1
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
… …….o0o…………
KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG
KHÔNG GIAN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP: 11
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP TỈNH

ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………………
Bằng chữ:………………………………………
Họ và tên giám khảo số 1:…………………………………chữ ký…………….
Họ và tên giám khảo số 2:…………………………… …chữ ký…….………
Năm học 2012 - 2013
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT KHÚC THỪA DỤ
……… …O0O……………
KINH NGHIỆM

Họ và tên Giám khảo số 1:………………………………chữ ký…………….
Họ và tên Giám khảo số 2:………………………… … chữ ký……….…
Năm học 2012 - 2013
4
UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
………….o0o…………
KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG
KHÔNG GIAN
MÔN: TOÁN
KHỐI LỚP: 11
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP NGÀNH

ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:………………………………………
Bằng chữ:………………………………………
Họ và tên giám khảo số 1:…………………………………………….
Họ và tên giám khảo số 2:………………………… …………….…
Năm học 2012 - 2013
PHẦN 1: MỞ ĐẦU

lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với
tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những
phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những
vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần
chất lượng giảng dạy toán học nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp thành
một kinh nghiệm: “Rèn luyện kĩ năng giải một số dạng toán về quan hệ song
song trong không gian”
C. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán hình
học không gian, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học
tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán
khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình
học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải
các bài toán về quan hệ song song trong không gian” ở lớp 11, tôi thấy cần phải
hướng dẫn học sinh một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải
toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh có kĩ năng giải toán phù hợp với từng dạng bài là
một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ
giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương
pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được
điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh
lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng
6
bài toán liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu và
trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy
vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp
giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Chương II Hình Học lớp 11 một
cách có hiệu quả.

Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong
không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng
khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song
trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học
lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm
bài tập các dạng bài toán này là rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát
kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách
không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc
chứng minh quan hệ song song trong không gian.
C. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
Trước tiên giáo viên cần cho học sinh nắm được phương pháp làm bài toán này.
I.1. Phương pháp
+) Cách 1: Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng.
Nếu
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A
AB
B
α β
α β
α β
= ∩

⇒ = ∩

= ∩


α
β
α β

∆


⊂


⇒ ∆ ≡


⊂


∆ ≡


∩ = ∆

8
A
D
E
S
B
C
Định lý 2 (SGK – trang 61): Nếu
( )


⇒


∩ =

* Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thông thường nếu
phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1
điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2.
I.2. Ví dụ cụ thể
- Giáo viên nên đưa ra các bài tập dễ phát hiện trước sau đó hướng dẫn học sinh
một cách tỉ mỉ để học sinh có thể hiểu rõ vấn đề hơn.
Ví dụ 1: Trong mp(
α
) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD
cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(
α
). Tìm giao tuyến của
các mp sau:
a) mp (SAB) và mp(SCD)
b) mp(SAC) và mp(SBD)
Hướng dẫn giải
- Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện:
Câu hỏi: Dựa vào hình vẽ ta xác định được những điểm chung nào của 2 mặt
phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao?
Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung
thứ nhất là S
Ta có
( )
( ) ( ).

F AC F SAC
F SAC SBD
F BD F SBD

∈ ⇒ ∈

⇒ = ∩

∈ ⇒ ∈


Vậy
( ) ( )SF SAC SBD= ∩
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. H, K lần lượt là
trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA. Xác định giao tuyến của
(MHK) và (SAD).
Hướng dẫn giải
- Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác
định được điểm chung thứ 2 học sinh cần linh hoạt vận dụng phương pháp.
Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi
Câu hỏi 1: (MHK) và (SAD) có điểm chung
thứ nhất là điểm nào?
Với câu hỏi này học sinh dựa và hình vẽ thấy
S = (MHK)
∩
(SAD).
Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ 2 ta chọn 2
đường thẳng nào lần lượt thuộc (MHK), (SAD)
và cùng nằm trong mặt phẳng thứ 3?
Với câu hỏi này học sinh chọn 2 đường thẳng là HK và AD cùng nằm trong mặt

( )
α
và cần xác định
giao tuyến của
( )
α
với các mặt của hình chóp. Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng
không biết xác định giao tuyến với mp nào trước. Khi đó giáo viên cần chỉ cho học
sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm
( )
α
đi qua và chứa đường thẳng mà
( )
α

song song.
* Hướng dẫn
Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh
Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước?
+ Xác định giao tuyến của
( )
α
với mp (ABCD)
Câu hỏi 2: mặt phẳng
( )
α
và (ABCD) có những điểm
chung nào?
Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của
( )

