1
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh – THPT Phan Đình Phùng
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc giải một bài toán là một quá trình phân tích, tìm tòi dựa trên hiểu biết
của người giải toán, thử hết cách này cách khác, trong khi có người lại có thể
tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh
gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà
người giải toán phải trải qua để đi đến lời giải thỏa đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo
hướng hoạt động hóa người học với phương châm “Học tập trong hoạt động
và bằng hoạt động”. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu
của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THPT qua nghiên
cứu nội dung chương trình và qua thực tế giảng dạy, tôi thấy: trong chương
trình Toán lớp 10 SGK mới, phần đầu của lượng giác ở THPT đã được đưa
xuống dạy cuối lớp 10. Cách làm này được xem là tránh dồn dập toàn bộ nội
dung lượng giác trong một năm học. Học sinh từ chổ mới chỉ được làm quen
với một số đẳng thức lượng giác đơn giản thông qua các bài toán hình học thì
nay phải tiếp cận với hệ thống kiến thức mới hết sức trừu tượng và phong
phú, nên bước đầu các em sẽ không tránh phải cảm giác e ngại, né tránh các
bài toán về biến đổi lượng giác, bởi các em thấy nó tương đối “xa lạ” so với
những bài toán đại số mà các em gặp từ trước đến nay. Việc biến bài toán đại
số thành bài toán lượng giác hay “lượng giác hóa bài toán đại số” sẽ ít nhiều
gúp các em thấy các kiến thức lượng giác gần gủi hơn, lí thú hơn, từ đó tiếp
cận các bài toán lượng giác được dễ dàng hơn.
Các bài toán đại số có thể sử dụng phương pháp lượng giác hóa thì rất
nhiều, tuy nhiên trong phạm vi kiến thức của học sinh lớp 10, tôi nhận thấy
lớp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng
1.6. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Đề tài sẽ làm rõ các vấn đề sau:
- Hệ thống hóa các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện
kỹ năng toán học cho học sinh.
- Hệ thống hóa các kiến thức và ví dụ về giải các bài toán đại số bằng
phương pháp lượng giác hóa.
- Thực nghiệm sư phạm để xét tính khả thi và hiệu quả đề tài.
1.7. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng các phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách lý luận dạy
học, các tài liệu về tâm lí học, giáo dục học, toán học, logic học về những vấn
đề liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu thực tiển: Khảo sát tình hình dạy học môn Toán ở trường
THPT X trên địa bàn Hà Tĩnh.
- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng
học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả đề tài.
1.8. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
- Về lý luận: Đã đưa ra được hệ thống các kiến thức cơ sở và các dấu
hiệu sư dụng phương pháp lượng giác hóa trong giải bài toán đại số.
- Về thực tiển: Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học.
32. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1. CƠ SỞ KHOA HỌC
- Phần lượng giác được trình bày trong chương trình Toán THPT ở
2)1)(1(
111
22
yx
xyyx
.
2.2.3. Kết quả thu được
Tôi đã thực hiện khảo sát ở 2 lớp 11A2 và 11A4, mỗi lớp gồm 20 HS khá
và kết quả thu được:
- Lớp 11A2: có 8/20 em đạt điểm 5 trở lên chiếm tỉ lệ: 40%
- Lớp 11A4: có 7/20 em đạt điểm 5 trở lên, chiếm tỉ lệ 35%
Qua kết quả đó tôi thấy:
- Số lượng học sinh không giải được bài tập 2 rất nhiều, trong đó: chưa
có nguồn kiến thức và kỹ năng cần thiết và không định hướng được
phương pháp giải là chủ yếu.
- Đa số còn lúng túng trong việc ứng dụng, khai thác và mở rộng các
kiến thức về lượng giác.
4
2.3. CÁC GIẢI PHÁP
2.3.1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Nếu
11
a
thì tồn tại duy nhất
x
với
2
0
x sao cho
ax
sin
và tồn
tại duy nhất
y
với
2
0
y sao cho
a
y
cos
.
3. Với mỗi số thực
a
luôn tồn tại duy nhất
x
và
tb sin
.
