SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC"

1


PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .
Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi đại
học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được những dạng phương trình
lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự giải quyết tốt khi gặp các phương
trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải
phương trình lượng giác là một việc làm cần thiết. Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Rèn
luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác”
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận của vấn đề
a) Phương trình lượng giác cơ bản:
+) sinx= m
Với

m ≤ 1 và

x = α + k 2π
⇔ 
x = π − α + k 2π

(k ∈ z ).

sin α =m (có thể lấy α = arcsinm).

≠0

).

Viết: d= d(sin2x+ cos2x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx
và cosx.
+) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0

2


Đặt: t= sinx+ cosx=
⇒ sin x cos x =

2 sin( x +

t 2 −1
⇒
2

π
π
) = 2 cos( x − )
4
4

(đk:

t ≤ 2)


phương trình lượng giác
đưa về phương trình tích

Biến đổi
tổng
thành
tích

Biến đổi
tích
thành
tổng

Phương pháp giải phương
trình lượng giác: Đại số
hóa bằng cách đặt ẩn phụ

Phương trình
bậc 1, bậc 2
đối với các
hàm số lượng
giác

Phương
trình bậc 1
đối với sinx
và cosx

Phương pháp giải
phương trình

số các ví dụ và các bài tập áp dụng, các ví dụ này chủ yếu trong các đề thi đại học, đề thi
học sinh giỏi các năm gần đây và một số bài tập tương tự. Sau đây là một số phương pháp
giải phương trình lượng giác
1.Phương pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình lượng giác đã
biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng các công thức lượng
giác như các công thức hạ bậc, góc nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích
thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải.
Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) .Giải phương trình
x
2

x
2

(sin +cos )2 +

3 cosx

=2

(1a)

Giải:
Phương trình (1a) tương đương với :
cos 2

x
x
+ sin 2
2

2

π
 π π

x
−
=
+
k
2
π
x
=
+ k 2π


6 3
2
⇔ 
⇔ 
 x − π = − π + k 2π
 x = − π + k 2π


6
6
3

=

sin2xcosx +

3 cos3x

=2- cos2xsinx

(3a)

Giải:
Phương trình (3a) tương đương với :
4


1
2
⇔

(sin3x +sinx ) +

3 cos3x

sin3x +

2

⇔ cos(

3 cos3x=

π


3
cos3x
2

π

x = 18 -

x=

- sinx)

π
18

-

=1

k 2π
3

k 2π
3

(k∈ z)
(k∈ z)

Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005). Giải phương trình:

cos 4 x = 1
⇔

x=

kπ
2

Vậy phương trình có nghiệm là: x=

(k∈ z).
kπ
2

(k∈ z).

Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003).
Giải phương trình:

x π
(2 − 3 ) cos x − 2 sin 2 ( − )
2 4 =1
2 cos x − 1

(5a)

Giải
Đk: cosx ≠

1


sinx =

3 )cosx
3 )cosx

π

- 1+ cos(x- 2 ) = 2cosx - 1
- 1+ sinx = 2 cosx -- 1
3 cosx

3 cosx ⇔

+ sinx = 2 cosx - 1
tanx =

3 ⇔ x=

π
+ k π ( k∈ z ).
3

Kết hợp với điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=

π
3

+(2k’+ 1) π

⇔

2

2

cos2x + ( 4 2

sin2x - (4 +

2 )sinx
2)

2 sinx

-2-

-2-

2=

2

=0

0

sinx + 2 = 0 (*)

π


x=

5π
+ k 2π
6

(k∈ z).

Giải phương trình.

(1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0.

(7a)

Giải.
Phương trình(7a) tương đương với:
1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= 0

6


⇔

cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx
1

⇔

5

2
5

sin α cos2x+ cos α sin2x= sin α sin2x- cos α cosx

⇔ sin(2 x + α ) = − cos(α + x) ⇔ sin(2 x + α ) = sin( x + α −

⇔

π

2 x + α = x + α − 2 + k 2π

2 x + α = π − x − α + π + k 2π
2


⇔

π

Vậy phương trình có nghiệm là: x=- 2

π
)
2

π

 x = − 2 + k 2π

4.(Đại học khối D- 2009).

