SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ"

1


LỜI NÓI ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1.Cơ sở lý luận.
Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho học sinh không
chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ năng và phương pháp. Vì
vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng lí thuyết mà còn có trong bài tập
tương ứng. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ thông.
Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học
sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo. Hoạt động giải
toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán.
2. Cơ sở thực tại.
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông cho thấy năng lực giải Toán của
học sinh còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phương pháp dạy học chủ yếu dựa
trên quan điểm giáo viên là trung tâm của quá trình dạy học, trong đó giáo viên truyền
thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri thức của học sinh mang tính thụ động
cao. Phương pháp thuyết trình của giáo viên được sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng
hạn chế hoạt động tích cực của học sinh, việc sử dụng các phương pháp dạy học phát huy
tính tích cực, tự lực và sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình
huống thực tiễn chưa được chú trọng. Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế
hệ trẻ được đào tạo trong trường phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả năng
sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tình huống thực tiễn cuộc
sống.

3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
4. Phương pháp thống kê
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh các thao tác tư
duy trong dạy học giải bài tập toán Đại số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
IV. ỨNG DỤNG
Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong việc dạy
học.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu sót, hạn
chế. Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013.
Người viết

3


NỘI DUNG
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy tác dụng
giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bài toán. Trong quá
trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần
quan tâm tới lời giải của bài tập toán. Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu
cầu sau:
- Lời giải không có sai lầm. Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba
nguyên nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay
kết luận của định lý,...
+ Sai sót về phương pháp suy luận.


TRONG GIẢI

Vốn kiến thức
Toán học, kĩ năng
và kinh nghiệm
giải Toán

Nội dung và hình
thức của bài toán

Định hướng tìm tòi
lời giải bài tập

Hướng 1

Nhận thức
đề→Phân tích 1→
chọn lựa hoặc bỏ

Hướng 2

Nhận thức
đề→Phân tích 2→
chọn lựa hoặc bỏ

Hướng
thứ k

Nhận thức

3
2

(1)

- Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos

B+C
2

cos

B −C
2

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức
cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos
B+C
2

π

A

=2−2

⇒

cos


1 - 2sin2

⇔

4 sin2

A
2

- 4 sin

⇔

(2 sin

A
2

- cos

A
2

+ 2cos

A
2

cos



(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng.
Ví dụ 2.(Bài tập 4- Trang 79 SGK Đại số 10)
CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b ∈ R+ và a ≠ b.
Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a 3 + b3 suy ra nó lớn hơn a2b
+ ab2 là điều không dễ. Do đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh kết hợp với phép phân
tích để tìm lời giải:
6


a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2)

Ta có:

a2b +ab2 = ab(a + b)
Do đó: a3 + b3 > a2b +ab2

⇔

a2 - ab +b2> ab

⇔

(a –b)2 >0 (a ≠ b)

Trên cơ sở phân tích cùng với phép tổng hợp ta có lời giải:
Vì a, b ∈ R+ và a ≠ b nên a + b >0, (a –b)2 >0.
a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab +b2) = (a+b)[(a - b)2 + ab]


mA + nB
m+n

+ cos

mB + nC
m+n

+ cos

mC + nA
3
≤ ”
m+n
2

Việc chứng minh hết sức đơn giản, ta đặt

với m, n là các số nguyên dương.

mA + nB
mB + nC
=x,
m+n
m+n

=y,

mC + nA

;
=
;
=
= 3,
= 5,
=4
và
5 5 4 4 3
3
5.4
3.4
5.3

Như vậy bất đẳng thức có dạng tương tự bất đẳng thức quen thuộc
a2+ b2 +c2 ≥ ab+ bc+ ca.
Từ đó ta có lời giải như sau:
Áp dụng BĐT côsi cho 2 số ta có:
 12  x  15  x
 ÷ +  ÷ ≥ 2
 5   4 

x
x
 15   20 
 ÷ +  ÷ ≥ 2
 4   3 

x
x

Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều trên với nhau ta được:
x

x

x

 12   15   20 
x
x
x
 ÷ +  ÷ +  ÷ ≥3 + 4 + 5 , (∀ x ∈ R )
 5  4  3 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
x

x

x

 12   15   20 
 ÷ =  ÷ =  ÷ ⇔ x = 0.
 5  4  3 

Sau khi giải xong bài toán, giáo viên có thể cho học sinh khái quát hoá bài toán cùng
loại:“Cho a, b, c là các số dương tuỳ ý. CMR ∀ x ∈ R , ta có:
x

x

3
.
2

8


a, b, c > 0

Ví dụ 4. Cho a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất: S = a + b + b + c + c + a

Giải.
Dưới đây là sai lầm thường gặp của học sinh:

 a+b =



 b+c =


 c+a =


⇒

( a + b ) .1

Côsi


Nguyên nhân sai lầm
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2 trái với giả thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ là
1
2
a = b = c = , từ đó ta dự đoán Max S = 6 ⇒ a + b = b + c = c + a =
⇒ hằng số cần
3
3
2
nhân thêm là , đó chính là bước đặc biệt hoá bài toán. Vậy lời giải đúng là:
3


 a+b =



 b+c =



 c+a =



3
2 Côsi
. ( a + b) .

