1

LỜI NÓI ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1.Cơ sở lý luận.
Trong nhà trƣờng phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho
học sinh không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí, qui tắc mà còn cả các kĩ
năng và phƣơng pháp. Vì vậy, hệ thống tri thức đó không chỉ có trong bài giảng
lí thuyết mà còn có trong bài tập tƣơng ứng. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt
trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông. Các bài toán là phƣơng tiện có hiệu quả
không thể thay thế đƣợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển
tƣ duy, hình thành kỹ năng và kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực
hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán.
2. Cơ sở thực tại.
Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Toán ở trƣờng phổ thông cho thấy năng lực
giải Toán của học sinh còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu đó là: Phƣơng pháp
dạy học chủ yếu dựa trên quan điểm giáo viên là trung tâm của quá trình dạy
học, trong đó giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri
thức của học sinh mang tính thụ động cao. Phƣơng pháp thuyết trình của giáo
viên đƣợc sử dụng quá nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực của
học sinh, việc sử dụng các phƣơng pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực và
sáng tạo ở mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với các tình huống thực tiễn
chƣa đƣợc chú trọng. Những nguyên nhân trên dẫn đến thực trạng là thế hệ trẻ
đƣợc đào tạo trong trƣờng phổ thông mang tính thụ động cao, hạn chế khả năng
sáng tạo và năng lực vận dụng tri thức đã học để giải quyết các tình huống thực
tiễn cuộc sống.
Rèn luyện thao tác tƣ duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò
quan trọng trong việc phát triển khả năng tƣ duy của học sinh, để từ đó có khả
năng thích ứng khi đứng trƣớc một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy
đƣợc mỗi lời giải bài toán nhƣ là một quá trình suy luận, tƣ duy của học sinh mà
2


II. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, sách báo.
2. Phƣơng pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và
việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập SGK.
3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
4. Phƣơng pháp thống kê
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh
các thao tác tƣ duy trong dạy học giải bài tập toán Đại số nhằm bồi dƣỡng năng
lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán ở
trƣờng phổ thông.
IV. ỨNG DỤNG
Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong
việc dạy học.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhƣng các vấn đề đƣa ra ít nhiều còn thiếu
sót, hạn chế. Mong đƣợc sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013.
Ngƣời viết Nguyễn Ngọc Đô
4

5

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đƣợc những gợi ý
trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài
toán. Tuy nhiên để đạt đƣợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả
các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải đƣợc tự mình áp dụng vào hoạt động
giải Toán của mình.
MỘT SỐ THAO TÁC TƢ DUY PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT
TRONG GIẢI TOÁN

II.GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƢ DUY QUA GIẢI TOÁN.
1.Phân tích và tổng hợp.
Do vậy việc rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh qua việc giải bài
tập nhất thiết phải đƣợc tiến hành thông qua sự phân loại học sinh. Không có
một cách “rèn luyện” nào phù hợp cho mọi đối tƣợng, thậm chí có những quá
trình phân tích-tổng hợp khi giải một bài tập là rất kết quả đối với học sinh này
nhƣng lại “vô nghĩa” với học sinh khác. Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tƣợng, nghiên
cứu kĩ bài tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ một bài tập trƣớc
khi hƣớng dẫn cho học sinh quá trình phân tích-tổng hợp khi giải bài tập toán là
rất quan trọng. Dƣới đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cosA + cosB + cosC
2
3

(1)
- Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos
2
BC
cos
2
BC

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức
cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos
2
ab
cos
2

- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:
(1)

1 - 2sin
2

2
A
+ 2cos
2
BC
cos
2
BC

3
2



4 sin
2

2
A
- 4 sin
2
A
cos
2


R
+
và a

b.
7

Nếu chỉ dùng phép tổng hợp để giải, suy nghĩ làm sao để từ a
3
+ b
3
suy ra
nó lớn hơn a
2
b + ab
2
là điều không dễ. Do đó giáo viên có thể hƣớng dẫn học
sinh kết hợp với phép phân tích để tìm lời giải:
Ta có: a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab +b
2
)
a
2