5. Các hệ thức lượng trong tam giác.
6. Các công thức biến đổi lượng giác đã học.
2.3.2. ĐẶC ĐIỂM NHẬN DẠNG VÀ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI
1. Nếu 1x thì đặt
;0,cos ttx hoặc
2
;
2
,sin
ttx .
2. Nếu )0(, RRx thì đặt
;0,cos ttRx
x .
4. Nếu 0 Rx thì đặt ]
2
3
;()
2
;0[,
cos
t
t
R
x .
5. Nếu 1
22
yx thì đặt
]2;0[,
sin
cos
t
ty
t
tRby
tRax
.
8. Nếu )0,(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
thì đặt
]2;0[,
sin
cos
t
tby
tax
.
10. Nếu trong bài toán có xuất hiện biểu thức 1
2
x thì đặt
)
2
;
2
(,tan
ttx .
11. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức )0(
22
RRx thì đặt
)
2
;
2
(,tan
ttRx .
12. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức )0,()(
22
babax thì đặt
)
2
,
1
,
1
2
2
2
2
2
x
xx
x
x
x
x
xy
yx
xy
yx
thì ta cũng có thể đặt
2
tan
C
c
B
b
A
a .
16. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn:
abccba
thì tồn tại tam giác
ABC để CcBbAa tan,tan,tan
.
17. Nếu cba ,, là 3 số dương thỏa mãn: (*)
222
bccba
thì tồn tại tam
giác ABC có 3 cạnh thỏa mãn điều kiện (*) và dể dàng tính được góc A
thông qua định lý hàm số Cos.
18. Nếu cba ,, là 3 số thực dương thỏa mãn: 1,,
cba và
abccba 21
2 2
1 1 sin sin (1 2 1 sin )
1 cos sin (1 2cos )
2 cos sin sin 2
2
t t t
t t t
t
t t
3
2 cos 2sin cos
2 2 2
3 2
cos (sin ) 0
2 2 2
t t t
t t
cos 0
1
2
6
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x
và
2
1
x .
Ví dụ 2. Giải phương trình:
)1(2
)1(
2
1
1
2
222
2
xx
x
x
x
x
)tan1(tan2
)1(tan
tan2
1tan
1tan
2
222
2
tt
t
t
t
t
3
3
6
2
1
sin
0sin2sin2sin4
0)
)sin21(sin2
1
Ví dụ 3. Giải phương trình: xxxx 310442623
2
(Đề thi ĐH khối B – 2011)
Lời giải
Điều kiện:
22
x
.
Đặt
tx cos2
, phương trình trở thành:
72
2 2
3 2 2cos 6 2 2cos 4 4 4cos 10 6cos
3 2 cos 6 2 sin 8 sin 16sin 4cos
2 2 2 2
t t t t
t t t t
t
tan cos cos
2 2 2 5 5 5
t t
t x
Vậy phương trình có 1 nghiệm
6
5
x
Ví dụ 4. Giải phương trình:
(3 2 2) ( 2 1) 3.
x x
Lời giải
Ta có:
12
1
12
và 223)12(
2
, do đó đặt: )0(,)12(2 tt
x
phương trình trở thành:
, đặt )
2
;0(,cos
uut , ta được phương trình:
3
1 2
1 2
1 2
1
4cos 3cos 0
2
1
cos3
2
cos log 2cos
9 9 9
5 5 5
cos log 2cos
9 9 9
7 7 7
cos log 2cos
9 9 9
u u
u
u t x
u t x
u t x
cos2log,
9
cos2log
212121
xxx
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
1. 23
3
xxx
2.
2332
12)1()1(11 xxxx
3. 22
1
2
x
x
x
4.
23
yx
.
Lời giải
Điều kiện:
11
11
y
x
.
Với điều kiện đó, ta đặt ];0[,cos],;0[,cos
vvyuux . Hệ trở
thành
2
2
cos sin 1
cos 1 cos 1
cos sin 3
cos 1 cos 3
u v
3
1
cos
sin
3
cos
sin
(*)
2
2
2
2
v
u
v
v
u
u
v
v
u
u
v
v
u
u
2
1
y
x
thỏa mãn hệ phương trình
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm:
2
3
2
1
y
x
.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:
vu
vy
ux
, hệ trở thành:
v
và ngược lại nên )0;0( là 1 nghiệm của hệ.
