PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY BẰNG CÁCH
KHAI THÁC MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÌNH HỌC PHẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam qui định về giáo dục phổ
thông như sau : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác
chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn
học, bồi dưỡng năng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.
(Luật giáo dục chương II, mục 2, điều 28).

Trong công cuộc đổi mới giáo dục Bộ giáo dục và Đào tạo tiến hành theo ba hướng :
+ Đổi mới chương trình và sách giáo khoa.
+ Đổi mới phương pháp dạy học.
+ Đổi mới cách kiểm tra đánh giá học sinh.
Đi đôi với đối mới sách giáo khoa,đổi mới chương trình dạy học là đổi mới phương
pháp dạy học. Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học để phát huy năng lực của học
sinh là một đòi hỏi cấp bách trong tiến trình đổi mới giáo dục hiện nay.
Trong những năm qua, các thầy, cô giáo Tổ Toán trường THPT Long Khánh đã có
nhiều cố gắng trong việc đổi mới và cải tiến phương pháp dạy học. Tuy nhiên các
thầy, cô vẫn còn gặp những vướng mắc nhất định, nhất là các vấn đề khó. Trong các
đề thi đại học trong các năm học gần đây. Đặc biệt chuẩn bị cho kỳ thi : “Trung học
phổ thông Quốc Gia”, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là câu khó không
những đối với học sinh mà giáo viên cũng lúng túng. Làm sao để dạy cho học sinh tiếp
thu được kiến thức này một cách tốt nhất, chủ động, tích cực sáng tạo, để các em đạt
được kết quả cao trong kỳ thi ? làm sao để cùng các đồng nghiệp giải quyết được
những vướng mắc về dạng Toán này ? Bởi vậy qua nhiều lần trao đổi cùng các đồng
nghiệp và học sinh, chúng tôi thấy cần thiết phải có các giải pháp về dạy học chủ đề
này nhằm nâng cao chất lượng học tập của các em không những tại đơn vị mình mà

- Thông qua phương pháp học sinh tiếp thu kiến thức chủ động, sáng tạo.
- Phương pháp này đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian và công sức.
Bởi vậy năng lực của giáo viên cũng được rèn luyện và phát triển.

2


b) Kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng học sinh được học từ lớp 10, tuy
nhiên với đặc điểm tư duy các em còn hạn chế khi phải tiếp thu kiến thức mới, nên yêu
cầu còn chưa cao. Chủ yếu là yêu cầu các em hoàn thiện các kiến thức cơ bản.
c) Khó khăn:
+ Học sinh rất yếu với môn học “Hình học phẳng” vốn chỉ được học ở cấp hai.
+ Học sinh không có thói quen “ Khai thác các tính chất của hình học phẳng” để giải
bài toán “ hình giải tích trong mặt phẳng”.
+ Số tiết luyện tập ít nên rèn luyện kĩ năng nâng cao là không thực hiện được.

+ Thực tế bài tập thi yêu cầu cao, đa dạng, đòi hỏi có nhiều kỉ năng, kỉ xảo bởi vậy
học sinh phải được luyện tập nhiều.
+ Số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ và đồng bộ.
Từ các thực tế nói trên, mục đích của đề tài là:
+ Xây dựng được phương pháp tìm tòi có căn cứ để giải được bài toán
+ Góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ
đó vận dụng để giải tốt các bài tập về hình học phẳng oxy, đạt được các kết quả cao
trong các kỳ thi vào đại học, thi chọn học sinh giỏi.
Để tìm được hướng đi cho lời giải, đó là chất “men” để học sinh có hứng thú khi học
bài. Thế nhưng dựa vào đâu để tìm tòi? Theo tôi đó là dấu hiệu của mỗi phương pháp.
Chúng ta phải làm cho học sinh tiếp cận được với những dấu hiệu đó. Để phát hiện ra
các dấu hiệu theo chúng tôi.
- Dựa vào các tính chất trong hình học phẳng.
- Dùng trực giác để từ hình vẽ tìm thấy nét đặc biệt trong các quan hệ của các


a  b  a.b  0  a1.b1  a2.b2  0

3


ur ur

cos(a; b) 

a1.b1  a2 .b2
a12  b12 . a22  b22

II. Đường thẳng:
1. Vectơ chỉ phương
của đường thẳng
r r
Vectơ u  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song
song hoặc trùng với .
r
r
Nhận xét:– Nếu u là một VTCP của  thì ku (k  0) cũng là một VTCP của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ phápr tuyến của đường thẳng
r
Vectơ n  0 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với .
r
r
Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của  thì kn (k  0) cũng là một VTPT của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.

tu

0
2
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
r
Cho đường thẳng  đi qua M0 ( x0; y0 ) và có VTCP u  (u1; u2 ) .