3 cos5x

2
sin 2 x

- 2 sin3x cos2x -sinx= 0

5.(Đại học khối A - 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 π ) của phương trình :
5( sinx +

cos 3x + sin 3 x
)
1 + 2 sin 2 x

= cos2x +3
π

π

3

6.(Đại học khối D - 2005) . cos4x +sin4x +cos(x- 4 ) .sin(3x- 4 ) - 2 = 0
7.

4sin

2


2. Phương pháp2: Phương pháp đặt ẩn phụ.

7


Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương trình
đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x);
t= sinu(x)+ cosu(x)....( Chú ý đk ẩn phụ). Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương
trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như:
t=

2x
,
3

t=

π x
+ ...
6 2

).

Ví dụ 1. Giải phương trình :
3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b).
Giải.
Phương trình ( 2b) tương đương với:
(2b/ )

3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0


1
⇒
2

⇔

2

2t +3t+ 1 = 0

sinx + cosx = -1 ⇔
1
2

=

t = −1
⇔
(t / m )
t = − 1

2
2 sin(

π

x = − + k 2π
π



π
)
4

1

= -2

−π
1
+ arcsin(−
) + k 2π
4
2 2
3π
1
− arcsin(−
) + k 2π
4
2 2

Vậy phương trình có các nghiệm là:
π
2

x=- +k2 π , x= π +k2 π , x=

1
1


2t3- 3t2+ 4t- 3= 0

+ 2t= 3

+) Với t= 1

⇔

tanx= 1

⇔x=

⇔

t= 1.

π
+ kπ
4

(k ∈ z )

Vậy phương trình có nghiệm là: x=

π
+ kπ
4

(k ∈ z )

t2- t+ 6= 6t

t = 6
⇔
t = 1

4sinx+ 3cosx+ 1= 6

⇔

4sinx+ 3cosx= 5

⇔

3
4
cos x + sin x = 1 ⇔ sin α cos x + cos α sin x = 1
5
5

(sin α = 5 , cos α = 5 )

⇔

π
sin(x+ α ) = 1 ⇔ x + α = 2

π
+ k 2π
2

x=- α +

π
+ k 2π ,
2

x=- α + kπ (k∈ z )

Giải phương trình:
sin3x - 6 sin2xcosx + 11sinxcos2x - 6 cos3x =0

(4b)

Giải:
+) Nếu cosx = 0

⇒

π
2

x= +k π (k∈ z)
±1

Phương trình trở thành :

= 0 vô lý . Vậy cosx ≠ 0 .

Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos3x


t = 3

⇔

⇒
⇒

( t- 1)( t2 - 5t +6) =0

x=

π
+k π
4

(k ∈ z)

x= α + l π

(l ∈ z , tan α =2)

+)Với t =2

⇒

tanx = 2

+)Với t= 3

⇒

6
6
2

10


π
sin( 2t + ) = cos t − 1 ⇔ 2 cos 2 t − cot = 0
2
 π
cos t = 0
t = 2 + kπ
⇔
1⇒
cos t =
t = ± π + kπ

2

3
π

+) t= 2

+ kπ ⇒ x −

π π
2π
= + kπ ⇒ x =


x=

2π
π
−π
+ kπ , x = + k 2π , x =
+ k 2π (k ∈ z ).
3
2
6

Ví dụ6 (HSGT-2009)
Giải phương trình: sin(3x −

π
π
) = sin 2 x.sin( x + )
4
4

Giải.

π
.Phương trình đã cho trở thành:
4
π
sin(3t − π ) = sin( 2t − ) sin t ⇔ − sin 3t = − cos 2t sin t
2
sin t = 0

3

1. (HVQHQT- 2000) . cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
2. ( Đại học dự bị khối B- 2004). 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
3. (ĐHGTVT - 2001) . sin4x + sin4( x+

π
4

) + sin4(x -

π
4

9
8

)= .

4. (ĐHQGNH - 2000) . 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
5. 2sin3x + 4 cos3x = 3sinx
π
3

6. 8 cos3( x+ ) = cos3x
7. 4cos3x +3
8.

