SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT VĂN GIANG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI
TÍCH
1
TRONG MẶT PHẲNG OXY

BỘ MÔN TOÁN HỌC
GIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNH
ĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANG
Năm học 2013-2014
MỞ ĐẦU
2
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán
cực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tế
trong cuộc sống. Với tinh thần đổi mới giáo dục trong
các đề thi Đại học của những năm gần đây, bài toán cực
trị được đưa vào thường xuyên. Điều đó đặt ra cho quá
trình giảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rèn
luyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứng
với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và
Toán học nói riêng gần hơn với cuộc sống.
Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất
lượng bài giảng, chất lượng quá trình giáo dục chúng tôi
mạnh dạn “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải
tích trong mặt phẳng Oxy”.
2. Mục đích nghiên cứu
3
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương

5
6
NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
1. Các tính chất của Bất đẳng thức
Điều kiện Nội dung
a b a c b c
< ⇔ + < +
0c
>
a b ac bc
< ⇔ <
0c
<
a b ac bc
< ⇔ >
a b
a c b d
c d
<

⇒ + < +

<

0
0
a b
ac bd
c d

f x
trên D nếu
7

( )
(
)
( )
;
ax f x
: .
0 0
f x M x D
M
M
D
x D f x M


⇔



≤ ∀ ∈
=
∃ ∈ =
Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
f x
trên D nếu

n

khi đó ta có:

1 2

1 2
a a a
n
n
a a a
n
n
+ + +
≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1 2
a a a
n
= = =

4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
8
Cho hai bộ n số:
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n n
a a a b b b
khi đó ta có bất

.
6. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng
∆
đi qua
( )
0 0
;M x y
nhận
( )
; 0u a b ≠
r r
làm
vector chỉ phương. Khi đó
∆
có phương trình tham
số là:
0
0
;
.
x x at
y y bt
= +


= +

7. Phương trình tổng quát của đường thẳng
9

được tính bằng công
thức:
( )
0 0
2 2
x
,
a by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
.
9. Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng
1 2
;∆ ∆
lần lượt có phương trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2
0 0 ;
0 0 .
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = + ≠


làm vector pháp tuyến. Khi đó đường thẳng
∆
có
phương trình tổng quát là:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
0 + y + z + d = 0; d = - .a x x b y y c z z ax b c ax by cz− + − + − = ⇔ − −
11. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
Cho mặt phẳng
( )
: ax + by + cz + d = 0
α
và điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
.
Khoảng cách từ điểm M đến
( )
α
được tính bằng công
thức

( )
( )
0 0 0
2 2 2
x

A
là điểm đối xứng với A qua
∆
.
12
B
/
A
A
M
∆
Hình 1
Nếu hai điểm A, B khác phía so với
đường thẳng
∆
thì điểm M cần tìm chính
là giao điểm của đường thẳng
∆
với
đường thẳng AB.
Nếu hai điểm A, B cùng phía so với
đường thẳng
∆
(Hình 1) khi đó ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 2: Từ đánh giá:
/ /
MA MB MA MB A B+ = + ≥ =
hằng số.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

∆
.
Đường thẳng
/
AA : 2( 0) 1( 6) 0 2 6 0x y x y− + − = ⇔ + − =
Gọi
/
AAI = ∩ ∆
. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương
trình:
( )
2 6 0 2;
2;2
2 2 0 2.
x y x
I
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒
 
− + = =
 
13
Do I là trung điểm của
/
AA
nên ta có:
( )
/


− + =


 
⇔ ⇒
 
 ÷
+ − =
 


=


Trong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác
biệt so với câu a). Nếu hai điểm A; B mà nằm về hai
phía so với
∆
thì ta lại phải đi tìm điểm
/
A
đối xứng với
A qua
∆
. Sau đó ta sử dụng đánh giá:
/ /
MA MB MA MB A B− = − ≤ =
hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi

hằng
số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
; ;M A B
thẳng hàng.
Ta có
( )
2; 1AB = −
uuur
nên
:1( 0) 2( 6) 0 2 12 0AB x y x y− + − = ⇔ + − =
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
5;
2 12 0
7
5;
7
2 2 0
2
.
2
x
x y
M
x y
y
=

