SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC HÌNH
CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC"

1


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT chính vì vậy
trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường ngại làm những bài tập dạng này.
Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình học thì trước hết phải làm cho học
sinh thấy được một số bài toán cực trị hình học thực chất là những bài toán hình học
phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập
phức tạp trừu tượng khó giải quyết. Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học
sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực
trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm trên đường
thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quan
đến khoảng cách. Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trị
hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính
chất hình học vào giải toán. Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách
giải.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong hướng giải
quyết và ngại học phần này.
2. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp.
3. Đối tượng.

+Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và ∆ chính là điểm H cần tìm.
Cách 2:
+Gọi toạ độ điểm H(x;y). Do H∈ ∆ nên toạ độ H biểu thị theo một biến x.
+Do HM ⊥ ∆ nên MH .u = 0 ( u là một vectơ chỉ phương của ∆ ).
Suy ra toạ độ điểm H.
B. Một số dạng toán cơ bản
Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đường thẳng có nhiều bài toán cực trị về
hình học phẳng đã được giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinh
hứng thú hơn trong học tập. Giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh .
Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong sách giáo
khoa và sách bài tập. Mức độ bài tập được nâng dần lên, quy lạ thành quen và có sự tổng
quát hóa bài toán sau mỗi dạng toán. Các dạng toán được phân chia sao cho học sinh dễ
tiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai hướng khai thác cơ bản từ tính chất d(M; ∆ )
≤ MA.
Dạng 1: Tìm toạ độ điểm.
1.Bài toán 1: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆
sao cho vectơ u = a MA + b MB (a+b ≠ 0 ) có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IA + b IB = 0 suy ra điểm I cố định.
3


Ta có u = a MA + b MB = a ( MI + IA) + b( MI + IB) = (a + b) MI

⇒ u = a + b MI .
u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên

đường thẳng ∆ .
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0). Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng ∆ sao cho vectơ u = MA + MB có độ dài nhỏ nhất.

Vậy M ( ;

Ví dụ 2: Cho đường thẳng ∆ : 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4). Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng ∆ sao cho vectơ u = 2 MA − 3MB có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho 2 IA − 3IB = 0 ⇒ I(5;8)
4


Ta có : u = 2 MA − 3MB = 2( MI + IA) − 3( MI + IB) = − MI ⇒ u = MI .
u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường

thẳng ∆ .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng ∆ là:
5)+2(y-8)=0 ⇒ x + 2 y − 21 = 0

(x-

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ phương trình:
 19
x=
 x + 2 y − 21 = 0 
5
⇒
.

2 x − y + 1 = 0
 y = 43

5


Nếu a1= a2=...= an thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2,..., An.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do M thuộc ∆
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó u là biểu thức bậc hai theo biến
đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của u và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên cách này đôi
khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và
trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải
toán.
*Các bài tập tương tự.
Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3). Tìm các điểm M, N, E, F sao cho các
vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:
u = 2 MA − 5MB

u = 2 NA − NB + 3 NC
u = EA + EB + EC + ED
u = 3FA − 4 FB + FC + 2 FD
2.Bài toán 2: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆
sao cho biểu thức :
X = aMA 2 + bMB 2 ( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất.
X = aMA 2 + bMB 2 ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IA + b IB = 0 suy ra điểm I cố định.
2

2

Ta có: X = a MA + b MB = a ( MI + IA) 2 + b( MI + IB) 2
2

2

1( x − ) + 2( y − ) = 0 ⇒ x + 2 y − 4 = 0
3
3
Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ :
6

x
=

2 x − y − 1 = 0
5
⇒
.

x + 2 y − 4 = 0  y = 7

5
6 7
5 5

Vậy M ( ; ) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2). Tìm toạ độ điểm
N thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức Y = MA 2 − 2MB 2 đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Chọn điểm I sao cho IA − 2 IB = 0 ⇒ I(-8;3)
Ta có : Y = MA 2 − 2MB 2 = − MI 2 + IA 2 − 2 IB 2 .
Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất
hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng ∆ là:


xét biểu thức X = a1 MA + a2 MB + a3 MC và cũng câu hỏi như trên.
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3). Gọi M là trung điểm của AB, G
là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểu
thức X = PA 2 + PG 2 + PM 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Ta có M(2;0), G(3;1)
Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0
Chọn điểm I sao cho IA + IG + IM = 0 ⇒ I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM).
Ta có : X = PA 2 + PG 2 + PM 2 = 3PI 2 + IA 2 + IG 2 + IM 2 .
Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài PI nhỏ nhất
hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng ∆ là:

2( x − 2) + 5( y − 1) = 0 ⇒ 2 x + 5 y − 9 = 0

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng ∆ là nghiệm của hệ:
 113
 x = 29
2 x + 5 y − 9 = 0
⇒
.

