I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong phần :" Câu hỏi và bài tập" sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11
trang 103 có bài tập 17
c
như sau:
" Cho hình tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, gọi H là
hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC) chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
"
Ta có thể chứng minh như sau:
Theo giả thiết thì
( )OA OBC⊥
. Trong mp(OBC) từ O kẻ đường
thẳng vuông góc với BC và cắt
BC tại I. Trong mp(OAI) từ O kẻ
đường thẳng vuông góc với AI và
cắt AI tại H . Khi đó ta có
BC OI
⊥
(theo cách kẻ) và
BC OA⊥

( vì
( )OA OBC⊥
) và
OI OA O∩ =
nên
( ) ( )ABC OAI⊥

" Cho điểm O và mặt phẳng (P), O không nằm trên (P). Hãy tính khoảng cách
từ điểm O tới mặt phẳng (P)."
Để giải quyết bài toán tổng quát trên ta cần sử dụng tới những kiến thức cơ bản
sau:
+ Khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (P) chính là khoảng cách từ điểm O tới
hình chiếu H của O trên (P)
1
A
B
O
C
H
I
+ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với nhau là khoảng
cách từ một điểm O bất kỳ thuộc a tới mp(P).
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách giữa
đường thẳng a và mp(P) chứa b song song với a.
+ Nếu OO
'
// (P) thì d(O; (P)) = d(O
'
; (P))
+ Nếu
'
OO ( )P I∩ =
thì
( ;( ))
' '
( ;( ))
d O P IO

Thí dụ 1. (Đề thi đại học khối D năm 2002 câu IV
2
)
2
A
B
C
h
O
P
Cho tứ diện ABCD có
( )AD ABC⊥
. AC =AD = 4 (cm), AB = 3(cm); BC = 5
(cm). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Giải:
Từ giả thiết ta có BC
2
= 5
2
= 3
2
+4
2

= AB
2
+ AC
2
suy ra tam giác ABC
vuông tại A suy ra tứ diện ABCD có

Trên mặt phẳng (P) mới có sẵn 2 điểm A, B sao cho
OA OB⊥
. Khi đó để tính
khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) ta cần xác định thêm điểm C sao cho OC
vuông góc với cả OA và OB đồng thời 3 đoạn OA, OB, OC đều tính được độ
dài của chúng.
Thí dụ 2 (Đề dự bị 1 – Khối B năm 2004 Câu III
3
)
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và
( )SA ABC⊥
. Tam giác ABC có AB = BC
= 2a, góc
0
120ABC∠ =
. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).
Giải:
Trong nửa mặt phẳng (ABC) bờ là
đường thẳng AC chứa điểm B kẻ
tia Ax vuông góc với AC và tia Ax
cắt BC tại K. Khi đó d(A; (SBC)) =
d(A; (SCK)) = h.
Ta có tứ diện A.KCS vuông tại A
nên ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
h AK AC AS
= + +
. (*)
Tính AC

B
C
x
120
0
30
0
K
Mà
0 0 0
180 120 60ABK∠ = − =
. Suy ra tam giác ABK là tam giác đều, suy ra AK
= AB = 2a. Suy ra: AK
2
= 4a
2
. Theo giả thiết SA = 3a , thay vào (*) ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
4 12 9h a a a
= + +
, từ đó tính được
9
4
h a=
. Vậy d(A; (SBC)) =
9
4
a
Trường hợp 3.

ABC vuông tại tại O
1
đồng
thời độ dài các cạnh O
'
A, O
'
B, O
'
C
hoặc O
1
A, O
1
B, O
1
C đã tính được.
Thí dụ 3. Cho hình lập phương ABCDA
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Tính khoảng
cách từ điểm A tới mp(DA
'
C
'

'
C
'
D
'
là hình lập
phương nên tứ diện D
'
A
'
DC
'
có các
cạnh D
'
A
'
, D
'
D, và D
'
C
'
vuông góc
với nhau từng đôi một và D
'
A
'
= D
'

B
'
C
'
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC =
2a, cạnh bên AA
'
=
2 2a
, gọi M, E lần lượt là trung điểm của BC và BB
'
. Hãy
tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AME).
4
.
.
O
O
'
A
B
C
O
1
I
P
A B
C
D
A