2

2
2 ( a + b + c ) + 3.
3
3 = 3 .2 = 6 .
⇒ a+b + b+c + c+a ≤
.
2
2
2
9


1
3

Vậy Max S = 6 khi a = b = c = .
Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh sẽ có định hướng tốt hơn: Cho
a, b, c > 0

a + b + c = 1

Chứng minh rằng: S = a + b + b + c + c + a ≤ 6 . Tuy nhiên nếu biết đặc

biệt hoá bài toán thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được.
4. Quy lạ về quen.
Ví dụ 5.(Dành cho lớp 10 - chương trình nâng cao)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y=

 x2 − 9 + 9 
x
6x 2
y≥
6(x − 3) ⇔ y ≥
= 6

x −3
x −3
x
−
3



10


9


⇔ y ≥ 6 x − 3 +
+ 6
x −3 


Đến đây, giáo viên có thể hỏi biểu thức cuối có quen thuộc không ? tương tự bất đẳng
1
a


β
=
+
k2
π


4
C = 2

(*)
đúng ∀α nên kết quả cần tìm là:  π
β
=
+
k2
π
,k
∈
Z


4

Kết quả trên không sai, vì với C và β như trên thì rõ ràng (1) nghiệm đúng với ∀α . Để
chỉ cho học sinh thấy rằng kết quả tìm được ở trên là chưa đầy đủ, giáo viên gợi cho các
em: “khi β = −
không?”

3π

  3π

 3π


− 2 sin  α − ÷ = 2 sin  − α ÷ = 2 sin  π −  − α ÷ = 2 sin α + π . Đến đây học
4
4 

 4


  4

sinh thấy được (*) chỉ là một trong các kết quả phải tìm. Giáo viên phân tích cho các em
biết rằng: bằng “trực giác” đối với (2) thì các em mới tìm thấy (*) là một điều kiện đủ
đối với C và β để (1) nghiệm đúng ∀α chứ chưa tìm được điều kiện cần và đủ đối với C
và β để (1) nghiệm đúng ∀α . Dựa vào (2), gợi cho học sinh phân tích để tìm lời giải của
bài
toán
như
sau:
1) điều kiện cần: Nếu (2) nghiệm đúng ∀α thì C và β phải là bao nhiêu?
+) (2) nghiệm đúng ∀α nên (2) nghiệm đúng khi α = −
α=

π
, tức là ta có hệ:
4



 
4
4


 C = − 2

(**)

+) Như vậy: Nếu (2) nghiệm đúng ∀α thì ta tìm được (**) nhưng chưa đảm bảo được là:
Với C và β thoả mãn (**) thì (2) có nghiệm đúng ∀α ? vì thế cần phải kiểm tra xem với
(**) thì (2) có nghiệm đúng ∀α hay không.
2) điều kiện đủ: Dễ dàng hướng dẫn học sinh chứng minh được với (**) thì (2) nghiệm
đúng ∀α . Việc giải bài toán cơ bản hoàn thành.
Ví dụ 7. CMR với a, b là 2 số không âm ta luôn có:
3a3 + 7b3 ≥ 9ab2

(1)

Giáo viên đưa ra cách giải:
Đặt M = 3a3 + 7b3 , biến đổi M = 3a 3 +3b3 + 4b3 rồi áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số
dương ta có:
M = 3a 3 +3b3 + 4b3 ≥ 3 3 3a 33b3 4b3 = 33 36ab2
Do 3 36 > 3 27 ⇒ 33 36 > 9 ⇒ M ≥ 9ab2 dấu “=” xảy ra khi a=b=0.
12


Việc đưa ra lời giải một cách đột ngột như vậy là không tốt về mặt sư phạm. Học sinh
không hiểu rằng, căn cứ vào đâu mà thầy giáo lại áp dụng bất đẳng thức cô-si trong khi

13


Ví dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
90

5
(1 − x)2 + m 90 1 − x 2 + (m + )90 (1 + x)2 = 0
4

(1)

Hình thức của bài toán dễ tạo ra những sự “ngợp”, nên gây cho học sinh khó khăn trong
việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán. Giáo viên gợi học sinh phân
tích tìm mối liên hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán để tìm tòi lời giải.
Xác định điều kiện của phương trình? (1 - x2 ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1).
Quan sát bài toán em nhận ra mối liên hệ nào không?(1 - x2 = (1 + x)(1 - x))
Các hạng tử 90 (1 − x)2 ,
việc phân tích đó không?