AD = M
Vậy
( ) ( )
d ABCD
α
= ∩
. Đoạn giao tuyến là MN.
+ Xác định giao tuyến của
( )
α
với (SBC)
11
Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó là
điểm nào?
Câu hỏi 5: (SBC) và
( )
α
có quan hệ gì?
Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của
( )
α
và (SBC) bằng
cách nào?
Thấy N =
( )
( )SBC
α
∩
Thấy
( )

Câu hỏi 8: (SAB) và
( )
α
có quan hệ gì?
Câu hỏi 9: Xác định giao tuyến của
( )
α
và (SAB) bằng
cách nào?
Thấy P =
( )
( )SAB
α
∩
Thấy
( )
( )
/ /AB
AB SAB
α


⇒

⊂


giao tuyến của
( )
α

( )
( )SAD
α
∩
12
Vậy
( )
( )SAD
α
∩
theo đoạn giao tuyến là MQ.
Câu hỏi 12: Xác định thiết diện?
Thiết diện là hình thang MNPQ.
I.3. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
MN không // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI)

(ABC) b) (MNI)

(BCD)
c) (MNI)

(ABD) d) (MNI)

(ACD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến
sau: a) (SAC)

(SBD) b) (SAB)

tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)

(DMN)
II. Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và
( )
α
II.1 . Phương pháp : Để tìm giao điểm của d và
( )
α
ta có thể thực hiện theo các
bước sau:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng
( )
β
chứa d (Nên chọn mặt phẳng
( )
β
sao cho dễ tìm
giao tuyến với
( )
α
)
+ Bước 2: Xác định
∆
=
( )
α
∩
( )
β

(BCD).
Gọi E = MN
∩
BD.
Câu hỏi 3: Chứng minh E = MN
( )BCD∩
?
Ta có
( )
( )
E MN
E MN BCD
E BD E BCD
∈

⇒ = ∩

∈ ⇒ ∈

.
- Sau khi học sinh đã hiểu được các bước làm thì giáo viên có thể giao bài tập khó
hơn. Cụ thể:
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
14
* Hướng dẫn
a) Với ý a) ta dễ dàng thực hiện từng bước. Giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng

( ) ( )
E BM
E BM SAC
E SO SAC E SAC
∈

=> = ∩

∈ ⊂ ⇒ ∈

.
b) Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề.
Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến
với (SBC) là mặt phẳng nào?
Chọn mặt phẳng (SAD) chứa IM
Câu hỏi 6: Xác định (SAD)
∩
(SBC)?
Ta có S = (SAD)
∩
(SBC).
Gọi P = AD
∩
BC. Khi đó
( )
( )
P AD P SAD
P BC P SBC
∈ ⇒ ∈


sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét.
Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa
SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến
với (IJM)?
Học sinh sẽ chọn được mặt phẳng là (SBP).
Câu hỏi 9: Xác định (SBP)
∩
(IJM)?
Thấy J = (SBP)
∩
(IJM) ( Vì
J SB
∈
)
Mặt khác
(IJ ) ( )
F IM
F M SBP
F SP
∈

⇒ = ∩

∈

Vậy JF = (SBP)
∩
(IJM)
Gọi K = SC
∩

đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của:
a) CD và (MNP) b) AD và (MNP)
Bài 4: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên
đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC).
III. Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng
( )
α
.
III.1. Phương pháp : Để chứng minh cho d //
( )
α
ta chứng minh cho d // a với a là
một đường thẳng nằm trong mp
( )
α
.
Tóm tắt: Nếu
( )
( )
/ /
/ /
d a
d
a
α
α




⇒

⊂

.
b) Nhận xét: Để chứng minh SB // (MNP) học sinh dễ phát hiện ra đường thẳng a
là đường MP. Đây là một ví dụ mà học sinh có thể làm được nhờ một sự gợi ý nhỏ
của giáo viên.
* Hướng dẫn:
Câu hỏi 1: Hãy chứng minh SB // MP?
Ta có MP là đường trung bình trong tam giác SAB nên
SB // MP
Mà MP
⊂
(MNP) nên SB // (MNP).
c) Nhận xét: Để chứng minh SC // (MNP), với câu hỏi
này học sinh rất khó phát hiện ra được đường thẳng a.
Lúc này cần sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì học sinh mới có thể giải quyết
được vấn đề.
* Hướng dẫn:
Câu hỏi 2: Lấy O = MN
∩
AC.
Chứng minh SC // OP?
Vì O = MN
∩
AC => O là trung điểm của AC
=> OP là đường trung bình của tam giác SAC
=> SC // OP.

