Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
PHN I: T VN
Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT
chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thờng ngại làm
những bài tập dạng này. Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình
học thì trớc hết phải làm cho học sinh thấy đợc một số bài toán cực trị hình
học thực chất là những bài toán hình học phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến
cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập phức tạp trừu tợng khó giải
quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai
thác hình chiếu của điểm trên đờng thẳng để giải một số bài toán cực trị hình
học.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đ-
ờng thẳng đã mở ra các hớng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực
trị có liên quan đến khoảng cách. Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn
khác vễ các bài toán cực trị hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả
năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính chất hình học vào giải toán. Quy các
bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách giải.
PHN II: giải quyết VN
1. Thc trng vn .
Khi gp cỏc bi toỏn v cực trị hình học học sinh thờng lúng túng trong h-
ớng giải quyết và ngại học phần này.
2. Phng phỏp nghiờn cu.
ti ó s dng phng phỏp phõn tớch v tng hp.
3. i tng.
ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi i hc cho hc sinh lp 12 trng
THPT Ba ỡnh.
4. Cỏch thc thc hin.
thc hin ti ny, tụi phõn thnh hai dng bi tp tng ng vi các
hớng vận dụng của hình chiếu của điểm trên đờng thẳng.
5. Ni dung.
A. C S Lí THUYT
1.Cho đờng thẳng


.
Đó là hai hớng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M;

)

MA.
2. Phơng pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đờng thẳng
Cho đờng thẳng

và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên

. Điểm H đợc
xác định nh sau:
Cách 1:
. +Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua M và vuông góc với

.
+Toạ độ giao điểm của đờng thẳng d và

chính là điểm H cần tìm.
Cách 2:
+Gọi toạ độ điểm H(x;y). Do H


nên toạ độ H biểu thị theo một biến x.
+Do HM


nên

0
) có độ dài nhỏ nhất.
Ph ơng pháp : Chọn điểm I sao cho
0=+ IBbIAa
suy ra điểm I cố định.
Ta có
MIbaIBMIbIAMIaMBbMAau )()()( +=+++=+=

MIbau +=
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm
I trên đờng thẳng

.

2
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng

: x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0). Tìm toạ
độ điểm M thuộc đờng thẳng

sao cho vectơ
MBMAu +=
có độ dài nhỏ
nhất.
Giải


=
=




=
=+
2
1
2
3
02
01
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
2
1
;
2
3
(

là điểm cần tìm.

3
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ phơng trình:







=
=




=+
=+
5
43
5
19
012
0212
y
x
yx
yx

Chọn điểm I sao cho
02 =++ ICIBIA

điểm I cố định.
Ta có :
MIMCMBMAu 42 =++=
MIu 4=
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I
trên đờng thẳng

.
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n
)1, > nN
và đờng thẳng

. Tìm điểm M thuộc

sao cho vectơ
)0(

.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do
M thuộc

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó
u
là biểu
thức bậc hai theo biến đó. Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất của
u
và toạ độ của

4
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
điểm M. Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn
cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt
tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán.
*Các bài tập tơng tự.
Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3). Tìm các điểm M, N, E, F sao
cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

MBMAu 52 =

NCNBNAu 32 +=

EDECEBEAu +++=

FDFCFBFAu 243 ++=
2.Bài toán 2: Cho đờng thẳng

và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đờng

Suy ra :
+)Nếu a+ b > 0 thì biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm
M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
+)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm
M là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng

: 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2). Tìm toạ
độ điểm M thuộc đờng thẳng

sao cho biểu thức
22
2 MBMAX +=
đạt giá
trị nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =+ IBIA

I(
3
4
;
3
4




=
=




=+
=
5
7
5
6
042
012
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
5
7
;
5
6
(

3
2
13
0213
023








=

=




=++
=+
y
x
yx
yx
Vậy M
)
2
3

0=++ IMIGIA

I(2;1) (I là trọng tâm tam giác
AGM).
Ta có :
2222222
3 IMIGIAPIPMPGPAX +++=++=
.
Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài
PI nhỏ nhất hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đờng thẳng

là:
09520)1(5)2(2 =+=+ yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ:








=
=


2
, , A
n
(n
)1, > nN
và đờng thẳng

.
Tìm điểm M thuộc

sao cho biểu thức
2
1
2
11
MAaMAaX
n
++=
đạtgiá trị
nhỏ nhất (nếu
0
1
>

=
n
i
i
a
), đạt giá trị lớn nhất (nếu

.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do
M thuộc

nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó X là biểu
thức bậc hai theo biến đó. Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X

7
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán,
dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức
tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo
cho học sinh khi giải toán.
*Các bài tập tơng tự.
Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2). Tìm các điểm M, N, E,
F sao cho các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a.
22
1
2MBMAX +=
b.
222
2
23 NDNCNBX +=
c.
2222
3
32 EDECEBEAX +++=
Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2). Tìm các điểm I, K, F
sao cho các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M =

AB
.

