Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT
chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường ngại làm
những bài tập dạng này. Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình
học thì trước hết phải làm cho học sinh thấy được một số bài toán cực trị hình
học thực chất là những bài toán hình học phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến
cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập phức tạp trừu tượng khó
giải quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai
thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị
hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm
trên đường thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài
toán cực trị có liên quan đến khoảng cách. Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách
nhìn khác vễ các bài toán cực trị hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng
khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính chất hình học vào giải toán. Quy
các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách giải.
PHẦN II: giải quyết VẤN ĐỀ
1. Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong
hướng giải quyết và ngại học phần này.
2. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp.
3. Đối tượng.
ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường
THPT Ba Đình.
4. Cách thức thực hiện.
Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành hai dạng bài tập tương ứng với các
hướng vận dụng của hình chiếu của điểm trên đường thẳng.
5. Nội dung.
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho đường thẳng

.
Đó là hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M;
∆
)
≤
MA.
2. Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng
Cho đường thẳng
∆
và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên
∆
. Điểm H
được xác định như sau:
Cách 1:
. +Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
∆
.
+Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và
∆
chính là điểm H cần tìm.
Cách 2:
+Gọi toạ độ điểm H(x;y). Do H
∈
∆
nên toạ độ H biểu thị theo một biến x.
+Do HM
⊥
∆
nên
0. =uMH

) có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp: Chọn điểm I sao cho
0=+ IBbIAa
suy ra điểm I cố định.
Ta có
MIbaIBMIbIAMIaMBbMAau )()()( +=+++=+=

MIbau +=⇒
.

2
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm
I trên đường thẳng
∆
.
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
∆
: x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0). Tìm toạ
độ điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho vectơ
MBMAu +=
có độ dài nhỏ
nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho

=
⇒



=−−
=−+
2
1
2
3
02
01
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
2
1
;
2
3
(
−
là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
∆

∆
là nghiệm của hệ phương
trình:







=
=
⇒



=+−
=−+
5
43
5
19
012
0212
y
x
yx
yx
.
Vậy M

⇒
điểm I cố định.
Ta có :
MIMCMBMAu 42 =++=
MIu 4=⇒
.

u
nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I
trên đường thẳng
∆
.
Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :
Bài toán tổng quát:
Cho n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n
)1, >∈ nN
và đường thẳng
∆
. Tìm điểm M thuộc
∆
sao cho vectơ
)0(
1
11

4
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do
M thuộc
∆
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó
u
là biểu
thức bậc hai theo biến đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của
u
và toạ độ
của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót
còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về
mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán.
*Các bài tập tương tự.
Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3). Tìm các điểm M, N, E, F sao
cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

MBMAu 52 −=

NCNBNAu 32 +−=

EDECEBEAu +++=

FDFCFBFAu 243 ++−=
2.Bài toán 2: Cho đường thẳng
∆
và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc
đường thẳng
∆

điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
+)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm
M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Ví dụ minh hoạ:

5
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
∆
: 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2). Tìm
toạ độ điểm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho biểu thức
22
2 MBMAX +=
đạt
giá trị nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho
02 =+ IBIA
⇒
I(
3
4
;
3


=
=
⇒



=−+
=−−
5
7
5
6
042
012
y
x
yx
yx
.
Vậy M
)
5
7
;
5
6
(
là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2). Tìm

2
3
2
13
0213
023







−
=
−
=
⇒



=++
=+−
y
x
yx
yx
Vậy M
)
2

I(2;1) (I là trọng tâm tam giác
AGM).
Ta có :
2222222
3 IMIGIAPIPMPGPAX +++=++=
.
Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài
PI nhỏ nhất hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng
∆
là:
09520)1(5)2(2 =−+⇒=−+− yxyx
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ:








=
=
⇒



n
(n
)1, >∈ nN
và đường thẳng
∆
.

