PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO
CỦA HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY BẰNG CÁCH
KHAI THÁC MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÌNH HỌC PHẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam qui định về giáo dục phổ
thông như sau : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác
chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, từng môn
học, bồi dưỡng năng lực tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”.
(Luật giáo dục chương II, mục 2, điều 28).
Trong công cuộc đổi mới giáo dục Bộ giáo dục và Đào tạo tiến hành theo ba hướng :
+ Đổi mới chương trình và sách giáo khoa.
+ Đổi mới phương pháp dạy học.
+ Đổi mới cách kiểm tra đánh giá học sinh.
Đi đôi với đối mới sách giáo khoa,đổi mới chương trình dạy học là đổi mới phương
pháp dạy học. Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học để phát huy năng lực của học
sinh là một đòi hỏi cấp bách trong tiến trình đổi mới giáo dục hiện nay.
Trong những năm qua, các thầy, cô giáo Tổ Toán trường THPT Long Khánh đã có
nhiều cố gắng trong việc đổi mới và cải tiến phương pháp dạy học. Tuy nhiên các
thầy, cô vẫn còn gặp những vướng mắc nhất định, nhất là các vấn đề khó. Trong các
đề thi đại học trong các năm học gần đây. Đặc biệt chuẩn bị cho kỳ thi : “Trung học
phổ thông Quốc Gia”, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là câu khó không
những đối với học sinh mà giáo viên cũng lúng túng. Làm sao để dạy cho học sinh tiếp
thu được kiến thức này một cách tốt nhất, chủ động, tích cực sáng tạo, để các em đạt
được kết quả cao trong kỳ thi ? làm sao để cùng các đồng nghiệp giải quyết được
những vướng mắc về dạng Toán này ? Bởi vậy qua nhiều lần trao đổi cùng các đồng
nghiệp và học sinh, chúng tôi thấy cần thiết phải có các giải pháp về dạy học chủ đề
này nhằm nâng cao chất lượng học tập của các em không những tại đơn vị mình mà
còn cho học sinh và các đồng nghiệptrong các đơn vị khác.

2
b) Kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng học sinh được học từ lớp 10, tuy
nhiên với đặc điểm tư duy các em còn hạn chế khi phải tiếp thu kiến thức mới, nên yêu
cầu còn chưa cao. Chủ yếu là yêu cầu các em hoàn thiện các kiến thức cơ bản.
c) Khó khăn:
+ Học sinh rất yếu với môn học “Hình học phẳng” vốn chỉ được học ở cấp hai.
+ Học sinh không có thói quen “ Khai thác các tính chất của hình học phẳng” để giải
bài toán “ hình giải tích trong mặt phẳng”.
+ Số tiết luyện tập ít nên rèn luyện kĩ năng nâng cao là không thực hiện được.
+ Thực tế bài tập thi yêu cầu cao, đa dạng, đòi hỏi có nhiều kỉ năng, kỉ xảo bởi vậy
học sinh phải được luyện tập nhiều.
+ Số lượng bài tập tham khảo không đầy đủ và đồng bộ.
Từ các thực tế nói trên, mục đích của đề tài là:
+ Xây dựng được phương pháp tìm tòi có căn cứ để giải được bài toán
+ Góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú trong học tập từ
đó vận dụng để giải tốt các bài tập về hình học phẳng oxy, đạt được các kết quả cao
trong các kỳ thi vào đại học, thi chọn học sinh giỏi.
Để tìm được hướng đi cho lời giải, đó là chất “men” để học sinh có hứng thú khi học
bài. Thế nhưng dựa vào đâu để tìm tòi? Theo tôi đó là dấu hiệu của mỗi phương pháp.
Chúng ta phải làm cho học sinh tiếp cận được với những dấu hiệu đó. Để phát hiện ra
các dấu hiệu theo chúng tôi.
- Dựa vào các tính chất trong hình học phẳng.
- Dùng trực giác để từ hình vẽ tìm thấy nét đặc biệt trong các quan hệ của các
yếu tố về điểm, đường thẳng, dùng giả thiết để kết nối các mối quan hệ đó lại.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
A. Một số kiến thức liên quan:
I.Vectơ:
Cho
1 2
( ; )a a a=

