c .b 4
3 3 3
 
= − + + =
 ÷
 
uuuur uuur r r r r

r
b
r
c
r
E
F
+) Tính khoảng cách
( )
d MN,AC
: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và
AC (
E MN,F AC∈ ∈
). Giả sử
ME x.MN,=
uuur uuuur
AF y.AC=
uuur uuur
. Khi đó ta có:
2 2 2 x
EF EM MA AF x a y x b c
3 3 3 3
   
= + + = − + − −
 ÷  ÷
   
uur uuur uuuur uuur r r r
2 2 2 x 2 2 1 41 25
EF.MN 0 x a y x b c a b c 0 x 4y
3 3 3 3 3 3 3 3 3

57 57 57 57 57 57 57
= − + − ⇒ − + − =
uur r r r r r r
.
Bài 2.4. Cho hình hộp ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có độ dài các cạnh bằng a và các góc
0
1 1
BAD DAA A AB 60= = =
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA
1
và CD.
Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng MN, B
1
C và khoảng cách giữa chúng.
Lời giải Bài 2.4.
+) Chọn hệ véc tơ
1
a AA ,b AB,c AD= = =
r uuuur r uuur r uuur
.
Khi đó:
a b c a= = =

 
= − + + − + =
 ÷
 
uuuur uuur r r r r r
,
2
2
1 1 a 5
MN MN a b c
2 2 2
 
= = − + + =
 ÷
 
uuuur r r r
,
( )
2
2
1 1
B C B C a c a= = − + =
uuur r r
14
A
A
1
D
C
B

( )
1
d MN,B C
: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và
B
1
C (
1
E MN,F B C∈ ∈
). Giả sử
ME x.MN,=
uuur uuuur

1 1
B F y.B C=
uuur uuur
. Khi đó ta có:
( )
1 1 1 1
x 1 x
EF EM MA A B B F y a 1 b y x c
2 2 2
   
= + + + = − + + − + −
 ÷  ÷
   
uur uuur uuuur uuuur uuur r r r
( )
( )
1

. Do đó:
( )
2
1
3 5 3 3 5 3 a 22
EF a b c d MN,B C EF= a b c
22 22 22 22 22 22 22
 
= − + − ⇒ = − + − =
 ÷
 
uur r r r r r r
.
c) Nhận xét: 2.1. Rất khó có thể sử dụng phương pháp hình học tổng hợp và
phương pháp tọa độ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 bởi giả thiết của bài toán không
còn yếu tố trực giao. Tuy nhiên khi trình bày lời giải theo phương pháp véc tơ
thì chúng ta thấy rõ “thuật giải” không có gì thay đổi so với hai bài trước đó. Rõ
ràng việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 là sự lựa chọn
tối ưu và sáng tạo nhất. Trong dạy học, giáo viên có thể thay đổi giả thiết về số
đo góc tam diện đỉnh A và độ dài các cạnh của hình hộp, chẳng hạn đối với Bài
2.4 ta có thể điều chỉnh giả thiết :
0
BAD 60=
,
0 0
1 1
DAA 90 ,A AB 120= =
,
AB a=
,

). Đây chính là một điểm mạnh nữa của phương pháp véc
tơ so với các phương pháp khác.
3. Các bài tập tương tự
Bài 3.1. Cho hình hộp ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Gọi I và J là các điểm lần lượt thuộc
các đường thẳng B
1
D và AC sao cho IJ//BC
1
. Tính tỉ số
1
ID
IB
. (Đáp số :
1
2
)
Bài 3.2. Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1

lấy các điểm M và N sao cho
( )
BM DN x 0 x 1= = ≤ ≤
. Chứng minh rằng
MN vuông góc với AC
1
. Tìm x để độ dài MN ngắn nhất. (Đáp số:
1
x
2
=
và
MN
min
=
6
2
)
Bài 3.4. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều với
AB 4 2a=
, SC
⊥
(ABC) và
SC 2a
=
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB. Tính góc và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CN.( Đáp số:
0
45
và

2
=
. Chọn hệ véc tơ:
a AB,b AD,c HS= = =
r uuur r uuur r uuur
. Đáp số:
0
45
và
2 3a
3
)
Bài 3.7. Cho hình hộp đứng ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có đáy là hình thoi cạnh bằng a,
góc BAD
= α
với
3
cos
4
α =
. Gọi M là điểm thỏa mãn
DM kDA=

Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực
nghiệm trước khi tác động.
Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm. Cụ
thể như sau:
* Với lớp đối chứng 11G2: Trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013, tổ chức
dạy 3 buổi (bằng 9 tiết) về các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn
thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không
gian theo phương pháp hình học tổng hợp. Trong 3 buổi trên có 2 buổi dạy lý
thuyết và ví dụ minh họa, 1 tiết thảo luận các bài tập (mỗi dạng 2 bài tập)
* Với lớp thực nghiệm 11G7: Cũng trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013
tôi tiến hành dạy 2 buổi lý thuyết và các ví dụ minh họa bằng phương pháp véc
17
tơ, 1 buổi thảo luận bài tập với các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn
thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không
gian. Các ví dụ minh họa là các bài có lời giải chi tiết nêu trong Phần III của
SKKN, còn bài tập thảo luận cũng là các bài tập được nêu trong SKKN.
Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau
khi tác động.
2. Kết quả kiểm nghiệm:
a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn Toán (90 phút) do tổ
chuyên môn ra đề dùng khảo sát chất lượng học kì I, được tổ chức kiểm tra tập
trung cho toàn khối, tổ chuyên môn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:
Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Lớp Số bài
Điểm
0 – 2
3 4 5 6 7 8 9 10
Lớp đối
chứng
45