7
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
Tìm điểm M thuộc
∆
sao cho biểu thức
2
1
2
11
MAaMAaX
n
++=
đạtgiá trị
nhỏ nhất (nếu
0
1
>
∑
=
n
i
i
a

n
.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do
M thuộc
∆
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó X là biểu
thức bậc hai theo biến đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của
X và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính
toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không
phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi
sáng tạo cho học sinh khi giải toán.
*Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2). Tìm các điểm M, N, E,
F sao cho các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a.
22
1
2MBMAX +=
b.
222
2
23 NDNCNBX +−=
c.
2222
3
32 EDECEBEAX +++=
Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2). Tìm các điểm I, K, F
sao cho các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
a.
22

Phương pháp:
+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với
∆
thì MA+ MB
AB≥
.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M =
∆∩AB
.

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với
∆
Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Ta có MA= A
1
M
⇒
MA+ MB = MA
1
+ MB
BA
1
≥
.
Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng A
1

. Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A
1
B
khi M =
∆∩BA
1
.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng
∆
là: 4(x-1) + 3(y-2) = 0
⇒
4x + 3y - 10 = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng
∆
là nghiệm của hệ :
)
25
34
;
25
37
(
25
34
25
37
0143
01034
H
y

).
Phương trình đường thẳng A
1
B là: 9x - 37y + 9 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

9
1
A
A
M
B
∆
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012








=
−
=
⇒



=+−

1

⇒
MA+
MO = MO
1
+ MA
AO
1
≥
. Suy ra MA + MO nhỏ nhất bằng O
1
A khi M =
dAO ∩
1
.
Phương trình đường thẳng d
1
đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d
là: x + y = 0
Toạ độ hình chiếu H của điểm O trên đường thẳng d là nghiệm của hệ :

)2;2()1;1(
1
1
02
0
1
−=⇒−⇒


⇒



=+−
=−+
3
4
3
2
02
022
y
x
yx
yx
.
Vậy M(
3
4
;
3
2−
) là điểm cần tìm.
*Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0).
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị
nhỏ nhất.

10

gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Ta có MA = A
1
M
⇒
BAMBMAMBMA
11
≤−=−
.
Suy ra
MBMA −
lớn nhất bằng A
1
B khi M =
∆∩BA
1
.
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)
Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đường thẳng
∆
: 2x- y- 1 = 0.
Tìm toạ độ điểm N trên
∆
sao cho
NQNP −

=+−
y
x
yx
yx
Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm.

11
A
B
M
∆
.
A
B
M
∆
A
1
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3). Tìm điểm
M thuộc đường thẳng d sao cho
MBMA −
lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d
Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d. Ta có MA = A
1

u
là một vectơ chỉ phương của d)
Do H là trung điểm của AA
1
nên A
1
(
5
12
;
5
1
).
Phương trình đường thẳng A
1
B là: 3x + y- 3 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :








=
=
⇒



cao, chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A và đỉnh C, I là trung điểm của AC.
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AC sao cho
MKMH −
lớn nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng BI sao cho
NKNH −
lớn nhất.
DạngII: Viết phương trình đường thẳng
1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
điểm A sao cho khoảng cách từ B đến
∆
là lớn nhất.

12
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
Phương pháp:
Gọi H là hình chiếu của B trên
∆
.
Ta có:
ABBHBd ≤=∆);(

Suy ra
);( ∆Bd
lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
A trùng với H hay đường thẳng
∆
đi qua A

∆
: (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0
và điểm A(2;3).
a.Chứng minh rằng
m
∆
luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
m
∆
là lớn nhất.
Giải
a.Giả sử
m
∆
luôn đi qua điểm cố định M(x
o
;y
o
) với mọi m.
Khi đó: (m-2)x
o
+ (m-1)y
o
+ 2m-1= 0
m∀





b.Gọi H là hình chiếu của A trên
m
∆

Ta có :
AMAHAd
m
≤=∆ );( 13
A
B
∆
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
Suy ra
);(
m
Ad ∆
lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay
m
AM ∆⊥
Lại có
)6;1(−=AM
,
m
∆
có vectơ chỉ phương
)2;1( −−= mmu
.