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với

Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng

.
Ta có MA= A
1
M

MA+ MB = MA
1
+ MB
BA
1

.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng A
1
B khi
M=
BA
1

1
M

MA + MB = MA
1
+ MB
BA
1

. Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A
1
B
khi M =
BA
1
.
Phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đờng thẳng

là:
4(x-1) + 3(y-2) = 0

4x + 3y - 10 = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đờng thẳng

là nghiệm của hệ :
)
25
34
;
25

Do H là trung điểm của AA
1
nên A
1
(
25
18
;
25
49
).
Phơng trình đờng thẳng A
1
B là: 9x - 37y + 9 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=

=





Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Gọi O
1
là điểm đối xứng với O qua đờng thẳng d. Ta có MO= MO
1


MA+
MO = MO
1
+ MA
AO
1

. Suy ra MA + MO nhỏ nhất bằng O
1
A khi M =
dAO
1
.
Phơng trình đờng thẳng d
1
đi qua điểm O và vuông góc với đờng thẳng d là:
x + y = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm O trên đờng thẳng d là nghiệm của hệ :

)2;2()1;1(
1
1
02


=

=




=+
=+
3
4
3
2
02
022
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
3
4
;
3
2
) là điểm cần tìm.
*Các bài tập tơng tự.
Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0).


10
A
B
M

.
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với

gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng

.
Ta có MA = A
1
M

BAMBMAMBMA
11
=
.
Suy ra
MBMA
lớn nhất bằng A
1
B khi M =
BA
1




=
=




=
=+
y
x
yx
yx
Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đờng thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3). Tìm điểm M
thuộc đờng thẳng d sao cho
MBMA
lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d
Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng d. Ta có MA = A
1
M

BAMBMAMBMA
11

nên A
1
(
5
12
;
5
1
).
Phơng trình đờng thẳng A
1
B là: 3x + y- 3 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

11
A
B
M

A
1
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012









lớn nhất
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng CD sao cho
NBNA
nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1). Gọi H, K lần lợt là chân đờng
cao, chân đờng phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC.
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng AC sao cho
MKMH
lớn nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đờng thẳng BI sao cho
NKNH
lớn nhất.
DạngII: Viết phơng trình đờng thẳng
1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua điểm
A sao cho khoảng cách từ B đến

là lớn nhất.
Ph ơng pháp :
Gọi H là hình chiếu của B trên

.
Ta có:
ABBHBd =);(

Suy ra
);( Bd
lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
A trùng với H hay đờng thẳng

B

H
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Vậy đờng thẳng

: 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu.
Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đờng thẳng
m

: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0
và điểm A(2;3).
a.Chứng minh rằng
m

luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng
m

là lớn nhất.
Giải
a.Giả sử
m

luôn đi qua điểm cố định M(x
o
;y
o
) với mọi m.
Khi đó: (m-2)x

x
yx
yx
myxmyx
.
Vậy
m

luôn đi qua điểm cố định M(1;-3) với mọi m.
b.Gọi H là hình chiếu của A trên
m


Ta có :
AMAHAd
m
= );(

Suy ra
);(
m
Ad
lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay
m
AM
Lại có
)6;1(=AM
,
m



đi qua A luôn
cắt (c) tại hai điểm phân biệt.

13
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Đờng tròn (c) có tâm I(
)1;
2
9
, bán kính R=
2
107
Gọi H là trung điểm của MN thì
MNIH
. Ta có MN= 2MH= 2
22
IHR
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất.
Mà
IAIH

nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay
IH

.
Suy ra phơng trình đờng thẳng

là : 7x - 2y + 7 = 0.
Vậy đờng thẳng

) lớn nhất.
Ph ơng pháp :
Xét hai trờng hợp:
+)Nếu B, C nằm về hai phía so với

.
Gọi M = BC

.
Ta có : d(B;

)+ d(C;

)
BCCMBM =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC

.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với

.
Gọi N là trung điểm của BC.
Suy ra: d(B;

)+ d(C;

)=
NANd 2);(2
.