Phương trình chính tắc của :

x  x0 y  y0

u1
u2

(2) (u1  0, u2  0).

5. Phương trình tham số của đường thẳng
PT ax  by  c  0 với a2  b2  0 là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c  0 thì  có:
r
r
r
VTPT là n  (a; b) và VTCP u  (b; a) hoặc u  (b; a) .
r
– Nếu  đi qua M0 ( x0; y0 ) và có VTPT n  (a; b) thì phương trình của  là:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  0

  đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình của :


(nếu a2, b2, c2  0 )

a2 b2

 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm 
 1 // 2  hệ (1) vô nghiệm



a1 b1 c1
(nếu a2, b2, c2  0 )


a2 b2 c2
a1 b1 c1
(nếu a2, b2, c2  0 )


a2 b2 c2

 1  2  hệ (1) có vô số nghiệm 

7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1y  c1  0 và 2: a2 x  b2y  c2  0

r r
n1.n2
a1b1  a2b2
r r
·

a12  b12



a2 x  b2y  c2
a22  b22

III. Đường tròn:
1)Đường tròn(C) có tâm I (a; b) bán kình R có phương trình là:

( x  a)2  ( y  b)2  R2
2)Phương trình x2  y2  2ax  2by  c  0 ,điều kiện: a2  b2  c >0 là phương trình
đường tròn có tâm I(a;b) bán kính R  a2  b2  c
3)Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C):
M ( x0 ; y0 )  (C ) là: (a  x0 )( x  x0 )  (b  y0 )( y  y0 )  0

5

( x  a)2  ( y  b)2  R2

tại


B.CÁC GIẢI PHÁP
Ví dụ mở đầu :
Trong sách giáo khoa “ Hình học lớp 10 nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục” có
nêu ví dụ : “ Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại
tiếp O.
uuur


phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giao điểm của đường tròn với BC
là B, C cần tìm.
Như vậy để giải được bài toán này các em vận dụng tính chất của hình học phẳng, đó
uuur

uur

là AH  2OI . Ngoài ra nếu ta suy nghỉ thêm chút nữa là ngoài điểm A ở trên đường
tròn mà ta xác định được tọa độ, còn có thể xác định được điểm nào nữa ?
Ta cũng thấy điểm H’ đối xứng với H qua BC là điểm thuộc đường tròn. Có tọa độ H
và có phương trình BC thì xác định được tọa độ H’. Như vậy,ở đây chúng ta lại khai
thác một tính chất nũa của hình học phẳng đó là : “ Trong một tam giác điểm đối xứng
với trực tâm qua một cạnh thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác”.
Một ví dụ tiếp theo : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
A(1;4), tiếp tuyến với đường tròn ( O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường
phân giác trong của góc ADB có phương trình x – y + 2 = 0, điểm M(4;-1) thuộc cạnh
AC . Viết phương trình đường thẳng AB” .

7


Để viết được phương trình cạnh AB , vì có A(1;4) vậy tìm thêm điểm nữa thuộc AB?
Tại sao đề bài lại cho điểm M trên cạnh AC ? Điểm M liên quan gì đến điểm cần tìm
trên cạnh AB ? Nếu biết được phương trình đường phân giác góc BAC thì kết hợp với
M ta tìm được điểm trên cạnh AB . Lời giải bài toán có chiều hướng tốt . Vậy làm
cách nào để viết được phương trình phân giác góc BAC ? Bằng trực quan ta dự đoán
phân giác góc BAC và phân giác góc ADB vuông góc với nhau .N ếu điều đó xảy ra
thì tam giác ADI phải cân tại D . Cuối cùng ta phải chứng minh một bài Toán hình học
phẳng là : “ Tam giác ADI cân tại D” . Bài tập này các em phải có khả năng suy luận ,
khả năng phán đoán và kỷ năng chứng minh hình học phẳng .

Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, có đỉnh B(-4;1), trọng
tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình
x  y 1  0 .Tìm tọa độ A và C.

(Đề thi khối D-2011)
*Tìm tòi lời giải:
9


M là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác.Từ mối quan hệ ba điểm
B;G;M em tìm tọa độ điểm nào? Từ đó các em tìm được tọa đọ diểm M.
AD là phân giác trong của góc A, B là điểm biết tọa độ thuộc AB, vậy điểm K đối
xứng B qua AD thuộc đường thẳng nào? Áp dụng tính chất đường phân giác các em
phát hiện K thuộc AC.
Do M và K là các điểm thuộc AC vậy phương trình AC viết được, suy ra tọa độ A và
C.
*Lời giải:
Tìm tọa độ M ( xM ; yM ) ,theo tính chất trọng tâm G, có:
uuuur

2 uuuuur
BG  BM 
3


7
 xM 
2


Vậy C (3;-1).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, phân giác trong của
góc A có phương trình: x  y  2  0 , đường cao kẻ từ B có phương trình:
4 x  3 y 1  0 , H (-1;-1) là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm tọa độ C?

(Đề thi khối B – 2008)
*Tìm tòi lời giải:

AD là phân giác góc A, H thuộc AB. K là điểm đối xứng với H qua AB  K thuộc
AC. Trên đường thẳng AC xác định được tọa độ điểm K, đường thẳng AC đi qua K và
vuông góc với BE  phương trình AC  tọa độ A. Do A và H xác định được tọa độ
nên viết được phương trình AB, tìm được B, phương trình AC  tọa độ C.
*Lời giải:
K là điểm đối xứng với H qua AD  K (-3;1). AC qua K và vuông góc với BE 
phương trình AC: 3x  4 y  7  0 , tọa độ A (5;7), CH qua H và vuông góc với AH có
phương trình 3x  4 y  7  0 . Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:

10
 x   3
3x  4 y  7  0
.


3
3x  4 y  13  0
y 

4

 10 3 


uuuur

KC =(2t-11; -t-2), HB =(3-2t; t-4)

 B (3;1)
C (3; 1)
t  1
KC.HB  0  t 2  6t  5  0  
 1
và  1
t  5  B2 (5;5) C2 (5; 5)

uuuur uuuur

Vì G(-3;-1) và H(2; 4) ở về cùng phía so với BD nên C1 (loại) B1 (loại).
Vì C2 (5; 5) và H(2; 4) ở về hai phía nên C2 (nhận) B2 (nhận).
 x  7 y  30  0
31 17
Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình: 
 A( ; )
5 5

7 x  y  40  0

Vậy A(

31 17
; ) B(3;1) C(5;-5)
5 5


uuuur

.Vì AD và AB cùng hướng nên b=7.Vậy

B(4; 7)  BC: 3x  4 y 16  0
Ví dụ 5:
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết B(2;-1) phương trình đường
cao AH: 3x  4 y  27  0 ; đường phân giác trong CD của góc C có phương
trình: x  2 y  5  0 . Lập phương trình ba cạnh tam giác.
*Tìm tòi lời giải:

13


B’ là điểm đối xứng của B qua phân giác AD thì B’ xác định được tọa độ. Đường
thẳng BC qua B và vuông góc với AH  viết được phương trình BC. Từ đó tìm được
tọa độ C.
Đường thẳng AC qua B’và C xác định được tọa độ nên phương trình AC xác định
được. Do đó tọa độ A xác định được từ đó viết được phương trình AB.
*Lời giải:

B’ đối xứng B qua phân giác góc CB’(4;3), BC: 4 x  3 y  5  0
Tọa độ C(-1;3). Phương trình AC: y=3
Tộ độ A(-5;3). Phương trình AB: 4 x  7 y 1  0 .
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;5) , đường
phân giác trong góc BAC có phương trình x – 1 = 0 . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam
3
2


đường phân giác sẽ được nâng lên rõ rệt. Điều đó được thể hiện khi tôi cho các em
làm các bài tập sau.
Bài tập luyện tập
Bài 1.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, phân giác trong góc A có
phương trình: x  y  0 , đường cao CH có phương trình: 2 x  y  3  0 . M(0;-1)AC;
AB=3AM. Tìm tọa độ B?