, nên
( ;( ))
1
' '
( ;( ))
d B AME IB
d B AME IB
= =
Suy ra:
'
( ;( )) ( ;( ))d B AME d B AME h= =
.
Mặt khác tứ diện BMEA có 3 cạnh
BA, BE, BA đôi một vuông góc với
nhau và có độ dài lần lượt là:
BA = 2a, BM = a, BE =
2a
.
Vì vậy áp dụng kết quả bài 17
c
ta có:
1 1 1 1 1 1 1 7
2 2 2 2 2 2 2 2
(2 ) ( 2) 4h BA BE BM a a a a
= + + = + + =
2
7
a
h⇒ =
.

các điểm A, B, C trên (P) sao cho tứ diện O
'
. ABC có 3 cạnh O
'
A, O
'
B, O
'
C đôi
một vuông góc với nhau và độ dài của chúng tính được. Từ đó ta tính được
khoảng cách từ O
'
tới mặt phẳng (P)
từ đó suy ra khoảng từ O tới mp(P).

Thí dụ 5(Đề thi đại học khối D năm 2012)
5
A
B
C
M
E
A
'
B
'
C
'
A
B

trong ý sau của yêu cầu bài toán nghĩa
là áp dụng trong tính khoảng cách từ
điểm điểm A đến mặt phẳng(BCD
'
)
theo a. Cụ thể lời giải như sau:
Giải: Dễ thấy AO
∩
(BCD
'
) = C
và
2
CA
CO
=
'
( ;( ))
2
'
( ;( ))
' '
( ;( )) 2 ( ;( )
d A BCD CA
CO
d O BCD
d A BCD d O BCD
= =
⇒ =
Gọi

2 2 2 2
a a a
OC AC
a a a
OB AB AO
= = = = =
= − = − =
Thay các giá trị trên vào (*) suy ra:
2 2
2 2 2
1 1 1 1 144 6
6 12
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
a
h
a a a
h a
= + + = ⇒ =
Vậy suy ra:
6 6
'
( ;( )) 2 2.
12 6
a a
d A BCD h= = =
Thí dụ 6 : (Đề dự bị 2 – khối B – năm 2003)
Cho hình chóp đều S.ABC đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một
góc bằng
ϕ

Và
3
MA
MH
=
, suy ra:

( ;( ))
3
( ;( ))
( ;( )) 3 ( ;( )) 3
d A SBC MA
d H SBC MH
d A SBC d H SBC h
= =
⇒ = =
Với
( ;( ))d H SBC h=
.
Ta sẽ tính h bằng cách: trong nửa
mp((BHC) bờ là đường thẳng HC chứa điểm M kẻ tia Hx vuông góc
với HC và
Hx BC E∩ =
.Tứ diện HECS là tứ diện vuông tại H, ta có:
2
2 2 2
1 1 1 1
(*)
h HE HC
HS

a a
HE HC= = =
, thay tất cả vào (*) suy ra:
2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 12 1 12
(1 )
tan sin
3 3
( )
( ) ( tan )
3
3 6
a
h a a
a a
ϕ ϕ
ϕ
= + + = + =
asin asin a 3sin
( ;( )) 3.
2
2 3 2 3
h d A SBC
ϕ ϕ ϕ
⇒ = ⇒ = =
Vậy khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) là
a 3sin
2

SB SB a
∩ =
⇒ = =
= = =

2
( ;( )) ( ;( )) (*)
3
d H SCD d B SCD⇒ =
Kéo dài AB cắt CD tại I
( )
( ;( )) 1
( ;( )) 2
AB SCD I
d B SCD IB BC
d A SCD IA AD
⇒ ∩ =
⇒ = = =
1
( ;( )) ( ;( )) (**)
2
d B SCD d A SCD⇒ =
.
Từ (*) và (**) suy ra:
1
( ;( )) ( ;( ))
3
d H SCD d A SCD⇒ =
Mà tứ diện A.SDC vuông tại A nên đặt
( ;( ))d A SCD h=

khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC).
Giải: Vì AD//BC và AD không nằm
trong mặt phẳng (SBC) nên AD
song song với mp(SBC). Suy ra:
d(AD; (SBC)) = d(A; (SBC)).
Trong nửa mp(ABC) bờ là đường
thẳng AC chứa điểm B, từ A
kẻ tia Ax vuông góc với AC;
tia Ax cắt BC tại điểm I. Khi đó
d(A; (SBC)) = d(A; (SIC)) = h.
Mà tứ diện ASCI vuông tại A
nên ta có:
8
S
B
C
D
I
H
A
S
A
B C
D
I
x
2
2 2 2
1 1 1 1
(*)

a
Thí dụ 9.
Cho hình lập phương ABCD A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của
DD
'
, M là trung điểm của BB
'
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CK và
mp(A
'
DM).
Giải: Dễ dàng chứng minh được tứ giác A
'
MCK là hình bình hành suy ra: CK//
(A
'
MD) suy ra: d(CK, (A
'
MD)) = d(K, (A
'
MD)). Gọi N là giao điểm của A
'