3 sin 2



x
)cos 2

Bài 2: Cho phương trình:
cos6x + sin6x = msin2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3:

Cho phương trình :
(2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x

a) Giải phương trình khi m=1
≤ x ≤π

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả mãn:

Bài 4:

Cho phương trình .
m(sinx+ cosx) +1+

1
(tanx
2

a) Giải phương trình khi m=

+cotx+

đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác để tạo các biến thức chung.
Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả:
+) cos2x = 1 -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx)
+) sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx)
+) cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx)
+) 1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2
+) 1- sin2x = 1- 2 sinxcosx =(sinx-cosx) 2
Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008). Giải phương trình :
2sinx( 1 + cos2x)+sin2x = 1+2cosx

(3a)

Giải.
Phương trình (3a) tương đương với:
2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx
⇔

4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ 2 cosx

⇔

2 sinxcosx ( 1+ 2cosx) = 1 + 2cosx

⇔

(1 + 2 cosx) (2 sinxcosx - 1) = 0

2π

 x = 3 + k 2π

2π
3

+k2 π ,

π

x= 4 +k π ( k∈ z)

Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình:
sin23x - cos24x = sin25x - cos26x

(3b)

13


Giải.
Phương trình (3b) tương đương với:
sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x
⇔

1 − cos 6 x
2

+

1 + cos12 x
2


=
k

9
9 x = kπ

 x = −3x + k 2π ⇔  x = k π
(k∈ z).


2
 x = π + 3 x + k 2π 
π
 x = kπ +
2


Vậy các nghiệm của phương trình là:

x=

kπ
9

, x=

kπ ∈
(k z).
2



1=

cos x − sin x
sin x
cos x − sin x
sin x

cos 2 x − sin 2 x
1 + tan x

=

+ sin2x -

1
2sinxcosx
2

cos x[ (cos x − sin x)(cos x + sin x)]
cos x + sin x

- sinx(cosx- sinx)

= cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx)

14


⇔

+ sin2x = 0

sin2x + cos2x = 3 (vô nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình là: x=

π
+ kπ
4

(k ∈ z)

Ví dụ 4: (ĐHQG--HN-99). Giải phương trình.
cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x)

(3d)

Giải.
Phương trình (3d) tương đương với:
2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 0
⇔

cos6x ( 2 cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = 0

⇔

cos6x .cos2x - sin6x .cos2x = 0

⇔


4

1
sin22x)
4

=0

π

+ k 2 ( k∈ z)

π

π

x = 4 + k 2 (k∈ z).
Giải phương trình:

1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x sin 2 x
1 + cot 2 x

(3e)

Giải.
ĐK: x ≠ k π

( k ∈ z)




2
4
⇔
⇔ 
⇔ 
(m, k ∈ z ) .
π
π
cos
x
+
sin
x
=
2



sin( x + ) =1
x = + 2mπ






4


cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= 0

⇔

(cos2x+ cosx)(sinx-1) = 0

π
2π

x
=
+
k

cos 2 x = − cos x
3
3
⇔
⇔
sin x = 1
 x = π + k 2π

2
Vậy các nghiệm của phương trình là:
Ví dụ7 (HSGT-2010).

x=

π
π


1

sin
3
x
=

2

 cos 3x = cos( π − x)

2

⇔

⇔


x

x


x


x




+kπ

Vậy phương trình có nghiệm là:
x=

π
2π
+k
18
3

, x=

5π
2π
+k
18
3

,

x=

π
π
+k ,
8
2



=0

3.(Đại học khối D-2004) . (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx
4.(Đại học khối B - 2005) . 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5. (Đại học khối D - 2010). sin2x - cos2x + 3 sinx - cosx - 1 = 0
6. (Đại học khối A- 2007) . (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x
7. (Đại học khối B-2010). (sin2x + cos2x) cosx + 2 cos2x -sinx = 0
4. Phương pháp 4 : Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f(x)= g(x) (c).
 f ( x) = A

Trong đó f(x) ≥ A; g(x) ≤ A , suy ra (c) ⇔  g ( x) = A


+)Chú ý một số bất đẳng thức cơ bản:
-1 ≤ sinx
-1
Ví dụ 1.