+ − =



)
15
Bài 3
Cho hai điểm
( ) ( )
2; 5 ; 4;5A B− −
và đường thẳng
: 2 3 0x y∆ − + =
. Tìm điểm
:N NA NB∈∆ −
đạt giá trị lớn nhất?
Bài 4
Cho hai điểm
( ) ( )
1;2 ; 0; 1A B −
và đường thẳng
;
:
1 2 .
x t
y t
=

∆

= +

.
Tìm
M ∈∆

OA OB
+
đạt giá trị nhỏ nhất?
c)Tìm
; :a b OA OB+
đạt giá trị nhỏ nhất?
a) Lời giải 1
Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có:
: 1
x y
a b
∆ + =
Nhận thấy tam giác
OAB
vuông tại
O
nên:
1
.
2
OAB
S a b
∆
=

Mặt khác do
( )
2 1
1; 1M
a b

a b
b
a b

=

=


⇔
 
=


+ =



Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM
và nhận thấy tính hiệu quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp.
Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều cách giải
cho một đề toán. Do vậy một trong những thủ thuật của
người thầy (theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán
nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời
giải nào khác nữa không?. Câu hỏi đó làm cho học
sinh có hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy
được chúng ta không nên bằng lòng theo kiểu “ăn xổi”.
a) Lời giải 2
18
Từ kết quả

2a
>
.
( )
( )
( ) ( )
2
2
/
2 2
2 . 2 4 2
2 8
2 4 2 4
a a a
a a
f a
a a
− −
−
= =
− −
( )
( )
( )
/
0
0
4 /
a l
f a

→+∞ →+∞
= = +∞
−
Lập bảng biến thiên ta có:
a
2
4
+∞
( )
/
f a
−

0
+
( )
f a
+∞
+∞
( )
4f
19
Suy ra:
( ) ( )
min 4 4
2
f a f
a
= =
>

. Tức là
OM AB
⊥
.
20
Vậy ta có hệ phương trình:
2 0 5
;
. 0
2
2 1
1
5.
a b
a
AB OM
M
b
a b
− + =



=
=
  
⇔ ⇔
  
+ =
∈∆

1 1 1 1
OA OB a b
   
+ = +
 ÷  ÷
   
gợi cho ta nhớ tới bất
đẳng thức Bunhiacopxki? Do đó gợi ý cho ta lời giải thứ
2 như sau:
21
b) Lời giải 2
Theo bài ra do
2 1
1M
a b
∈∆ ⇒ + =
Xét:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
2. 1. 4 1 Bunhiacopxki
a b a b
   
+ ≤ + +
 ÷  ÷
   
2 2
1 1 1
5a b

5.
a
b

=



=

Bình luận: Thật gọn, đẹp! Còn có cách giải khác nữa
không?
22
Đối với câu c) Giáo viên sẽ tránh cho học sinh một sai
lầm khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời
giải 1 của câu c) như sau:
c) Lời giải 1
Ta có
( )
2 ; 3OA OB a b ab+ = + ≥
(Theo bất đẳng thức
AM-GM)
Mặt khác
( )
2 1 2
1 2 8; 4ab
a b ab
= + ≥ ⇔ ≥
(Theo bất đẳng
thức AM-GM)

2
a
b
a b a
+ = ⇒ =
−
Do
0; 0 2a b a> > ⇒ >
Ta được
( )
2
2 2
a a a
OA OB a f a
a a
−
+ = + = =
− −
Ta đi khảo sát hàm số
( )
f a
với
2a
>
Ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2


⇔

= +

Lại có
( )
( )
2
lim lim
2
2
lim lim
2
2 2
a a
f a
a
a a
a a
f a
a
a a
−
= = +∞
−
→ +∞ → +∞
−
= = +∞
−



Củng cố thuật toán các em học sinh làm thêm một số
bài tập sau:
Bài 6
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, viết phương trình đường
thẳng
∆
đi qua điểm
( )
1;3A −
và cắt các trục Ox, Oy lần
lượt tại M, N sao cho
2 2
2 1
OM ON
+
đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 7
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm
(2;5)A
, cắt chiều dương của các trục
Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N khác gốc toạ độ sao
cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 8
25