'
DP vuông tại A
nên
đặt d(A,(A
'
DP)) = h thì:
2
2 2 2 2
1 1 1 1 9
(2 ) 4
2
'
( ;( ))
3 3
h a a a
a
a a
h d K AMD
= + + =
⇒ = ⇒ =
Suy ra: khoảng cách giữa
đường thẳng CK và mp(A
'
MD)
bằng
3
a
9
A
B

'
có tất cả các cạnh bằng a, gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AA
'
và BB
'
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
'
M và CN ?
Giải:
Dễ thấy B
'
M //AN và B
'
M
không nằm trong mặt phẳng
(ACN) nên B
'
M song song với mặt
phẳng (ACN) suy ra:
d(B
'
M; CN) = d(B
'
M; (ACN)) =
= d(B
'
; (ACN))
Mà
'

2 2
2
2
1 1 1 1 64 3
3 8
3
( ) ( )
( )
2 4
2
a
h
a a
h a
a
= + + = ⇒ =
Suy ra: d(B
'
M; CN) = 2h =
3
4
a
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng B
'
M và CN bằng
3
4
a
Thí dụ 11.
(Đề thi đại học khối A và A

khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC. Cụ thể như sau:
Giải:
Trong nửa mp(ABC) bờ là
đường thẳng BC chứa điểm
A kẻ đường thẳng d đi qua
A và song song với đường
thẳng BC Khi đó BC//mp(d,SA)
suy ra: Khoảng cách giữa
đường thẳng BC và đường
thẳng SA chính bằng khoảng
cách giữa đường thẳng BC
và mp(d, SA).
Mà d(BC; mp(d; SA)) =
d(B; mp(d, SA)) vậy suy ra:
d(BC; SA) = d(B; mp(d, SA)) .
Lại có:
3 ( ; ( , )) 3
( ; ) ;
2 ( ; ( , )) 2
AB d B mp SA d AB
BH mp d SA A
AH d H mp SA d AH
∩ = = ⇒ = =
3
( ; ( , )) ( ; ( , ))
2
d B mp SA d d H mp SA d=
.
Trong mặt phẳng (ABC) qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt
đường thẳng d tại I. Khi đó tứ diện HIAS vuông tại H.

a
h a
a
= + + = ⇒ =
Vậy
3 3 42 42
( ; ( , )) ( ; ( , )) .
2 2 12 8
a a
d B mp SA d d H mp SA d= = =
11
A
B
C
S
d
I
H
Kết luận: khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
42
8
a
*Kiểm nghiệm:
Trong một tiết học ở lớp 11A10 tuần học thứ 32 năm học 2012 - 2013 tôi đưa
ra 2 bài tập: bài 1 là một ý trong câu IV đề thi đại học khối D năm 2012(thí dụ 5
trong sáng kiến ), bài 2 là một ý trong câu IV đề thi đại học khối A, A
1
năm
2012 ( thí dụ 11 trong sáng kiến).Trong tuần 33 tôi tiếp tục cho các em làm 2
bài trên nhưng áp dụng kết quả của bài 17c. So sánh kết quả trước và sau khi áp

Bài 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,
( )SO mp ABCD⊥

AC = 4, BD = 2, SO =
3
.
a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC)
b) Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng AB và SD
Bài 2.
Cho lăng trụ đứng ABC.A
'
B
'
C
'
có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết AA
'
=
1, BC = 2, AB =
3
. Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A
'
BC)
Bài 3.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
'
B
'
C

6a
. Tính
khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC).
Bài 7.
Cho hình lập phương ABCD. A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AA
'
, AD và CC
'
. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hãy tính
các khoảng cách d(B; (MNP)) và d(O; (MNP))
Bài 8.
Cho hình lập phương ABCD. A
'
B
'
C
'
D
'
có cạnh bằng a. Gọi Klà trung điểm của
DD