15


Bài 2.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48. D(3;2). Đường phân giác của góc BAD có phương trình: x  y  7  0 . Tìm tọa độ B biết
xA > 0.

(Đề thi của trường chuyên Nguyễn Quang Diệu-Đồng Tháp)
Bài 3.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC đường cao AH, phác BD của
góc ABC lần lượt có phương trình: (d1) : x  2 y  2  0 ; (d2 ) : x  y 1  0 ; M(0;2)AB
và AB=2BC. Tìm tọa độ A,B,C ?
Bài 4.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có AC>AB, C(6;0) và hai đường
thẳng d: 3x  y 10  0 và d’: 3x  3 y 16  0 trong đó (d) là phân giác trong của góc A,
(d’)AC. (d), (d’) và trung trực BC đồng quy tại 1 điểm. Tìm tọa độ B.
(ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 5.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, M(0;-1). Phương trình đường
phân giác trong của góc A là: x  y  0 . Phương trình đường cao kẻ từ C
là: 2 x  y  3  0 .Đường AC đi qua M và AB=2AM. Tìm B,C ?
(Trường Amsterdam-Hà Nội)

Để chứng minh AM  BM ta có thể dùng phương pháp hình phẳng thông thường hoặc
dùng phương pháp véc tơ hay phương pháp tọa độ. Chúng tôi đưa ra phương pháp tọa
độ như sau :
Chọn hệ trục tọa độ với gốc là I, IC là trục hoành, IA là trục tung. I(0;0) A(0;a),
B (c;0) C(c;0). Phương trình CD là ax+2cy - ac =0; BH là 2cx – ay +2c 2 = 0  tọa độ
a 2 c  4c3 4ac 2
a 2c
2ac 2
;
)
;
).
,
M(
a 2  4c 2 a 2  4c 2
a 2  4c 2 a 2  4c 2
uuuur uuuur
Tính được : AM .BM  0  AM  BM

điểm H(

Lời giải :

AM có phương trình 3x + y = 0 ; BM vuông góc AM, vậy BM có phương trình :
uuur

uuur

x - 3y – 5 = 0. Tọa độ B(-4 ;-3). Do AB  3AD có D(-2;1). Toa độ H(-1;0), C(2;-3)
Nhận xét :

bài cho biết tọa độ, B giả thiết cho thuộc một đường thẳng có phương trình, thực chất
18


cũng cho biết một toa độ.Khi hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải chúng ta nhấn mạnh
điềm này để học sinh có phương hướng, từ đó phát hiện vấn đề là BM  MK
Ví dụ 8
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, có A(-2;6),
B(d): x  2 y  6  0 . M và N là hai điểm trên hai cạnh BC và CD sao cho BM=CN. I
2 14
là giao điểm của AM và BN và I ( ; ) . Xác định tọa độ C.
5 5

*Tìm tòi lời giải:

uuur
12 16
AI  ( ;
) và BI  (2b  6; b)
5 5

uuur

Để giải quyết được điểm B ta phải “kiếm” được phương trình cho ẩn b. Dựa vào hình
vẽ ta phán đoán AMBN. Nếu điều này đúng thì “giải quyết” xong điểm B. Khi tìm
được B thì lập được phương trình BC từ đó tìm được C.
*Lời giải:
+Chứng minh AMBN.
Cách 1: Hướng dẫn các em chứng minh tam giác vuông ABM bằng tam giác vuông
BCN.

uuuur uuuuur

thể phán đoán ACMN. Nếu phán đoán đúng thì khi đó ta có AC.MN  0 ta được
phương trình thứ hai, vậy giải quyết được C. Khi biết được C thì B và D dễ dàng tìm
được. Vậy mấu chốt là chứng minh được ACMN.
*Lời giải:
+Chứng minh ACMN
Do MAN cân tại AMA=NA vậy A thuộc đường trung trực của MN. Do 
vuông ABM bằng  vuông ADN MB=ND  NC=MC vậy C  trung trực MN 
ACMN.
+A(d): x  y  4  0  A(a; a-4). Mặt khác AM=AN  a=-1A(-1;-5).
+Tìm C ( x0 ; y0 )
uuuuur uuuur

uuuur uuuuur

Do MC.NC  0 và AC.MN  0 ta có C(1;-1) hoặc C(3;3).
Khi C(1;-1)B(-2;-2) và D(2;4) hoặc B(2;-4) và D(-2;-2).
Khi C(3;3)B(5;-3) và D(-3;1) hoặc B(-3;1) và D(5;-3).
Ví dụ 10.
20


Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC,

N(

3 1
1
; ) là điểm trên cạnh AC sao cho AN  AC. Xác định các đỉnh hình vuông,

21


*Nhận xét:
Nút thắt của bài toán là nhận thấy được DNM là tam giác vuông cân tại N. Lý do tại
sao học sinh có thể phát hiện được điều đó? Chúng ta phải hướng cho các em thấy
được giả thiết tập trung vào 3 điểm đó là N,D và M. Vậy mối quan hệ 3 điểm này như
thế nào? Từ hình vẽ giúp cho các em có dự đoán về tam giác vuông cân DNM. Để học
sinh hứng thú hơn và hiểu bài sâu sắc hơn ta có thể yêu cầu các em dùng các cách
khác nhau như vectơ, tọa độ để chứng minh DNM vuông cân.
Đối với học sinh giỏi, cho các em nghiên cứu bài toán trong hình phẳng sau:
uuuuur

uuuur uuuur

uuuur

“Cho hình vuông ABCD, MBC và NAC sao cho BM  mBC, AN  nAC . Chứng
minh rằng: cos NMD 

1  mn  n
(1  m)2  1. (1  n)2  n2

Bài toán vừa giải quyết là một trường hợp đăc biệt của bài toán tổng quát vừa nêu.
Ví dụ 11.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có
13 9
BC=2AD. Điểm H  ( ; ) là hình chiếu vuông góc của B lên CD. Xác định tọa độ
5 5


uuuur uuuuur

D(8-3d; d). Do AD.MD  0  D(1;3)
+Tìm tọa độ C.
uuuur

uuuuur

Do AD  MC  C (5;1)  B(1; 3)
*Nhận xét:
Qúa trình dẫn dắt các em để phát hiện được điểm then chốt là tìm được điểm M. Để
giải quyết được điều đó các em phải xoay quanh mối quan hệ 3 điểm là A,H,M.
Ví dụ 12.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy,cho hình thang cân ABCD có góc A và D là hai góc
vuông, CD là đáy lớn, góc BCD bằng 450 . Đường thẳng AD có phương trình
3x  y  0 , đường thẳng BD có phương trình x  2 y  0 . Viết phương trình BC biết

diện tích ABCD bằng 15 và xB  0 .
*Tìm tòi lời giải:

23


Giả thiết bài toán cho khá rời rạc, chung ta chưa thấy điều kiện nào để gắn kết chúng
lại. Khai thác được gì từ các giả thiết?
Phải chăng từ hai đường thẳng AD và DB? Cho phương trình hai đường thẳng đó ta
khai thác được gì? Đầu tiên là được tọa độ D. Còn gì nữa? Xác định được góc giữa hai
đường đó. Từ đó ta có góc ADB = 450 vậy góc BDC bằng 450 . Nút thắt đã được mở.
Tam giác DBC vuông cân tại B. Điều khó khăn ở bài toán này là hình vẽ không giúp
được gì cho các em. Hướng tìm tòi là khai thác triệt để giả thiết bài toán.

ĐS : C(5;5) ; C(1;-3)
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình chử nhật ABCD có đỉnh B
thuộc đường thẳng có phương trình : 3 x  y  0 , góc ACD =30 0 và diện tích bằng 3 3
Giao điểm của đường phân giác trong góc ABD với đường cao tam giác BCD kẻ từ C
là điểm M( 3;3) . Tìm tọa độ B, D biết hoành độ B, D nhỏ hơn 3 .
ĐS : B (

3 3
 3 9
; ) ; D(
; ).
2 2
2 2

24


Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình
x 2  y 2  9 , đường thẳng (d) : x – y – 3 + 3 = 0, A(3;0). Gọi M là điểm thay đổi trên

đường tròn ( C) và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành. Tính diện tích
tam giác ABM biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc (d) và G có tung độ dương.
(Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm 2012 )
Giải pháp 3: Khai thác tính chất ba điểm thẳng hàng.
uuuur

uuuur

uuuur