1 2
a a
b b
=
a b⊥
ur
ur
⇔
1 1 2 2
. 0 . . 0a b a b a b= ⇔ + =
ur
ur
3
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
. .
cos( ; )
.
a b a b
a b
a b a b
+
=
+ +
ur
ur
II. Đường thẳng:
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ

thì
kn
r
(k
≠
0) cũng là một VTPT của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu
u
r
là một VTCP và
n
r
là một VTPT của
∆
thì
u n
⊥
r r
.
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2

= +

= +

.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
.
Phương trình chính tắc của ∆:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(2) (u
1

≠
0, u
2


M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b( ; )=
r
thì phương trình của
∆
là:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0
− + − =
•

∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): Phương trình của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
•

∆
đi qua điểm

a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0

+ + =

+ + =

(1)
4
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
// ∆

:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
·
·
n n a b a b
n n
n n
a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
.
.
∆ ∆
+
= = =
+ +
r r

:
y k x m
2 2
= +
thì:
+
∆
1
//
∆
2

⇔
k
1
= k
2
+
∆
1
⊥

∆
2

⇔
k
1
. k
2

– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + >
.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + <
.
•
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
là:
a x b y c a x b y c
a b a b

( )( ) ( )( ) 0a x x x b y y y− − + − − =
B.CÁC GIẢI PHÁP
5
Ví dụ mở đầu :
Trong sách giáo khoa “ Hình học lớp 10 nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục” có
nêu ví dụ : “ Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại
tiếp O.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
2AH OI=
uuur uur
b) Chứng minh
OA OA OB OC= + +
uuur uuur uuur uuur
c) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.”
(Trang 21 sách giáo khoa Hình Học lớp 10 nâng cao )
Đường thẳng đi qua ba điểm : O, G, H gọi là đường thẳng Ơle.
Chúng ta phân tích bài tập sau : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam
giác ABC có trực tâm H(3;-2), tâm đường tròn ngoại tiếp O(8;11) và hình chiếu của A
xuống BC là K(4;-1).Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C.
6
Từ gỉa thiết bài toán ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng BC ( đi qua K và
có véc tơ pháp tuyến
HK
uuur
). Do đó ta xác định được trung điểm I của BC. Điều gì xảy
ra khi biết được tọa độ ba điểm H, O, I ? Điểm A có liên quan gì đến O , H , I ?Từ hệ
thức véc tơ
2AH OI=
uuur uur
đã nói ở trên ta xác định được tọa độ điểm A. Xác định được tọa

góc ABC + góc BAI = góc AID .Do đó tam giác ADI cân tại D.
+Do tam giác ADI cân tại D và DE là phân giác của góc ADI nên DE vuông góc với
AI . Từ đó phương trình AI là : x+ y – 5 = 0
+ M’ là điểm đối xứng M qua AI , suy ra M’(4;9)
+ Phương trình AB là 5x – 3y + 7 = 0
8
Tóm lại để giải các bài toán trên chúng ta phải biết khai thác các tính chất của hình
học phẳng. Trong quá trình dạy học về loại Toán dạng này mà giả thiết “ ẩn” chúng
tôi luôn luôn cố gắng hướng dẫn các em tìm tòi để khai thác các tính chất của hình
học phẳng , từ đó các em biết vận dụng vào giải các bài toán hình học giải tích trong
mặt phẳng một cách tốt nhất.Qua việc tìm tòi lời giải phát huy được tư duy sáng tạo
cho các em trong học tập.Trong quá trình hướng dẫn các em , chúng tôi xây dựng
được các giải pháp để giải loại Toán này.Sau đây chúng tôi xin phép lần lượt trình bày
các giải pháp trong sáng kiến kinh ngiệm này.
Giải pháp 1: Khai thác các tính chất đường phân giác.
Tính chất: Hai đường thẳng
1 2
;∆ ∆
cắt nhau tại I, đường phân giác của góc của
1 2
;∆ ∆

là (d).M là điểm ∈
1
∆
, và M’ là điểm đối xứng với M qua (d), thì M’∈
2
∆
Chứng minh:
M’ đối xứng với M qua(d)⇒∆MIM’cân tạ I⇒ (d) là phân giác của

