Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
…………………

HỒ MAI LOAN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ở TRƢỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH Chuyên ngành: Lý

luận và phương pháp dạy - học Bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN ANH TUẤN


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

TỪ VIẾT TẮT
NỘI DUNG
BĐT
Bất đẳng thức
DH
Dạy học
CM
Chứng minh
GV
Giáo viên
HĐ
Hoạt động
HS
Học sinh
HPT
Hệ phƣơng trình
KN
Kỹ năng
PP
Phƣơng pháp
THCS
Trƣờng học cơ sở
SGK
Sách giáo khoa
GTLN

1.3. Tình hình dạy và học về giải toán vận dụng mối liên hệ giữa hàm số
và phƣơng trình ở THCS. 17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.3.1.Về vị trí vai trò của rèn luyện kĩ năng giải toán. 17
1.3.2. Những khó khăn GV và HS trong thực tiễn trƣờngTHCS về việc
khai thác vận dụng mối quan hệ giữa hàm số với phƣơng trình để giải
toán. . 18
1.4. Kết luận chƣơng 1 19
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƢỜNG THCS
BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ
PHƢƠNG TRÌNH 21
2.1. Sơ lƣợc về mối quan hệ giữa hàm số và phƣơng trình: 21
2.1.1 Về tập xác định của chúng: 21
2.1.2.Về nghiệm của phƣơng trình và sự biến thiên của hàm số: 21
2.1.3. Về các phép biến đổi và các biểu thức trong hàm số và phƣơng
trình : 21
2.1.4. Về đồ thị của hàm số và số nghiệm của phƣơng trình: 22
2.2. Một số kỹ năng trong giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa
hàm số và phƣơng trình: 22
2.3. Định hƣớng (nguyên tắc) xây dựng hệ thống bài toán: 26
2.4. Hệ thống bài toán và biện pháp rèn luyện kỹ năng 26
2.4.1. Dạng toán 1: 27
2.4.1.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết 28
2.4.1.2 Minh họa qua một số ví dụ : 29
2.4.2. Dạng toán 2: 34
2.4.2.1. PP giải và những kỹ năng cần thiết 34
2.4.2.2.Minh họa qua một số ví dụ : 36
2.4.3. Dạng toán 3………………………………………………………… 41


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục nƣớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam quy định:
„„Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ
động, tƣ duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
của học sinh‟‟(Luật Giáo dục 1998, chƣơng I, điều 24)
Thực tế cho thấy rèn luyện kỹ năng cho học sinh là một khâu quan
trọng không thể tách rời của quá trình đào tạo ở trƣờng THCS. Đó là hoạt
động cần thiết để học sinh biến tri thức nhân loại thành vốn hiểu biết và khả
năng của riêng mình, đặc biệt quá trình rèn luyện kỹ năng thực hiện tốt thì
chất lƣợng học tập mới mang lại hiệu quả cao.
Hàm số và phƣơng trình trong chƣơng trình toán trƣờng THCS là nội dung
hay, có khả năng rèn luyện tƣ duy của học sinh nhƣng cũng lại đƣợc xem là
phần khó học và khó dạy. Lý do là học sinh chƣa đƣợc rèn luyện đầy đủ kỹ
năng còn giáo viên đã đổi mới phƣơng pháp dạy học nhƣng vẫn chƣa làm cho
học sinh chủ động và có hứng thú trong học tập. Do đó chúng tôi thấy rằng,
thông qua việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh qua một chủ đề cụ thể, từ đó
học sinh xây dựng đƣợc cho mình phƣơng pháp tƣ duy lô-gíc.
Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “ Rèn luyện kỹ
năng giải một số dạng toán ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên
hệ giữa hàm số và phương trình”


3
IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu lý luận về rèn luyện kỹ năng toán học, các phƣơng pháp
dạy học theo xu hƣớng mới, nghiên cứu mục tiêu, nội dung dạy học phần
„„hàm số và phƣơng trình‟‟ ở trƣờng THCS.
2. Phƣơng pháp điều tra quan sát
Điều tra tình hình thực tiễn „„hàm số và phƣơng trình‟‟ ở trƣờng THCS
về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
- Soạn một số bài dạy theo hƣớng tăng cƣờng rèn luyện kỹ năng giải
một số dạng toán ở trƣờng THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm
số và phƣơng trình cho học sinh.
- Dạy thực nghiệm các bài soạn để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài
4. Phƣơng pháp thống kê toán học
Xử lý các số liệu điều tra và kết quả thực nghiệm phƣơng pháp bằng
thống kê toán học
V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2. Xây dựng hệ thống bài toán rèn luyện kỹ năng giải một số dạng
toán ở trƣờng THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số
và phƣơng trình.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

