WWW.ToanCapBa.Net
Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A.CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CƠNG THỨC CỘNG
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) =
tan(a - b) =
2.CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI
cos2a = cos
2
a – sin
2
a
= 2cos
2
a –1
= 1 – 2sin
2
a
sin2a = 2.sina.cosa
tan2a =
3.CƠNG THỨC HẠ BẬC
cos
2
a = sin
2
a =

-90
o
-60
o
-45
o
-30
o
0 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin 0 -
- -
-1
- -
- 0 1 0
cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1

2
π
+ k π, cosx = 1 ⇔ x = k2π, cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: Chia cả hai vế của Pt(1) cho
+
2 2
a b
ta được :
GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 1
WWW.ToanCapBa.Net
Kiến Thức Cơ Bản – Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Nâng Cao
ϕ ϕ
ϕ
⇔ + =
+ + +
⇔ + =
+
⇔ − =
+
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
(1) cos sin
cos .cos sin .sin

+

2
2
2
2
2
sin
2
1
tan
1
1
cos
1
t
x
t
t
và x
t
t
x
t
ta được PT bậc hai theo
t:
(c + b)t
2
– 2at + c – b = 0 (2)
Cách 3 : acosx + bsinx = c ⇔

+ b
2
- c
2
≥ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx
, 2.
1sin3cos
−=−
xx
3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
, 4.
4
1
)
4
(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.

4
x) = 2sin2x – 1
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos
=
7.
2
3
3 2tan
cos
x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =

1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương
trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ ,k∈Z.
Chú ý:
= + = +
2 2 2
2
* (sin cos ) * (1 tan )
cos
d
d d x x d x
x
Bài tập :
1. 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2; 2. 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
2. 4sin
2

t
khi đó sinx.cosx =
2
1
2
t
−
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx

(
−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π
+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2

14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=
4

2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin

2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin
3
x = - 1
GV: Nguyễn Quang Tánh WWW.ToanCapBa.Net 4
WWW.ToanCapBa.Net
Kin Thc C Bn Bi Tp Phng Trỡnh Lng Giỏc Nõng Cao
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).IV.PHệễNG TRèNH TCH VAỉ PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC KHAC .
Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx 4cosx 2/ sin 2x cos 2x = 3sinx +cosx 2
3/ sin
2
x + sin
2
3x 3cos
2

4
x cos
2
x = 1 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos1
sincos
=

+

11/ sin
2
)
42
(



2
3x cos
2
4x = sin
2
5x cos
2
6x
17 / cos3x 4cos2x +3cosx 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1
cos
x x
x
x

+ =
19/ tanx +cosx cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
) 20/ cotx 1 =
2
cos2 1
sin sin 2
1 tan 2