5
x
−
2
y
−
19
=


∑ ai > 0 ), đạt giá trị lớn nhất (nếu ∑ ai < 0 ).
Hướng dẫn: Cách tìm điểm M như bài toán 1 với chọn điểm I sao cho
a1 IA1 + ... + an IAn = 0.

Nếu a1= a2 =...= an thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2,..., An.
Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do M thuộc ∆
nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến. Do đó X là biểu thức bậc hai theo biến
đó. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của X và toạ độ của điểm M. Tuy nhiên
cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ
tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả
năng tìm tòi sáng tạo cho học sinh khi giải toán.
*Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2). Tìm các điểm M, N, E, F sao cho
các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
2
2
a. X 1 = MA + 2MB
2
2
2
b. X 2 = 3 NB − NC + 2 ND
2
2
2
2
c. X 3 = EA + 2 EB + 3EC + ED

Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2). Tìm các điểm I, K, F sao cho các
biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:


thì MA+ MB ≥ AB .

B

Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M = AB ∩ ∆ .
+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với ∆
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆ .

B

A

Ta có MA= A1M
⇒ MA+ MB = MA1+ MB ≥ A1 B .

Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng A1B khi

A1

M

∆

M= A1 B ∩ ∆ .
Ví dụ minh hoa:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : 3x- 4y+1= 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0).
Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm cùng phía đối với ∆ . Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua

49 18
; ).
25 25

Phương trình đường thẳng A1B là: 9x - 37y + 9 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :
−1

x
=
9 x − 37 y + 9 = 0 
75
⇒
.

6
3 x − 4 y + 1 = 0
y =

25

Vậy M(

−1 6
; ) là điểm cần tìm.
75 25

Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đường thẳngd: x - y + 2 = 0 và điểm A(2;0).
Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải


Vậy M(

−2 4
; ) là điểm cần tìm.
3 3
11


*Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0).
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0). Gọi H là trực tâm của tam giác
a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ
nhất.
b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏ
nhất.
4.Bài toán 4: Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B. Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆
sao cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất.
B

Phương pháp:
+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với ∆
thì MA − MB ≤ AB .
Suy ra MA − MB lớn nhất bằng AB

∆

A


Phương trình đường thẳng PQ là: 5x- 2y + 7 = 0.
Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

5 x − 2 y + 7 = 0
 x = −9
⇔
.


2
x
−
y
−
1
=
0
y
=
−
19


Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = 0 và điểm A(1;2), B(0;3). Tìm điểm M thuộc
đường thẳng d sao cho MA − MB lớn nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía đối với d
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d. Ta có MA = A 1M


3
3 11
AH .u d = 0 ⇒ x = ⇒ H ( ; ). ( u d = (1;2) là một vectơ chỉ phương của d)
5
5 5
1 12
).
5 5

Do H là trung điểm của AA1 nên A1( ;

Phương trình đường thẳng A1B là: 3x + y- 3 = 0
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

2

x
=
2 x − y + 1 = 0 
5
⇒
.

3
x
+
y
−
3


B

Gọi H là hình chiếu của B trên ∆ .
Ta có: d ( B; ∆) = BH ≤ AB
Suy ra d ( B; ∆) lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi
A trùng với H hay đường thẳng ∆ đi qua A

A

∆

và vuông góc với AB.
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A
sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất.
Giải
Gọi H là hình chiếu của B trên ∆ .
Ta có: d ( B; ∆) = BH ≤ AB
Suy ra d ( B; ∆) lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi A trùng với H hay đường thẳng ∆ đi qua
A và vuông góc với AB.
⇒ Phương trình đường thẳng ∆ là: 2x - y = 0.

Vậy đường thẳng ∆ : 2x - y = 0 thoả mãn yêu cầu.
Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đường thẳng ∆ m : (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = 0
và điểm A(2;3).
a.Chứng minh rằng ∆ m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ m là lớn nhất.
14


2

Ví dụ 3: Cho điểm A(-1;0) và đường tròn (c): ( ( x + ) 2 + ( y − 1) 2 =

107
.
4

Một đường thẳng ∆ thay đổi đi qua A cắt đường tròn (c) tại M, N. Hãy viết phương trình
của ∆ sao cho đoạn thẳng MN ngắn nhất.
Giải
Nhận thấy điểm A nằm trong đường tròn (c) nên đường thẳng ∆ đi qua A luôn cắt (c) tại
hai điểm phân biệt.
Đường tròn (c) có tâm I(

−9
107
;1) , bán kính R=
2
2

Gọi H là trung điểm của MN thì IH ⊥ MN . Ta có MN= 2MH= 2 R 2 − IH 2
Do đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất.
Mà IH ≤ IA nên IH lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với A hay ∆ ⊥ IH .
Suy ra phương trình đường thẳng ∆ là : 7x - 2y + 7 = 0.
15


Vậy đường thẳng ∆ cần tìm là :7x - 2y + 7 = 0.
Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể thay đổi cách hỏi để làm bài toán phức tạp hơn nhưng

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC ⊥ ∆ .
+)Nếu B, C nằm về một phía so với ∆ .
Gọi N là trung điểm của BC.