Đường tròn (c) có tâm I(
)1;
2
9−
, bán kính R=
2
107
Gọi H là trung điểm của MN thì
MNIH ⊥
. Ta có MN= 2MH= 2
22
IHR −
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất.
Mà
IAIH ≤
nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay
IH⊥∆
.
Suy ra phương trình đường thẳng
∆
là : 7x - 2y + 7 = 0.
Vậy đường thẳng
∆
cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0.
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp
hơn nhưng bản chất vẫn là bài toán 1 như ví dụ 3. Sự thay đổi như vậy làm
cho học sinh linh hoạt hơn, tư duy sáng tạo hơn.
* Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho đường thẳng
m

.
Gọi M = BC
∆∩
.
Ta có : d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+)Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.
Gọi N là trung điểm của BC.
Suy ra: d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)=
NANd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
∆⊥
.
So sánh giá trị của BC và 2NA suy ra đường thẳng
∆

toạ độ N(3;4)
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)=
NANd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
∆⊥
.
Ta có BC=
116
, 2NA=
132
. Suy ra d(B;
∆
)+ d(C;
∆
) lớn nhất bằng
116
khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
Phương trình đường thẳng
∆
là : 5(x-1)+ 2(y-1)= 0
⇒
5x+ 2y- 7= 0

⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)
BCCMBM =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC
∆⊥
.
+Nếu B, C nằm về một phía so với
∆
.Gọi N là trung điểm của BC,
toạ độ N(5;6)
⇒
d(B;
∆
)+ d(C;
∆
)=
NANd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA
∆⊥
.
Ta có BC=
80
, AN=
45

11
==
.

⇒
N
1
(-3;2), P
1
(5;9).
Ta có d(N
1
;
∆
)= 2d(N;
∆
), d(P
1
;
∆
) = 3d(P;
∆
)
Suy ra 2d(N;
∆
)+ 3d(P;
∆
)= d(N
1
;

P
1
∆∩
.
⇒
d(N
1
;
∆
)+ d(P
1
;
∆
)
1111
PNNPIN =+≤
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N
1
P
1
∆⊥
.
+Nếu N
1
, P
1
nằm về một phía so với
∆
.

d(N
1
;
∆
)+ d(P
1
;
∆
)
≤

JAJd 2);(2 ≤∆
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi JA
∆⊥
.
Ta có N
1
P
1
=
113
, AJ=
2
137

⇒
N
1
P

∆
)+ bd(C;
∆
) đạt giá tri lớn nhất (a > 0, b > 0).
Hướng dẫn:
Chọn hai điểm B
1
, C
1
thỏa mãn :
ACbACABaAB ==
11
,
Suy ra: ad(B;
∆
)+ bd(C;
∆
)= d(B
1
;
∆
)+ d(C
1
;
∆
)
Bài toán trở thành: viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A sao cho biểu
thức d(B

2
∆
đi qua điểm A sao cho biểu thức 2d(N;
2
∆
)+ 5(P;
2
∆
) đạt giá trị lớn nhất.

17
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIấN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Kết quả nghiờn cứu.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có
chất lượng tương đương là lớp 1OH và 1OG. Trong đó lớp 10G chưa được
giới thiệu cách khai thác tính chất hình chiếu của điểm trên đường thẳng với
hình thức kiểm tra là làm bài 45 phút với câu hỏi như nhau.
ĐỀ KIỂM TRA (45’)
Bài 1(5điểm): Cho tam giác ABC với A(0;-2), B(-3;2), C(4;1). Gọi M là trung
điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm P trên
đường thẳng BC sao cho biểu thức
22
3PMPGX +=
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2(5điểm): Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(2;5), C(-7;1).

18
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
1.Tính diện tích của tam giác ABC.

Học sinh cú thể sử dụng linh hoạt tính chất hình học để giải quyết một số bài
toán về cực trị. Các em thấy yêu thích phần toán cực trị hơn vì đã nhận thấy
được nét đẹp của nó, sự khai thác rất đơn giản dễ vận dụng.

19
Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012
Từ hướng khai thác trong hình học phẳng tôi sẽ áp dụng tính chất hình chiếu
của điểm trên đường thẳng, hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trong một số
bài toán cực trị trong hình học không gian.
Tuy nhiờn do thời gian cú hạn nờn trong phạm vi bài viết này tụi cũng chỉ
mới giải quyết một số dạng toỏn. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến
để có một cách khai thác tốt nhất cỏc bài toỏn thuộc thể loại này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nga Sơn, ngày 26 thỏng 4 năm 2012
Tác giả
Mai Thị Nhung

20