đề. Hình thành đƣợc một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng
loại. Xác lập đƣợc mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tƣơng ứng. Biết qui lạ về quen, biết khái quát hóa, đặt biệt hóa…Để hình
thành một kỹ năng cho HS, cần phải tổ chức cho các em tập luyện những hoạt
động tƣơng ứng với kỹ năng đó.
1.1.2. Kỹ năng giải toán:
- Kỹ năng giải toán là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán học .
- Kỹ năng dựa trên cơ sở tri thức. Kỹ năng và tri thức thống nhất với
nhau trong hoạt động.
- Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức,
phƣơng pháp). Do đó nói đến kỹ năng giải toán không thể tách rời hiểu biết tri
thức và phƣơng pháp toán học.Bởi đó là điều kiện cần cho HS tiến hành các
hoạt động toán học từ đó hình thành nên kỹ năng.
1.1.3. Sự cần thiết rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh:
Mục đích của dạy học môn Toán là:
- Truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào
thực tiễn;
- Phát triển năng lực trí tuệ chung;
- Giáo dục tƣ tƣởng chính trị phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ;
- Bảo đảm chất lƣợng phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dƣỡng năng khiếu
về toán;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6
Những yêu cầu về đổi mới dạy học môn Toán ở trƣờng THCS là: tăng
cƣờng rèn luyện kỹ năng, bồi dƣỡng năng lực trí tuệ và kỹ năng vận dụng
toán học vào thực tiễn. Do vậy cần thiết xây dựng các biện pháp nhằm rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh góp phần thực hiện nhiệm vụ bộ môn.

04
Hàm số y=ax
2
(a

0)
Lớp 9 ( Học kì II )
14
Phƣơng trình bậc hai một ẩn :
ax
2
+bx+c = 0 (a

0)
Lớp 9 ( Học kì II )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

7
1.2.2. Những kiến thức cơ bản của HS khi học chủ đề “Hàm số và
phương trình”:
* Những kiến thức và kỹ năng cơ bản của HS khi học chủ đề
“Hàm số”:
+ Hàm số có thể được cho bằng bảng:
VD: Nhiệt độ T(
o
C
) tại các thời điểm t(giờ) trong cùng một ngày đƣợc
cho trong bảng sau:
t (giờ)


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

8

y=ax
2
(a

0) (SGK Toán 9-Tập hai)

Học sinh phải có những kỹ năng nhƣ tìm tập xác định, xét sự đồng
biến, nghịch biến, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị.
+ Hàm số bậc nhất :
* Hàm số bậc nhất là hàm số đƣợc cho bởi công thức : y = ax + b , với
a, b

R, a

0
Hàm số bậc nhất xác định với mọi x

R.
Trên tập hợp số thực R , hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0;
nghịch biến khi a < 0
* Kỹ năng chủ yếu:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

9


k
> 3

k > 3 hoặc k < -3
b) y = f(x) là hàm số bậc nhất nghịch biến

k
2
– 9 < 0


k
< 3

-3 < k < 3
+ Hàm số bậc hai : y = ax
2
(a

0)
* Tính chất của hàm số y = ax
2
(a

0)
- Nếu a > 0: hàm số y = ax
2
nghịch biến khi x < 0, đồng biến khix > 0 ;
y > 0 với mọi x


0)
- Xác định đƣợc dạng tổng quát: y = ax
2
(a

0)
- Xác định đƣợc hệ số a
- Dựa vào tính chất:
Nếu a > 0 hàm số: y = ax
2
nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 ;
y > 0 với mọi x

0
y = 0 khi x = 0, y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số
Nếu a < 0 hàm số: y = ax
2
nghịch biến khi x > 0, đồng biến khi x < 0;
y < 0 với mọi x

0
y = 0 khi x = 0 và y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số: y = ax
2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11


0
- Vẽ đồ thị hàm số: y = -x
2

Đồ thị hàm số y = -x
2
đƣợc vẽ (hình 1).

(Hình 1)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

12
b) Thay x = 3 vào y = -x
2
ta đƣợc y = -9 . Điểm phải tìm là B(3,-9)
c) Thay y = -3 vào y = -x
2
ta đƣợc -3 = -x
2


x =

3

Các điểm phải tìm là C (
3
, -3) và C (-

a
  

Ví dụ: Giải phƣơng trình bậc nhất

4 3 2x4 2 3x  
(Áp dụng quy tắc chuyển vế)

41
1
4
x
x
  
  
( Áp dụng quy tắc nhân với một số )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

13
+ Phương trình bậc hai: ax
2
+bx+c = 0 (a

0)
HS biết phƣơng pháp giải riêng các phƣơng trình 2 dạng đặc biệt giải
thành thạo các phƣơng trình thuộc 2 dạng đặc biệt đó (b hoặc c bằng 0, hoặc

4
2
b b ac
x
a
  


Nếu

>0 phƣơng trình vô nghiệm
Nếu

=0 phƣơng trình có nghiệm kép:
2
b
x
a


Trong các trƣờng hợp cụ thể của a,b,c để giải phƣơng trình
Ví dụ 1: Giải và biện luận phƣơng trình bậc hai
mx
2
-2(m-1)x -2 = 0
Để giải được dạng toán này, học sinh cần phải thực hiện được các kỹ
năng cơ bản sau:
+ Xác định dạng: ax
2
+bx+c = 0