N

B

C

Suy ra: d(B; ∆ )+ d(C; ∆ )= 2d ( N ; ∆) ≤ 2 NA .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NA ⊥ ∆ .

∆

So sánh giá trị của BC và 2NA suy ra đường thẳng ∆ cần tìm.
Ví dụ minh hoạ:

16


Ví dụ 1: Cho ba điểm A(1;1), B(-2;2), C(8;6). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
điểm A sao cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn nhất.
Giải:
Xét hai trường hợp:
+)Nếu B, C nằm về hai phía so với ∆ .Gọi M=BC ∩ ∆ .

⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) ≤ BM + CM = BC .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi BC ⊥ ∆ .
+)Nếu B, C nằm về một phía so với ∆ .Gọi N là trung điểm của BC,

Giải:
Chọn hai điểm N1, P1 sao cho: MN1 = 2 MN , MP1 = 3MP .

⇒ N1(-3;2), P1(5;9).

P1

Ta có d(N1; ∆ )= 2d(N; ∆ ), d(P1; ∆ ) = 3d(P; ∆ )
Suy ra 2d(N; ∆ )+ 3d(P; ∆ )= d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ).

P

Do đó 2d(N; ∆ )+ 3d(P; ∆ ) lớn nhất khi và chỉ khi
d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) lớn nhất.

M

I

Xét hai trường hợp:

∆

N

+Nếu N1, P1 nằm về hai phía so với ∆ .

N1

Gọi I = N1P1 ∩ ∆ .


Suy ra d(N1; ∆ )+d(P1; ∆ ) lớn nhất khi và chỉ khi AJ ⊥ ∆ .
Phương trình đường thẳng ∆ là : 4(x+1) + 11(y-0) = 0 ⇒ 4x + 11y + 4 = 0

18


Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là : 4x+11y+ 4 = 0.
Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải quyết. Cách trình bày đơn giản
về tình toán, phát huy tính sáng tạo trong tư duy.
Các bài toán dạng này còn có thể giải quyết bằng cách biến đổi đưa về tìm giá trị lớn nhất
của hàm số.
*)Bài toán tổng quát:
Cho 3 điểm A, B, C. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho biểu thức ad(B;
∆ )+ bd(C; ∆ ) đạt giá tri lớn nhất (a > 0, b > 0).
Hướng dẫn:
Chọn hai điểm B1, C1 thỏa mãn : AB1 = a AB, AC1 = b AC
Suy ra: ad(B; ∆ )+ bd(C; ∆ )= d(B1; ∆ )+ d(C1; ∆ )
Bài toán trở thành: viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho biểu thức d(B 1; ∆ )+
d(C1; ∆ ) đạt giá tri lớn nhất(bài toán 1).
* Các bài tập tương tự.
Bài 1: Cho ba điểm M(2;-1), N(-2;0), P(5;-6). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua
điểm A sao cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn nhất.
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(-3;4), C(2;5). Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của AB, BC, AC.
a,Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua điểm M sao cho biểu thức
d(N; ∆1 )+ 2d(P; ∆1 ) đạt giá trị lớn nhất.
b,Viết phương trình đường thẳng ∆ 2 đi qua điểm A sao cho biểu thức 2d(N; ∆ 2 )+ 5(P; ∆ 2 )
đạt giá trị lớn nhất.


lượng

%

Số
lượng

%

Số
lượng

%

10H

50

5

10%

30

60%

15

30%


trị.
Sau khi thực hiện sỏng kiến này trờn cỏc buổi ụn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại
học tại lớp 10H, 12D trường THPT Ba Đỡnh đó cho kết quả tốt. Học sinh cú thể sử dụng
linh hoạt tính chất hình học để giải quyết một số bài toán về cực trị. Các em thấy yêu
thích phần toán cực trị hơn vì đã nhận thấy được nét đẹp của nó, sự khai thác rất đơn giản
dễ vận dụng.
Từ hướng khai thác trong hình học phẳng tôi sẽ áp dụng tính chất hình chiếu của điểm
trên đường thẳng, hình chiếu của điểm trên mặt phẳng trong một số bài toán cực trị trong
hình học không gian.
Tuy nhiờn do thời gian cú hạn nờn trong phạm vi bài viết này tụi cũng chỉ mới giải
quyết một số dạng toỏn. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có một cách khai
thác tốt nhất cỏc bài toỏn thuộc thể loại này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

21