.Gọi M=BC

.

d(B;

)+ d(C;

)
BCCMBM =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC

.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với

.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(3;4)

d(B;

)+ d(C;

)=
NANd 2);(2
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA

.

Giải:
Xét hai trờng hợp:
+Nếu B, C nằm về hai phía so với

.Gọi M=BC

.

d(B;

)+ d(C;

)
BCCMBM =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC

.
+Nếu B, C nằm về một phía so với

.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(5;6)

d(B;

)+ d(C;

)=
NANd 2);(2
.

15
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
Giải:
Chọn hai điểm N
1
, P
1
sao cho:
MPMPMNMN 3,2
11
==
.


N
1
(-3;2), P
1
(5;9).
Ta có d(N
1
;

)= 2d(N;

), d(P
1
;

) = 3d(P;

+Nếu N
1
, P
1
nằm về hai phía so với

.
Gọi I = N
1
P
1

.

d(N
1
;

)+ d(P
1
;

)
1111
PNNPIN =+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N
1
P
1

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi JA

.
Ta có N
1
P
1
=
113
, AJ=
2
137


N
1
P
1
< 2AJ.
Suy ra d(N
1
;

)+d(P
1
;

) lớn nhất khi và chỉ khi AJ


,
Suy ra: ad(B;

)+ bd(C;

)= d(B
1
;

)+ d(C
1
;

)

16
M
P
P
1
N
N
1

I
M
P
P
1
N

đi qua điểm M sao cho biểu thức
d(N;
1

)+ 2d(P;
1

) đạt giá trị lớn nhất.
b,Viết phơng trình đờng thẳng
2

đi qua điểm A sao cho biểu thức 2d(N;
2

)+
5(P;
2

) đạt giá trị lớn nhất.

17
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
PHN III: KT QU NGHIấN CU V BI HC KINH NGHIM
1. Kt qu nghiờn cu.
kim tra hiu qu ca ti tôi tin hnh kim tra trên hai đối tợng có chất
lợng tơng đơng là lớp 1OH và 1OG. Trong đó lớp 10G cha đợc giới thiệu cách
khai thác tính chất hình chiếu của điểm trên đờng thẳng với hình thức kiểm tra
là làm bài 45 phút với câu hỏi nh nhau.
KIM TRA (45)
Bài 1(5điểm): Cho tam giác ABC với A(0;-2), B(-3;2), C(4;1). Gọi M là trung

18
Sỏng kin kinh nghim -Mai th Nhung-THPT Ba ỡnh -Nm hc 2011-2012
3.Kt lun
Sử dụng tính chất hình chiếu của điểm trên đờng thẳng để giải quyết một số
bài toán cực trị hình học là một hớng giải quyết tạo đợc hứng thú cho học
sinh, giúp các em thấy đợc sự vận dụng đơn giản nhng rất hiệu quả của tính
chất hình học trong giải toán cực trị.
Sau khi thc hin sỏng kin ny trờn cỏc bui ụn tập cho học sinh lớp 10 và
ôn thi i hc ti lp 10H, 12D trng THPT Ba ỡnh ó cho kt qu tt. Hc
sinh cú th s dng linh hoạt tính chất hình học để giải quyết một số bài toán
về cực trị. Các em thấy yêu thích phần toán cực trị hơn vì đã nhận thấy đợc nét
đẹp của nó, sự khai thác rất đơn giản dễ vận dụng.
Từ hớng khai thác trong hình học phẳng tôi sẽ áp dụng tính chất hình chiếu
của điểm trên đờng thẳng, hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trong một số
bài toán cực trị trong hình học không gian.
Tuy nhiờn do thi gian cú hn nờn trong phm vi bi vit ny tụi cng ch
mi gii quyt mt s dng toỏn. Mong cỏc bn ng nghip úng gúp ý kin
cú mt cỏch khai thỏc tt nhất cỏc bi toỏn thuc th loi ny.
Tụi xin chõn thnh cm n!
Nga Sn, ngy 26 thỏng 4 nm 2012
Tác giả
Mai Thị Nhung

19