(với thời gian làm bài 90 phút), do tổ trưởng chuyên môn ra đề. Lớp đối chứng
và lớp thực nghiệm được kiểm tra vào cùng một thời gian, cùng một đề. Để đảm
bảo tính khách quan, việc coi và chấm bài kiểm tra hoàn toàn do giáo viên trong
tổ chuyên môn thực hiện.
Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động
Lớp Số bài
Điểm
0 - 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lớp đối
chứng
45
sl 0 6 7 14 10 6 2 0 0
% 0 13.
3
15.
6
31.
2
22.
2
13.
3
4.4 0 0
Lớp thực
nghiệm
44
sl 0 0 2 4 12 11 9 5 1
% 0 0 4.5 9.1 27.
3
24.

Độ lệch chuẩn
đối chứng
Từ công thức trên ta có: SMD = 0.86. Kết quả về SMD nằm trong khoảng
từ 0.80 đến 1.00 cho thấy mức độ ảnh hưởng của phương pháp véc tơ đến kết
quả học tập môn HHKG lớp 11 của lớp thực nghiệm tại Trường trung học phổ
thông Triệu Sơn 3 là lớn.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. KẾT LUẬN
20
Việc sử dụng Phương pháp véc tơ vào giải một số bài toán định lượng trong
HHKG lớp 11 tại Trường THPT Triệu Sơn 3 đã hình thành và phát triển cho học
sinh lớp 11 khả năng tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo trong quá trình học tập
môn Toán nói chung và môn HHKG nói riêng; đã tạo được hứng thú và đã nâng
cao được kết quả học tập môn HHKG; góp phần không nhỏ và việc nâng cao
chất lượng thi HSG, thi ĐH-CĐ của nhà trường.
Các bài tập minh họa và bài tập tương tự được nêu trong đề tài hoàn toàn là
do tác giả “chế biến” từ các bài toán HHKG trong một số đề thi HSG các tỉnh,
đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề khảo sát kiến thức thi ĐH-CĐ của các trường
THPT trên toàn quốc trong những năm gần đây. Lời giải và các đáp số đã được
kiểm nghiệm dạy thực tế tại Trường THPT Triệu Sơn 3 đối với lớp 11E1(năm
học 2010-2011) và lớp thực nghiệm 11G7 trong năm học vừa qua, do đó đảm
bảo tính chính xác, khoa học. Đây chính là các tư liệu tốt để phục vụ cho quá
trình dạy và học HHKG ở trường THPT, góp phần làm phong phú thêm kho tư
liệu về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
II. ĐỀ XUẤT
Trên đây là cách tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 11 trường THPT
Triệu Sơn 3 trong năm học vừa qua. Rất mong vấn đề này được xem xét, mở
rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm tự
tin và hứng thú khi học môn toán nói chung và môn HHKG nói riêng.
XÁC NHẬN

2.5
Phép dời hình và phép
đồng dạng
1
1.5
1
1.5
Quan hệ song song
trong không gian
1
1.5
1
1
2
2.5
Bài toán tổng hợp về
lượng giác
1
1
1
1
Tổng 3
4.5
3
3.5
2
2.0
8
10
PHẦN ĐỀ KIỂM TRA

A. Phần chỉ dành cho các lớp học theo Chương trình Nâng cao
Câu 5.a (1.0 đ) Giải phương trình
xxxx sincos3)sin(cos
3
+=+
.
Câu 6.a (1.0 đ) Tìm hệ số của số hạng chứa
2
x
trong khai triển nhị thức Niu-
tơn của
2
2
n
x
x
 
−
 ÷
 
, biết n là số tự nhiên thỏa mãn:
0 1 2
1024
n
n n n n
C C C C+ + + + =
.
Câu 7.a (1.0 đ) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn:
2 2
1x y+ =

 
.
Câu 7.b (1.0 đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
23
2sin cos2 2y x x= − +
Hết
PHỤ LỤC 2: Đề kiểm tra lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau tác động
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
ĐỀ KIỂM TRA MÔN HHKG LỚP 11NC
NĂM HỌC 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 ( 2.0 đ). Cho hình hộp ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Hãy tìm điểm I trên đường chéo
B
1
D, điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ//BC
1
.
Câu 2(6.0 đ). Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1

(
0>a
). Biết hai mặt phẳng (SAC), (SBD)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng
(ABCD) góc 60
0
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, BC theo
a
.
Hết
PHỤ LỤC 3: Bảng điểm lớp đối chứng 11G2
STT Họ và tên Điểm trước tác động Điểm sau tác động
1 Lê Thị Phương Anh 6 5
2 Trịnh Thị Phương Anh 3 3
3 Lê Việt Anh 7 5
4 Phạm Thị Quỳnh Anh 6 7
5 Trịnh Thị Mai Anh 7 5
24
6 Lê Chung Anh 9 8
7 Nguyễn Hoàng Ngọc Ánh 6 5
8 Nguyễn Thanh Bình 7 7
9 Lương Đỗ Tuấn Bình 6 5
10 Quách Văn Chương 7 7
11 Hoàng Thị Dịu 4 3
12 Hà Thị Dung 6 3
13 Trần Thị Duyên 8 6
14 Hà Nguyễn Phương Giang 7 5
15 Lê Xuân Giang 6 5
16 Hoàng Thị Hoa 5 3
17 Bùi Thị Huê 4 3