2
>0.
a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab +b
2
) = (a+b)[(a - b)
2
+ ab]
= (a+b)(a - b)
2
+ (a+b)ab> (a+b)ab = a
2
b +ab
2
. (ĐPCM)
2. Khái quát hoá và trừu tƣợng hoá. Trở lại ví dụ 1, từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam

mA nB
mn


=x,
mB nC
mn


=y,
mC nA
mn


=z
Thì x, y, z cũng là 3 góc của tam giác nào đó, suy ra điều phải chứng minh.
Khái quát hoá
Khái quát hóa từ cái riêng
lẻ đến cái tổng quát
Khái quát hoá từ cái tổng
quát đến cái tổng quát hơn
Khái quát hoá tới cái
tổng quát đã biết
Khái quát hoá tới cái
tổng quát chƣa biết
8

Ví dụ 3. CMR
xR
ta có:

≥ ab+ bc+ ca.
Từ đó ta có lời giải nhƣ sau:
Áp dụng BĐT côsi cho 2 số ta có:
12 15 12.15
2 2.3 ,
5 4 5.4
15 20 15.20
2 2.5
4 3 4.3
20 12 20.12
2 2.4
3 5 3.5
x x x
x
x x x
x
x x x
x

     

  
     

     


     
  


x
     
   
     
     

Sau khi giải xong bài toán, giáo viên có thể cho học sinh khái quát hoá bài
toán cùng loại:“Cho a, b, c là các số dƣơng tuỳ ý. CMR
xR
, ta có:
x x x
xxx
ab bc ca
a b c
c a b
     
    
     
     
”
3. Đặc biệt hoá.
Những dạng đặc biệt hoá thƣờng gặp trong môn Toán có thể đƣợc xuất
phát từ việc xét dấu “=” của bất đẳng thức, hay dựa vào tính chất của các biến số
để dự đoán kết quả. Chẳng hạn, ở ví dụ 1 từ bài toán xuất phát: “CMR nếu A, B, C
9

là 3 góc của một tam giác thì: cosA + cosB + cosC
2
3


ôsi
ôsi
ôsi

2

2

2
1
.1
1
.1
1
.1
C
C
C
ab
a b a b
bc
b c b c
ca
c a c a







1
3
abc  
, từ đó ta dự đoán Max S =
6
 a + b = b + c = c + a =
2
3

hằng số cần nhân thêm là
2
3
, đó chính là bƣớc đặc biệt hoá bài toán. Vậy lời giải
đúng là:

 
 
 
 
 
 
ôsi
ôsi
ôsi
. .
. .
. .
2
3 2 3
3











  

  

  


 
.
2
2 3.
33
3
.2 6
2 2 2
abc
a b b c c a
  
       
.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
x
y x 6x 18
x3
  

với
x (3; )  

Khi tiếp nhận bài tập này, ngay cả những học sinh khá, giỏi ở lớp 10 cũng
khó “định hướng” đƣợc việc phân tích để tìm lời giải của bài toán. Vấn đề là
học sinh phải huy động vốn kiến thức đã có của mình nhƣ thế nào để “định
hướng” cho việc tìm lời giải. Ta có thể gợi cho các em:
+) Nếu sử dụng công cụ bất đẳng thức thì cái đích là việc tìm ra số không đổi m
sao cho
y m, x 3  
và phải chỉ ra đƣợc x
0
>3 để y(x
0
)=m. Với việc “gợi” nhƣ
vậy thì học sinh nhận thấy ngay rằng việc áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số
dƣơng:
x
a
x3


và

x 3 x 3 x 3


    

  

9
y 6 x 3 6
x3

    




11

Đến đây, giáo viên có thể hỏi biểu thức cuối có quen thuộc không ? tƣơng tự bất
đẳng thức nào
1
a
a

≥ 2
lại áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dƣơng
9

. Nhận thấy:
C2
k2
4





   


thì (2)
nghiệm đúng

nên kết quả cần tìm là:
C2
(*)
k2 ,k Z
4





    



Kết quả trên không sai, vì với C và  nhƣ trên thì rõ ràng (1) nghiệm đúng

4 4 4

  

     
             
     

     