  


Nếu

<0 (hoặc
'
<0): phương trình vô nghiệm.
Nếu

=0 (hoặc
'
=0) phương trình có nghiệm kép:
2
b
x
a


(hay
'b
x
a

)
+ Kết luận
Giải
+ Xác định dạng bài toán: mx
2
-2(m-1)x -2 = 0

15
b) Tìm các giá trị m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
mà
22
12
xx
có giá trị nhỏ nhất.
Giải
Để giải được dạng toán này, học sinh cần phải thực hiện được kỹ năng cơ
bản sau:
+ Xác định dạng: ax
2
+bx+c = 0
+ Xác định hệ số a,b,c của phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0
+ Tính

( hoặc
'
)
+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phải chứng minh

>0
(hoặc
'
>0 )
+ Biến đổi biểu thức (đề bài đã cho) để xuất hiện

+ Phƣơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
0 1(*)m    

+
   
22
2 1 1 2 1 2 1 2
2 4 4 4x x x x x x x x        
(**)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

16
+ Theo hệ thức Vi ét ta có:
12
2
1. 2
31
22
x x m
x x m m
  







Ta thay vào (**) :

55
mm    
.
+Vậy GTNN của
22
12
xx
là
4
5
khi m =
1
5


Kỹ năng giải hệ phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn:
- Kỹ năng viết nghiệm tổng quát của phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn và vẽ
đƣờng thẳng biểu diễn tập nghiệm của các phƣơng trình;
- Kỹ năng đoán nhận số nghiệm của hệ phƣơng trình (bằng phƣơng
pháp hình học);
- Số nghiệm của hệ phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn, tìm tập nghiệm của các
hệ đã cho bằng cách vẽ hình và biết thử lại để khẳng định kết qủa;
- Kỹ năng giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng pháp thế, phƣơng pháp
cộng đại số (học sinh không bị lúng túng khi gặp các trƣờng hợp đặc biệt hệ
vô nghiệm hoặc vô số nghiệm)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

17
Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn (bằng phƣơng pháp thế)


Kỹ năng giải bất phƣơng trình bậc nhất:
- Kỹ năng1. Học sinh sử dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một
hạng tử của bất phƣơng trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó;
- Kỹ năng2. Học sinh sử dụng quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế
của bất phƣơng trình với cùng một số khác 0 , ta phải : Giữ nguyên chiều bất
phƣơng trình nếu số đó dƣơng, đổi chiều bất phƣơng trình nếu số đó âm.
Ví dụ: Giải bất phƣơng trình sau.
3x+2 > 8


3x > 8-2 (sử dụng quy tắc chuyển vế)


3x > 6


x > 2 (sử dụng quy tắc nhân với một số dƣơng)
1.3. Tình hình dạy và học về giải toán vận dụng mối liên hệ giữa hàm số
và phƣơng trình ở THCS.
1.3.1.Về vị trí vai trò của rèn luyện kĩ năng giải toán.
100% giáo viên và 98% học sinh đuợc hỏi ý kiến đã khẳng định rằng:
Trong quá trình đào tạo ở trƣờng THCS hoạt động rèn luyện kĩ năng của học
sinh rất cần thiết vì nó quyết định trực tiếp đến kết quả học tập. Chính vì vậy
việc giáo viên tổ chức tốt hoạt động rèn luyện kĩ năng cho học sinh có ý nghĩa
rất lớn đối với kết quả học tập, cũng nhƣ việc rèn luyện cho học sinh phát huy
đƣợc tính tƣ duy sáng tạo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn


RLKN giúp học sinh giải quyết đƣợc những kiến
thức mới
86
87
7
RLKN giúp học sinh tính tự giác độc lập
89
90.5
Số liệu ở bảng trên cho thấy:
- Đối với học sinh: Hầu hết các em đã nhận thức khá đầy đủ về ý nghĩa của
việc rèn luyện kĩ năng đối với kết quả học tập, đặc biệt có 56% học sinh đã
thấy tự tin trong học tập;
- Đối với giáo viên: Đã đánh giá rất cao về việc rèn luyện kĩ năng cho học
sinh, 100% giáo viên đã nhận thấy rằng rèn luyện kĩ năng giúp học sinh làm
chủ đƣợc kiến thức của bản thân.
1.3.2. Những khó khăn của GV và HS trong thực tiễn trườngTHCS về việc
khai thác vận dụng mối quan hệ giữa hàm số với phương trình để giải
toán
* Đối với GV: -Khi dạy dạng toán “hàm số và phƣơng trình” còn gặp
khó khăn khi hƣớng cho HS cách giải sao cho nhanh gọn ,dễ hiểu.

Trích đoạn Một số kỹ năng trong giải toỏn bằng cỏch khai thỏc mối liờn hệ giữa Định hƣớng (nguyờn tắc) xõy dựng hệ thống bài toỏn: PP giải và những kỹ năng cần thiết

---