≤

≤

cosx

≤

1



(4a)

Giải.
Phương trình (4a) tương đương với:
cos2x + cos
Do: cos2x ≤ 1; cos
⇒ cos2x

+

3x
cos 4

=2

3x
4

=2

3x
≤
4

1

⇒

cos2x + cos

Phuwowng trình đã cho tương đương với:

π k 2π

x
=
+

sin 5 x = 1
π
10
5
⇔
⇒ x = + t 2π .

2
sin 3 x = −1
 x = − π + k 2π

6
3
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
Ví dụ 3.

π
2

+ t 2π

(k∈ z).


Nên sin2x

≥

sin2012x

cos2x

và

Do đó : sin2012x + cos2012x

≤

≥

cos2012x

sin2x + cos2x =1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
sin 2 x = 0
 2010
x =1
sin 2 x(1 − sin 2010 x) = 0
sin

⇔
⇔


(4a)

Giải.
Ta có: cos2x + sin2x =

2 sin(

2x +

cos2x( 1- cos3x )

≥

0 (vì -1

sin2x ( 1 -cos3x )

≥

0 ( vì - 1

Nên : cos5x + sin5x

≤

≤

π
)≤

cox = 1

cos 2 x + sin 2 x = 2
cos 2 x + sin 2 x = 2

5

5

Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm .
Ví dụ 5.

Giải phương trình:
cos3x +

Giải:

2 − cos 2 3 x

=2 (1+sin22x)

(4b)
19


Ta có:

2(1+ sin22x)
1.cos3x+ 1.


 cos 3x = 1

π

x =k


2
⇔
2
x = l π

3


Vậy nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 6:

⇔ x=2n π (n ∈ z).

(k,l ∈ z)

x= 2n π ( n∈ z)

(ĐH Y Thái Bình) . Giải phương trình:
sin2x +

sin 2 3x
3 sin 4 x



( sinx -

Do (sinx -

= sinx.sin23x

1
sin23x)2
2

+

1
sin23x)2 ≥
2

⇔ (sinx-

1
sin23x.cos23x
4

1
2
2
sin
3x)
2


hệ

sau:

1

2
sin x − sin 3 x = 0
2

2
2

sin 3 x. cos 3 x = 0

kπ


2
sin
3
x
=
0
sin
3
x
=
0
x

⇔
x
=
+t 2π ( k , t , m ∈z )

1

sin
x
=
6



2
5π


x=
+t 2π



6



kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm là:
π
6


cos8x + sin10x = 1

3)

sinnx +cosnx = 1 (n ≥ 2, n∈ z)

4)

sinnx + cosmx =1 (m,n ≥ 2, m,n ∈ z)

5)

(cos2x - sin4x)2 = 6 + 2sin3x

6)

sin3x + cos3x = 2- sin4x

7)

sinx +

2 − sin 2 x

+ sinx

2 − sin 2 x

(ĐHAN -97)

3 (2đ).

5 (2đ) . 2cos(2x-

3π
5

π

) = 3sin(x+ 5 ) + 5.

Kết quả thu được như sau:

Điểm < 5
Lớp

Sĩ số

Điểm ∈[5; 8)

Điểm ≥ 8

Số
lượng

%

Số
lượng



17

36,2%

2

4,2%

22


PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm ra
những cơ sở lý thuyết, biết phát huy và sáng tạo cái mới và hướng dẫn học sinh vận dụng
một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh
củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực hành giải toán một cách hiệu quả
hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ động và sự sáng tạo trong việc học
của học sinh
Qua đề tài này tôi thu được một số bài học :
-Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ , cô đọng.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã rút ra và áp dụng trong quá trình dạy học
nhằm ngày càng giúp ích được nhiều hơn trong học tập môn toán của học sinh. Tuy
nhiên còn nhiều vấn đề cần hoàn thiện, rất mong được tiếp thu những ý kiến đóng góp
của các đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nhằm hoàn thiện đề tài tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

23