2
3
BG BM=
uuuur
uuuuur
⇔
7
2
1
M
M
x
y





=
=
Tìm tọa độ K đối xứng với B qua AD. I là trung điểm BK ⇒
4 1
( ; )
2 2
K K
x y
I
− +
( 4; 1)BK x y= + −
uuuur






= − =
= − = −
10
Vậy C (3;-1).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, phân giác trong của
góc A có phương trình:
2 0x y− + =
, đường cao kẻ từ B có phương trình:
4 3 1 0x y+ − =
, H (-1;-1) là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Tìm tọa độ C?
(Đề thi khối B – 2008)
*Tìm tòi lời giải:
AD là phân giác góc A, H thuộc AB. K là điểm đối xứng với H qua AB
⇒
K thuộc
AC. Trên đường thẳng AC xác định được tọa độ điểm K, đường thẳng AC đi qua K và
vuông góc với BE
⇒
phương trình AC
⇒
tọa độ A. Do A và H xác định được tọa độ
nên viết được phương trình AB, tìm được B, phương trình AC
⇒
tọa độ C.
*Lời giải:


−
= −
+ + =
⇔
− + =
=
.
Vậy C
10 3
;
3 4
 
 ÷
 
−
.
Ví dụ 3:
11
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giac ABC vuông tại A, B và C đối xứng
qua gốc tọa độ O, đường phân giác trong của góc B có phương trình (d):
2 5 0x y+ − =
.K(6;2)∈AC.Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
*Tìm tòi lời giải:
H là điểm đối xứng với O qua phân giác BD, xác định tọa độ H.
B∈BD:
2 5 0x y+ − =
⇒B(5-2t; t) ⇒C(2t-5; -t)
Các em phải tìm một phương trình với ẩn t. Xét mối quan hệ
KC

t
t



=
=
⇒
1 1
2 2
(3;1) ( 3; 1)
à
( 5;5) (5; 5)
B C
v
B C
 
 
 
 
− −
− −
Vì G(-3;-1) và H(2; 4) ở về cùng phía so với BD nên
1
C
(loại)⇒
1
B
(loại).
Vì

A
B(3;1) C(5;-5)
Ví dụ 4:
12
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,C(-4;1), phân giác
trong của góc A có phương trình:
5 0x y+ − =
.Viết phương trình BC, biết diện tích
∆ABC =24 và x>0.
*Tìm tòi lời giải:
Để viết được phương trình BC ta phải xác định được tọa độ B. D là điểm đối xứng của
C qua phân giác trong của góc A thì D∈AB và D xác định được tọa độ.
A∈AD⇒A(a; 5-a). Để xác định được a ta phải giải quyết được phương trình với ẩn a?
Từ đó hướng các em về tính chất vuông góc tại A. Tìm được tọa độ A dẫn tới có
phương trình đường thẳng AD. Dùng tính chất B∈AD và diện tích tam giác ta tìm
được B.
*Lời giải:
+D là điểm đối xứng với C qua đường phân giác trong của góc A ⇒D(4;9)
+A∈phân giác góc A⇒A(a;5-a);
. 0CA DA =
uuuuruuuur
⇒A(4;1)⇒AC=8
+Phương trình AD: x=4⇒B(4;b)
+Diện tích ∆ABC =24 ⇒AB=6 ⇒
5
7
b
b



Tọa độ C(-1;3). Phương trình AC: y=3
Tộ độ A(-5;3). Phương trình AB:
4 7 1 0x y+ − =
.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;5) , đường
phân giác trong góc BAC có phương trình x – 1 = 0 . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác I(
3
;0)
2
−
, M(10;2)
∈
BC .Tìm tọa độ B , C .
*Tìm tòi lời giải :
Với giả thiết ta viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chỉ cần
viết được phương trình BC . Đường phân giác trong của góc A có tác dụng gì ? Từ đó
nếu gọi D là giao của đường phân giác với đường tròn thì cung BD = cung DC , suy ra
DI vuông góc với BC . Đến đây đường thẳng BC xác định được véctơ pháp tuyến
DI
uuur
.
Lời giải :
14
+Ta chứng minh D là trung điểm của cung BC , suy ra DI vuông góc với BC.
+Phương trình đường tròn (O) :
2 2
3 125
( )
2 4