90

1 − x2 ,

90

(1 + x)2 , có thể có mối liên hệ nào thông qua

Mong muốn học sinh lập luận: với x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 1. Ta có:
90


Mong muốn học sinh trả lời:
Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2. Phương pháp giải có thể kiểm tra
Y = 0 có là nghiệm hay không? Rồi sau đó xét Y ≠ 0 và chia cả 2 vế cho Y 2, đặt:

t=

X
Y

thì

chuyển phương trình trên về phương trình bậc hai:
5

t2 + mt + (m + 4 ) = 0.
Tổng hợp các kết quả phân tích ở trên. Em hãy đề xuất phương pháp giải phương trình
(1)?.
+) Kiểm tra

90

(1 + x)2 = 0 ⇔ x = - 1 có là nghiệm hay không?

+) Chia cả hai vế phương trình cho

90

(1 + x)2 , được:


= 0 (3)
÷
4
1− x 

+) Để phương trình (1) có nghiệm thì (3) có nghiệm thỏa mãn t ≥ 0.
Sau khi hoàn thành ví dụ trên, giáo viên có thể khắc sâu cho học sinh trong việc
nhận dạng phương trình dạng: aX2 + bXY + cY2 = 0.
Qua ví dụ trên ta thấy rằng nếu không phân tích, phát hiện được mối quan hệ đặc biệt trên
thì bài toán rất khó khăn; học sinh cảm thấy lúng túng. Thực tế có rất nhiều bài toán như
vậy nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng này là rất cần thiết.
Trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán nào đó, học sinh không chỉ nhìn bài
toán từ một góc độ mà phải xem xét bài toán đó theo quan điểm toàn diện, không chấp
nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất
Ví dụ 9. Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện:
0 ≤ x; y; z ≤ 2 (1)

 x + y + z = 3 (2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= x2 + y2 + z2

(3)

Giải: Cách giải 1(Cho lớp 10 chương trình nâng cao)
Từ (2) ⇒ 9 = (x + y + z) 2 ⇒ 9 = (1.x + 1.y + 1.z) 2
⇒ 9 ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ min T = 3 , khi x=y=z=1.

Cách giải 2(Cho lớp 9 và lớp 10)
+) (2) và (3) có tính chất: “x, y,z có vai trò như nhau” gợi cho ta: “có khả năng T nhỏ
nhất khi x=y=z=1” ta thử khai thác theo hướng này xem sao!

2
4 4

f(x) là tổng của 2 số dương, gợi ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức cô-si:
f ( x ) = x 2 − x + 1 + x 2 + x + 1 ≥ 2 4 x 4 + x 2 + 1 ≥ 2.
x2 + x +1 = x 2 - x +1
⇔x=0
Dấu đẳng thức xẩy ra khi:  4 2
x + x +1 = 1

Suy ra f(x)

≥2

khi x=0 (đpcm).
x2 + x + 1 ;

Liên tưởng các biểu thức
3.

x2 − x + 1 là các độ dài đoạn thẳng ta có lời giải

Lời giải 3:
Ta đã biết: AB =

(

x −x
2 1


3
2

)2

Khi đó hàm số biến đổi về dạng:
2

2

2
2
1  
3
1 
3


f ( x) =  x − (− )  +  0 −
+
x
−
+
0
−
÷
÷

÷ 
2  

“CMR: MA+MB có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi M trùng O”.
Từ hình vẽ, ta suy ra:

y

MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B,
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ≡ O

3
2

A

B

⇔ x = 0.

Vậy, Min f(x) = A’B =2OB= 2 khi x = 0.
M

−

1
2

0

1
2


y = x −1 + x − 3 + x − 5

b) Tìm một điểm trên trục số sao cho tổng khoảng cách từ đó tới 3 điểm A, B, C
có toạ độ tương ứng là 1,3,5 là nhỏ nhất.
Câu II: Cho phương trình:
x3 +

1
1
= m(x + ) (1)
3
x
x

Tìm m để phương trình có nghiệm?
Câu III: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3. Từ đó, xác định m để phương
trình x2 - 4x + 3 = m có nghiệm x ∈ [1; +

∞ ).

b) Nêu phương pháp giải bài toán:
“Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = m (m là tham số; a, b, c là các hằng số cho trước
và a ≠ 0 ) có nghiệm x ∈ D”.
Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra này dành
cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng. Xin được phân tích
rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học
sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng
thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của học
sinh. Cả ba câu trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra

60 %

6

13,3%

ĐC

45

6

13,3
%

55,6%

14

31,1
%

Số
Tỷ lệ
lượng

Số
Tỷ lệ
lượng


2.Đối với Sở giáo dục và đào tạo.
Nên giới thiệu phổ biến về các trường phổ thông các sáng kiến kinh nghiệm có
chất lượng để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế.

20