Nếu
0sin
u
thì
0sin
v
, từ hệ ta suy ra vu sin,sin cùng dấu và
vuvu
u
v
v
u
sinsin
sin
sin
sin
sin
Với
v
u
, ta suy ra
Thử lại ta thấy 3 nghiệm trên đều thỏa mãn hệ.
Vậy hệ có 3 nghiệm: )1;1(),1;1(),0;0(
.
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:
xxyxy
yxxxy
1212
13122
2
3
(Đề thi HSG Đắc Lak 2010)
Lời giải
10
Từ phương trình (1):
3
2 2 1 3 1
y x x x y
cos2 sin 2 2 sin
2
t
t t
sin(2 ) sin
4 2
t
t
3
cos
2 2
3
10
4 2
3
10
2 2 2 cos
4 2 20
t
x
t k
t
t
t k y
cos2
10
3
cos
y
x
Bài tập tự luyện
Giải các hệ phương trình sau:
1.
2)1)(1(
111
22
yx
xyyx
2.
y
x
x
x
y
y
2
2
1
2
1
2
2.3.3.3. CÁC VÍ DỤ VỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
11
Ví dụ 8. Chứng minh BĐT Bunhiacopski cho hai số:
1)()(
1)()(
2
22
2
22
2
22
2
22
yx
y
yx
x
ba
b
ba
a
Đặt ])2;0[,(
sin
cos
sin
cos
22
22
cos ( ) 1.(*)
u v
(*) luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 9. Chứng minh rằng với mọi số thực ba, ta có:
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22
ba
abba
Lời giải
Đặt )
2
;
2
(,,tan,tan
vvvbua
Khi đó:
vu
Suy ra,
2
1
2
1
A
Vậy ta có điều phải chứng minh.
12
Ví dụ 10. Chứng minh rằng nếu 1x thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta
có:
(1 ) (1 ) 2 .
n n n
x x
Lời giải
Vì 1x nên có thể đặt
t
x
cos
, với );0(
t
nên: 1
2
cos0
t
và 1
2
sin0
t
Do đó,
2
sin
2
sin,
2
cos
2
cos
2222
tttt
nn
1
2
sin
2
cos
22
yxyx và
y
x
,
là các số thực dương, do đó ta có thể
đặt
cos ,
x t
sin
y t
với
(0; ).
2
t
Ta cần chứng minh BĐT:
4 4
4 4
1 1 17
cos sin
cos sin 2
t t
t t
Thật vậy,
2
2sin
1
2
t
và 17
2
sin
16
1
4
t
.
Từ đó suy ra
17
.
2
VT
13
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 12. Cho cba ,, là các số thực dương thỏa mãn
1
cabcab
tan;
2
tan;
2
tan
C
c
B
b
A
a .
Khi đó:
2
2
tan
1
2
sin ,
1 2
1 tan
2
A
a
A
A
a
2
sin3sin
2
1
sin
2
1
C
BA
102
2
sin6sinsin
C
BA .
Thật vậy,
2sin cos 6sin
2 2 2
A B A B C
VT
2cos cos 6sin
2 2 2
C A B C
2 2 2 2
2cos 6sin (2 6 )(sin cos ) 2 10
2 2 2 2
Ta có, 1
11
b
c
b
aacbcaabc .
Khi đó ta có thể đặt
2
tan,
2
tan
1
,
2
tan
C
c
B
b
A
a với CBA ,, là 3 góc của
một tam giác. Bất đẳng thức trở thành
142 2 2
2 2 3 10
3
1
2sin cos 3sin
2 2 2 3
C A B C
2 2
(3sin cos ) sin 0
2 2 2
C A B A B
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 14 (Đề thi ĐH khối A-2009). Cho
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn
yzzyxx 3)(
. Chứng minh rằng
333
)(5))()((3)()( zyxzzyyxzxyx .