Bài 3.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC đường cao AH, phác BD của
góc ABC lần lượt có phương trình:
1
( ): 2 2 0d x y− − =
;
2
( ): 1 0d x y− − =
; M(0;2)∈AB
và AB=2BC. Tìm tọa độ A,B,C ?
Bài 4.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có AC>AB, C(6;0) và hai đường
thẳng d:
3 10 0x y− − =
và d’:
3 3 16 0x y+ − =
trong đó (d) là phân giác trong của góc A,
(d’)⊥AC. (d), (d’) và trung trực BC đồng quy tại 1 điểm. Tìm tọa độ B.
(ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 5.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, M(0;-1). Phương trình đường
phân giác trong của góc A là:
0x y− =
. Phương trình đường cao kẻ từ C là:
2 3 0x y+ + =
.Đường AC đi qua M và AB=2AM. Tìm B,C ?
(Trường Amsterdam-Hà Nội)
Giải pháp 2: Khai thác điều kiện của hai đường thẳng vuông góc.
+Nếu
a

BM ta có thể dùng phương pháp hình phẳng thông thường hoặc
dùng phương pháp véc tơ hay phương pháp tọa độ. Chúng tôi đưa ra phương pháp tọa
độ như sau :
Chọn hệ trục tọa độ với gốc là I, IC là trục hoành, IA là trục tung. I(0;0) A(0;a), B
( ;0)c−
C(c;0). Phương trình CD là ax+2cy - ac =0; BH là 2cx – ay +2c
2
= 0
⇒
tọa độ
điểm H(
2 3 2
2 2 2 2
4 4
; )
4 4
a c c ac
a c a c
−
+ +
, M(
2 2
2 2 2 2
2
; )
4 4
a c ac
a c a c+ +
.
Tính được :

(Trích đề thi thử lần 3- 2013 K2pi.net )
Tìm tòi lời giải :
Từ giả thiết, xét mối quan hệ ba điểm B, M, K dựa vào hình vẽ ta phán đoán BM
vuông góc MK ? Nếu đúng thì ta tìm được tọa độ B. Tìm được tọa độ B là bài toán
được giải xong.
Lời giải :
Chứng minh BM
⊥
MK : Gọi N là trung điểm AB
⇒
MN là đường trung bình của tam
giác ABH
⇒
MN
⊥
AC. Vậy M thuộc đường tròn (C) đường kính MN
⇒
BM vuông
góc MK (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính BK).
Đường thẳng MK có phương trình : 2x – 9y = 0.Vì BM
⊥
MK
⇒
BM có phương trình
là : 9x +2y – 17 = 0. Tọa độ B(1;4), C thuộc : x – y – 5 = 0 và
.BC KC
uuuruuur
= 0. Do đó
C(9;4) vì hoành độ C > 4.
Nhận xét : Tại sao ta hướng về mối quan hệ ba điểm B, M,K ? Thực tế là M và K đề

*Lời giải:
+Chứng minh AM⊥BN.
Cách 1: Hướng dẫn các em chứng minh tam giác vuông ABM bằng tam giác vuông
BCN.
Cách 2: Hướng dẫn các em chứng minh
. 0AM BN =
uuuuur
uuuur
+
12 16
( ; )
5 5
AI
−
=
uuur
; B(2b-6; b)⇒
32 14
( 2 ; )
5 5
BI b b= − −
uuur
;
. 0AI BI =
uuur
uuur
⇔b=4⇒B(2;4)
+Phương trình BC:
2 0x y− =
⇒C(c;2c). Do BC=AB⇒c=0 hoặc c=4. Vậy C(0;0)