.
Đến đây học sinh thấy đƣợc (*) chỉ là một trong các kết quả phải tìm. Giáo viên
phân tích cho các em biết rằng: bằng “trực giác” đối với (2) thì các em mới tìm
thấy (*) là một điều kiện đủ đối với C và  để (1) nghiệm đúng

chứ chƣa
tìm đƣợc điều kiện cần và đủ đối với C và  để (1) nghiệm đúng

. Dựa vào
(2), gợi cho học sinh phân tích để tìm lời giải của bài toán nhƣ sau:
1) điều kiện cần: Nếu (2) nghiệm đúng

thì C và

phải là bao nhiêu?
+) (2) nghiệm đúng

nên (2) nghiệm đúng khi
4


   





   





  


  
     














3
3 3 3 3 3 3 2
3
3a +3b +4b 3 3a 3b 4b = 3 36ab

13

Do
3 3 3
36 27 3 36 9    
2
M 9ab
dấu “=” xảy ra khi a=b=0.
Việc đƣa ra lời giải một cách đột ngột nhƣ vậy là không tốt về mặt sƣ
phạm. Học sinh không hiểu rằng, căn cứ vào đâu mà thầy giáo lại áp dụng bất
đẳng thức cô-si trong khi đó có rất nhiều bất đẳng thức khác?. Tại sao lại phân
tích 7b
3
thành tổng của 2 số hạng? có thể tách số hạng thứ nhất thành 2 số
hạng?
Vì vậy, tri thức mà học sinh lĩnh hội đƣợc sẽ là sự ghi nhớ một cách máy
móc. Để dạy cho học sinh bài toán trên, giáo viên cần làm sáng tỏ những thắc
mắc của học sinh bằng hệ thống các câu hỏi:
Điều kiện
a 0,b 0
gợi cho ta biết nên dùng bất đẳng thức nào? (dùng
bất đẳng thức cô-si).
Dùng bất đẳng thức cô-si theo chiều nào? vì sao?. (căn cứ vào chiều của
bất đẳng thức (1), VT


căn bậc 3 bắt buộc phải có biểu thức a
3
b
6
mà a
3
b
6
= a
3
b
3
b
3
; trên cơ sở đó ta đi
đến khẳng định: giữ nguyên 3a
3
, tách 7b
3
thành tổng của 2 số hạng).
Có thể tách M thành tổng của 3 số hạng nào?
(M = 3a
3
+

b
3
+ 6b
3
; M = 3a

3 3 3 2 2
3
3 3a b 6b =3 18ab <9ab
nên
không thoả mãn;

3
3 3 3 2
3
M 3 3a .2.b .5b =3 30ab
2
, thoả mãn vì
33
3 30>3 27=9
).
Đến đây hƣớng giải quyết bài roán đã đƣợc mở ra. Vấn đề còn lại là tổng
hợp trình bày lời giải.
Nhƣ vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần coi trong vai trò của việc
phân tích đặc điểm bài toán để hình thành phƣơng pháp giải.
Ví dụ 8. Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm:

      
90
2 2 2
90 90
5
(1 x) m 1 x (m ) (1 x) 0
4
(1)
Hình thức của bài toán dễ tạo ra những sự “ngợp”, nên gây cho học sinh

1x
=

90
1x
.

90
1x
;

2
90
(1 x)
=

2
90
( 1 x)
;

2
90
(1 x)
=

2
90
( 1 x)
.

+ mt + (m +
5
4
) = 0.
Tổng hợp các kết quả phân tích ở trên. Em hãy đề xuất phương pháp giải
phương trình (1)?.
+) Kiểm tra

2
90
(1 x)
= 0  x = - 1 có là nghiệm hay không?
+) Chia cả hai vế phƣơng trình cho

2
90
(1 x)
, đƣợc:



   



2
90
90
1 x 1 x 5
m (m ) 0

nhìn bài toán từ một góc độ mà phải xem xét bài toán đó theo quan điểm toàn
diện, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất
Ví dụ 9. Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện:

0 ; ; 2 (1)
3 (2)
x y z
x y z



  


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= x
2
+ y
2
+ z
2
(3)
Giải: Cách giải 1(Cho lớp 10 chương trình nâng cao)
Từ
22
(2) 9 (x y z) 9 (1.x 1.y 1.z)       

2 2 2
9 3(x y z ) minT 3     
, khi x=y=z=1.
Cách giải 2(Cho lớp 9 và lớp 10)