( ) 3
x x y z yz
( )( ) 3( )( )
4 4
b c a a b c a c b a b c
2 2 2 2 2 2
2 3( 2 )
b bc c a a bc b c
2 2 2
a b c bc
Với điều kiện đó ta có thể coi cba ,, là 3 cạnh của tam giác ABC với
0
222
60
2
1
2
cos
A
bc
2
cos
2
sin2sinsin
ACBCB
CB
4
3
4
)sin(sin
sinsin
2
CB
CB
Từ đó suy ra, 15sinsin12)sin(sin32 CBCB
Đây chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 15. Cho 3 số không âm cba ,, thỏa mãn: 4
222
abccba . Chứng
minh rằng:
2
CBACBA 1coscoscos2coscoscos
222
Khi đó:
CBA
CBA
CBACBA
abccba
coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin
2coscoscos8)coscos(cos2
2
Mặt khác:
2
sin
))cos(1
AC
A
CB .
Từ đó suy ra: CBA
CBA
coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
16
Ví dụ 16. Cho
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn:
xyz
z
y
x
nên tồn tại tam giác
ABC sao cho CzByAx tan,tan,tan
.
Khi đó,
2 2 2 2
tan
sin , sin , sin
1 1 tan 1 1
x A y z
A B C
x A y z
.
Ta cần chứng minh
2
33
sinsinsin CBA .
Thật vậy,
2
sin2
2
cos
2
4sin
4 2
A B C
3 3
sin sin sin
2
A B C .
Đây chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 17: (Đề thi ĐH khối B năm 2008). Cho
y
x
,
là hai số thực thay đổi thỏa
mãn 1
22
yx . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2
2
221
)6(2
yxy
xyx
P
.
(Đề thi ĐH khối B năm 2008)
Lời giải
ttttP
PtPtP 212cos)1(2sin)6(
Đây là 1 phương trình đối với ẩn
t
, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 2
2
6 1 1 2 3 18 0 6 3
P P P P P P
17
Vậy,
3
MaxP
13
x
xy
y
Ví dụ 18. Cho
z
y
x
,
,
là các số thực dương thỏa mãn
xyzzyx
1111
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2 1
1 1 1
y
2
z
z
y
y
x
x
P
2
2 2 2
2
2 2
2 2
1
1
1
1
1 1 1
1 1 1
tan tan 1 tan
1 tan 1 tan 1 tan
sin 2 sin 2 cos 2
3
MaxP khi
3
12
5
zyx . Tìm GTLN
của biểu thức
xyz
xyz
xzy
y
yzx
x
P
.
18
Lời giải
Ta có,
xyz
x y
P
x yz y xz z xy
1 1
1 1 1
xy
z
2
tan,
2
tan
.
Khi đó,
2
tan1
2
tan
2
tan1
1
2
tan1
1
222
C
C
BA
P
2 2
Vậy 31MaxP khi
3
6
2
.
3
3
C
A B
A B
C
A B C
x
. CMR :
4
9
1
1
1
1
1
2
222
zyx
.
2. Cho
z
y
x
,
,
là các số dương thỏa mãn : 1
1
1
1
222
cba
.
4. Cho
y
x
,
là các số thực thỏa mãn : 1
22
yx . Chứng minh rằng :
1
4
1
66
yx .
5. Chứng minh rằng với mọi số thực
z
y
x
,
,
tùy ý ta có :
222222
111111 xz
xz
zy
vào giải toán, hiểu được mối liên hệ giữa các phân môn của toán học. 20
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết quả đạt được
Đề tài trình bày việc sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một
số bài toán đại số, tập trung vào giải quyết dạng toán: Giải phương trình,
giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức.
Đã trình bày đầy đủ các dạng mà có thể lượng giác hóa được, giúp học
sinh nhận dạng và sử dụng phép biến đổi phù hợp.
Đã nêu hệ thống các ví dụ minh họa và các bài tập tự luyện. Thông qua
lời giải cho mỗi ví dụ ta thấy rằng có nhiều bài toán đại số khi sử dụng
phương pháp lượng giác hóa sẻ cho lời giải rất đẹp, gọn gàng, dể hiểu và
nhanh chóng, một số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của phương
pháp. Đặc biệt khi tôi dạy thử nghiệm nội dung này cho đội tuyển học sinh
giỏi thì nhiều em tỏ ra thích thú khi được tiếp cận phương pháp mới này.
Tuy nhiên phương pháp này không phải là chìa khóa để giải tất cả các bài
toán đại số mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một số dạng bài toán
nhất định cho nên chỉ nên xem phương pháp này như là một phương pháp
Copyright: Tài liệu đại học ©