. 0MC NC =
uuuuuruuuur
và
. 0AC MN =
uuuur
uuuuur
ta có C(1;-1) hoặc C(3;3).
Khi C(1;-1)⇒B(-2;-2) và D(2;4) hoặc B(2;-4) và D(-2;-2).
Khi C(3;3)⇒B(5;-3) và D(-3;1) hoặc B(-3;1) và D(5;-3).
Ví dụ 10.
20
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC,
3 1
( ; )
2 2
N
−
là điểm trên cạnh AC sao cho
1
.
4
AN AC=
Xác định các đỉnh hình vuông,
biết đường thẳng DM có phương trình:
1 0x − =
.
*Tìm tòi lời giải:
Bằng trực giác các em có thể phán đoán về sự vuông góc của MN với MD. Nếu có
tính chất vuông góc đó cũng chưa đủ để giải quyết được tọa độ của hai điểm liên quan
là M và D. Dự đoán tam giác MND còn cân tại N. Đến đây ta sẽ tìm được D và M.

Khi d=3⇒ D(1;3)⇒M(1;-2) và A(-3;1); B(-1;-3); C(3;-1).
21
*Nhận xét:
Nút thắt của bài toán là nhận thấy được ∆DNM là tam giác vuông cân tại N. Lý do tại
sao học sinh có thể phát hiện được điều đó? Chúng ta phải hướng cho các em thấy
được giả thiết tập trung vào 3 điểm đó là N,D và M. Vậy mối quan hệ 3 điểm này như
thế nào? Từ hình vẽ giúp cho các em có dự đoán về tam giác vuông cân DNM. Để học
sinh hứng thú hơn và hiểu bài sâu sắc hơn ta có thể yêu cầu các em dùng các cách
khác nhau như vectơ, tọa độ để chứng minh ∆DNM vuông cân.
Đối với học sinh giỏi, cho các em nghiên cứu bài toán trong hình phẳng sau:
“Cho hình vuông ABCD, M∈BC và N∈AC sao cho
,BM mBC AN nAC= =
uuuur uuuur uuuur
uuuuur
. Chứng
minh rằng:
2 2 2
1
cos
(1 ) 1. (1 )
mn n
NMD
m n n
+ −
=
− + − +
Bài toán vừa giải quyết là một trường hợp đăc biệt của bài toán tổng quát vừa nêu.
Ví dụ 11.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B có
BC=2AD. Điểm

28 4
( ; )
5 5
AH =
uuuuur
và
. 0 (3; 1)MH AH M= ⇔ −
uuuuur
uuuuur
+Lập phương trình D:
3 8 0x y+ − =
+Tìm tọa độ D.
D(8-3d; d). Do
. 0 ( 1;3)AD MD D= ⇒ −
uuuur
uuuuur
+Tìm tọa độ C.
Do
(5;1) (1; 3)AD MC C B= ⇒ ⇒ −
uuuur uuuuur
*Nhận xét:
Qúa trình dẫn dắt các em để phát hiện được điểm then chốt là tìm được điểm M. Để
giải quyết được điều đó các em phải xoay quanh mối quan hệ 3 điểm là A,H,M.
Ví dụ 12.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy,cho hình thang cân ABCD có góc A và D là hai góc
vuông, CD là đáy lớn, góc BCD bằng
0
45
. Đường thẳng AD có phương trình
3 0x y− =

cos os( ; ) 45
2
ADB c AD DB ADB= = ⇒ =
+Chứng minh ∆DBC vuông cân tại B
Do góc BDC= góc BCD =
0
45
⇒∆DBC vuông cân tại B.
+Tính độ dài DB. Từ diên tích ABCD =15 và AB=AD=2DC ta tính được BD=
2 5
⇒B(4;2)
+Do D(0;0) vậy BC qua B và nhận
DB
uuuur
làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình BC:
2 10 0x y+ − =
.
Bài tập luyện tập :
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(-1;3), B
thuộc đường thẳng có phương trình : x- 2y – 1 = 0. M và N lần lượt là trung điểm của
BC và CD. I(
7 1
; )
5 5
−
là giao điểm của AM và BN.Tìm tọa độ C.
ĐS : C(5;5) ; C(1;-3)
24
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dộ Oxy, cho hình chử nhật ABCD có đỉnh B
thuộc đường thẳng có phương trình :