2 2 4 2
f (x) 2 x 1 2 x x 1    
.
Do x
2
+1
1
,x
4
+x
2
+1
1
,dấu bằng khi x=0
( ) 2fx
,đẳng thức xảy ra khi x=0. Và minf(x)=f(0)=2. (ĐPCM)
Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển ta có lời giải 2
Lời giải 2:
Phân tích các biểu thức trong căn ta có:
.
1 3 3
22
1 ( ) 0 .
2 4 4
1 3 3
22
1 ( ) 0
2 4 4
       
       

;
2
1xx
là các độ dài đoạn
thẳng ta có lời giải 3.
Lời giải 3:
Ta đã biết:
   
22
2 1 2 1
   AB x x y y
trong đó A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
).
Định hƣớng cho ta sự phân tích:
x
2
+x+1=[x-(-
1
2
)]
2
+(0-
3


   
   

Nếu đặt M(x; 0) và A
13
;
22





; B
13
;
22




là các điểm nằm trong mặt
phẳng tọa độ Oxy thì khi đó f(x) =MA+MB.
Chuyển hoá nội dung bài toán ta phát biểu nhƣ sau:
“CMR: MA+MB có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi M trùng O”.
Từ hình vẽ, ta suy ra:
MA + MB = MA’ + MB

A’B,
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M

+) Lớp thực nghiệm: 10A
4
+) Lớp đối chứng: 10A
2
Thời gian thực nghiệm đƣợc tiến hành vào khoảng tháng 10/2012 đến
tháng 3 năm 2013.
Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Nguyễn Văn Trƣờng.
Giáo viên dạy lớp đối chứng: Cô Nguyễn Lan Phƣơng.
Đƣợc sự đồng ý của Ban Giám hiệu, của thầy cô dạy toán hai lớp 10 A
4
và
10A
2
. Tôi đã tìm hiểu cả hai lớp 10A
4
và 10A
2
là 2 lớp khối A của trƣờng, nên
hầu hết học sinh ở 2 lớp đều có học lực môn Toán là khá trở lên và tƣơng đƣơng.
2. Nội dung thực nghiệm
Đề kiểm tra (thời gian 60 phút)
Câu I: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 3 5y x x x     

b) Tìm một điểm trên trục số sao cho tổng khoảng cách từ đó tới 3 điểm
A, B, C có toạ độ tƣơng ứng là 1,3,5 là nhỏ nhất.
Câu II: Cho phƣơng trình:

  

Xin đƣợc phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lƣợng
làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra nhƣ trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình
độ học sinh. Có thể nói với mức độ đề nhƣ trên thì sẽ phân hóa đƣợc trình độ
của học sinh, đồng thời cũng đƣa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức
độ nắm kiến thức của học sinh. Cả ba câu trong đề kiểm tra đều không nặng về
tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng tƣ duy.
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp
đối chứng (ĐC) đƣợc thể hiện thông qua bảng sau:
Năm
học
Lớp
Tổng
số
Điểm 8 trở lên
Điểm từ 5 đến 7
Điểm dƣới 5
Số
lƣợng
Tỷ lệ
Số
lƣợng
Tỷ lệ
Số
lƣợng
Tỷ lệ
2012-
2013
TN

Sáng kiến kinh nghiệm
1. Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về khả năng rèn luyện các thao tác
tƣ duy trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông.
2. Đã làm phần nào làm sáng tỏ một số con đƣờng để tập luyện cho học
sinh khả năng phân tích, khái quát hoá, đặc biệt hoá và tƣơng tự.
3. Đã thể hiện đƣợc các định hƣớng sƣ phạm nhằm rèn luyện các thao
tác tƣ duy trong dạy học bài tập Đại số ở trƣờng THPT.
4. Thiết kế cách thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hƣớng dạy học
tích cực.
5. Đã tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những định hƣớng sƣ phạm đƣợc đề xuất.
Nhƣ vậy có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành đƣợc
mục đích nghiên cứu và có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên.
2.Kiến nghị đề xuất.
1.Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trƣờng.
Các tổ chuyên môn nên tăng cƣờng trình bày các chuyên đề trong
chƣơng trình bộ môn.
2.Đối với Sở giáo dục và đào tạo.
Nên giới thiệu phổ biến về các trƣờng phổ thông các sáng kiến kinh
nghiệm có chất lƣợng để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của ngƣời khác