KM KN
MN DE
KD KE
= ⇒
(Định lý Talet)
Câu hỏi 2: Chứng minh MN // (CEF) ?
Do MN // DE mà DE
⊂
(CDFE) => MN // (CDFE)
Mà (CEF)
⊂
(CDFE). Vậy ta có MN // (CEF).
III.3. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD
a) Chứng minh rằng BD//(AIJ)
b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD.
Chứng minh rằng HK//(ABD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M và N là
trung điểm của SA và SC
a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD)
b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = SD
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI //(SBC)
và (IJN)//(SAD).
IV. Dạng toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song
19
IV.1 . Phương pháp : Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh cho
mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
Tóm tắt: Nếu
( )

a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên
mp(ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh (IJK) // (SAB).
* Hướng dẫn
a) Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần
chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại. Có thể chọn 2 đường là OM, ON
hoặc BC, SC
Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)?
Ta có OM // SC (Vì OM là đường trung bình của tam
giác SAC)
Mà SC
( )SBC⊂
. Vậy OM // (SBC).
Câu hỏi 2: Chứng minh ON // (SBC)?
Ta có ON // BC (Vì ON là đường trung bình trong
tam giác DBC)
Mà BC
( )SBC⊂
. Vậy ON // (SBC).
Câu hỏi 3: Chứng minh (OMN) // (SBC)?
20
Ta có
, ( )
/ /( )
( ) / /( )
/ /( )
OM ON = O
OM ON OMN
OM SBC
OMN SBC

(SAB) => JK // (SAB)
Câu hỏi 3: Chứng minh (IJK) // (SAB)?
Ta có
IJ, JK (IJ )
IJ//( )
(IJ ) / /( )
/ /( )
IJ
K
SAB
K SAB
JK SAB
JK J
⊂



⇒



∩ =

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC, ACC’, A’B’C’.
a) Chứng minh (IGK) // (BB’C’C).
b) Chứng minh (A’GK) // (AIB’).
* Hướng dẫn
a) Với ý a) học sinh sẽ rất khó nhìn ra 2 đường thẳng a và b. Nhiệm vụ của giáo
viên là phải giúp học sinh phát hiện ra 2 đường thẳng đó bằng cách hướng dẫn học

( ) / /( ' ' )
, ( )
IK BB C C
IG BB C C
IGK BB C C
IK IG I
IK IG IGK



⇒

∩ =


⊂

.
b) Để làm được ý b) học sinh càng khó khăn hơn trong
việc tìm ra 2 đường thẳng a và b. Giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh mở rộng các mặt phẳng bằng cách lấy thêm
các trung điểm E, F của BC và B’C’.
Câu hỏi 1: Mặt phẳng (AIB’) được mở rộng thành mặt
phẳng nào?
Do E là trung điểm của BC => A, I, E thẳng hàng
=> (AIB’) chính là (AEB’)
Câu hỏi 2: Mặt phẳng (A’GK) được mở rộng thành mặt
phẳng nào?
Do F là trung điểm của B’C’ => A’, K, F thẳng hàng
22

pháp làm thì hình vẽ cũng đóng một vai trò quan trọng. Một hình vẽ tốt phải là hình
đảm bảo các yêu cầu sau:
+) Phải đúng theo các quy tắc của một hình biểu diễn trong không gian và khái
niệm của các hình như: hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt
23
+) Phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn và có tính thẩm mỹ.
+) Phải đủ các dữ liệu, không thừa
+) Phải thể hiện được dữ liệu của đề bài cho.
D – BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc “Giải các bài toán về quan hệ song
song trong không gian” với thời lượng lên lớp chính khóa tôi nghĩ là chưa đủ. Do
đó, bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi đó là giáo viên phải
soạn bài thật tốt, đọc và nghiên cứu nhiều sách tham khảo, có kĩ năng vẽ hình chính
xác, biết đưa ra phương pháp phù hợp với từng dạng bài và hệ thống các bài tập
phù hợp.
2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà
trường tổ chức hoặc trong các giờ học tự chọn môn toán.
3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có nhóm trưởng (học sinh có
học lực khá, có uy tín với các bạn ). Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu” mà
giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà giáo viên đưa
ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giải của mình (có thuyết trình). Các
thành viên còn lại của lớp có thể đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải bài (nếu câu hỏi
hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em).
4/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em (bản thân tôi
photo các đề bài đã biên soạn ở trên phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau
thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số em, sửa từng cách trình
bày, hình vẽ. Đây là một việc làm không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự
tận tâm, tận tụy chịu khó trong công việc.
E - KẾT QUẢ THỤC NGHIỆM


Tuy nhiên, một kết quả khác mà học sinh của tôi đạt được. Tôi thiết nghĩ
không thể nói lên bằng các con số đó là:
- Phần lớn học sinh đã say mê giải những bài toán về hình học không gian.
- Các em không còn thấy khó khăn khi vẽ hình không gian.
25